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确定统计量的分布是数理统计的基本问题之一.
正态总体是最常见的总体, 本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.
6.3 常用统计量的分布
2分布、t分布和F分布。
一、正态分布
统计学上的三大分布：
定理1.若
相互独立,
则
其中ck为常数。
特别地,若
则
标准正态分布的 分位数
定义
分布的上 分位数.
则称u 为标准正态
若
正态分布的双侧 分位数.
若
则称
为标准
标准正态分布的 分位数图形
u


常用
数字
/2
-u /2=u1- /2
/2
u /2

-u /2

定义 设
相互独立,
且都服从标准正态分布N (0,1),则
注1 n = 1 时,其密度函数为
二、
分布( n为自由度 )
注2 n = 2 时,其密度函数为
为参数为1/2的指数分布.
其中
在 > 0时收敛，称为 函数，具有性质
一般
的密度函数为
自由度为 n 的
n=2
n = 3
n = 5
n = 10
n = 15
例如

分布的性质
20.05(10)

n = 10
相互独立,
证 1 设
则
定理2(Helmert定理,1876）
证明：
A为正交矩阵，则
A的构造如下：
相互独立；
与
三、 t 分布 (Student 分布)
则称T 服从自由度为 n 的T 分布,记为T ~t(n).
其密度函数为
定义
X ,Y相互独立,
设
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
n = 1
n=20
t 分布的性质
1°f n(t)是偶函数,
2°T 分布的上 分位数 t 与双测
分位数 t /2 均 有表可查.
n = 10
t
-t



t /2
-t /2


/2
/2
与
相互独立
定理3
则
证明
则
相互独立的简单随机样本.
设
与
分别是来
自正态总体
与
的
与
相互独立
四、 F 分布
则称 F 服从为第一自由度为n ,第二自由度为 m 的F 分布.
其密度函数为
定义
X, Y 相互独立，
设
令
m = 10, n = 4
m = 10, n = 10
m = 10, n = 15
m = 4, n =10
m = 10, n = 10
m = 15, n = 10
定理
相互独立的简单随机样本.
令
设
与
分别是来
自正态总体
与
的
则
若
则
(3)
F 分布的性质
例如
事实上,
故
求
F (n,m)


例1 证明
证
例2
证明：
令
证
设
的概率不小于90%,则样本容量至少取多少
例3设
,为使样本均值大于70
解 设样本容量为 n , 则
故
令
得
即
所以取
例4 从正态总体
中，抽取了
n = 20的样本
(1) 求
(2) 求
即
解 (1)
故
(2)
故
例5 设r.v. X 与Y 相互独立，X ~ N(0,16),
Y ~ N(0,9) , X1, X2 ,…, X9 与Y1, Y2 ,…, Y16
分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本, 求
统计量
所服从的分布.
解
从而
的样本,
例6 设总体
为总体 X
试确定常数 c , 使 cY 服从
分布.
解
故
因此
例7 设
是来自N ( , 2 )的
简单随机样本,
是样本均值,
则服从自由度为n - 1的t 分布的随机变量为
故应选 (B)
解
补充作业
其样本均值为
求统计量
1. 设 为从正态总体
X ~ N ( , 2) 中抽取的简单随机样本
的数学期望 E (Y ).
（转后页）
的概率大约为 0.01.
是来自正态 总体
容量为
n的两个样本均值, 且两样本相互独立, 试
确定 n ,使两样本均值之差的绝对值超过
3：设总体X~N(10,32), X1, … ,Xn是它的一个样本
(2)求P(Z >11).
解: 1)∵ X~N(10,32)，∴ ~N(60,54)
E(Z)=6×10＝60 D(Z)=∑D(Xi)=6×32 ＝54
2) ∵ Z~N(60,54)，
(1)写出Z所服从的分布;
4：设X1， … ，X10是取自N（0，0.32)的样本,求
解：∵ X1， … ，X10～ N（0，0.32)
～ N（0，1)
～
5.设X1， … ，Xn是取自N（ , 2)的样本,求样本方差S2的期望与方差。
解：
总结
一、正态分布
二、
分布( n为自由度 )
三、 t 分布 (Student 分布)
四、 F 分布
6.4 充分统计量
一、基本概念
为总体的简单随机样本，
为未知参数，下面要寻找一个统计量T作为其
估计，自然要求T 包含所有关于
信息，这时称
T为充分统计量。
{X包含的信息}={T包含的信息}
+{X包含的信息| T已知}
T为充分统计量
{X包含的信息| T已知}=0，
即X| T分布与
无关。
为总体的简单随机样本，
定义
总体的分布函数与密度函数分别为
为未知参数，若T 为统计量，
X| T分布与
无关，
称T为充分统计量。(S.S.)
例1
则
T 为充分统计量(S.S.)。
Pf.
即X| T分布与
无关。
所以T 为充分统计量(S.S.)。
例2
则
T是 S.S.
例3
则
T不是 S.S.
二、因子分解定理
为总体的简单随机样本，
定理
总体的分布函数与密度函数分别为
T = T(X1,X2,…,Xn)为S.S.
例4
求S.S.
为S.S.
例5
求S.S.
为S.S.
为S.S.
例6
求S.S.
为总体的简单随机样本，
定理
总体的分布函数与密度函数分别为
T = T(X1,X2,…,Xn)为S.S.
上面举例说明了因子分解定理的应用，下面
讨论定理的证明。
总 结
一、基本概念
二、因子分解定理

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