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7.2 估计量的评选标准
一、无偏性
易见
为 的无偏估计(UE.)
称
为 的渐近无偏估计（AUE）。
定义
统计量满足
称
为
的UE.
为
的AUE.
注: UE一定是AUE,反之未必成立.
例1
考察 的矩估计和极大
似然估计的无偏性.
解: 的矩估计和极大似然估计分别为
的矩估计是无偏的.
记
故 的极大似然估计不是无偏的,而是渐近无偏的.
取
则 为 的无偏估计.
例2 设总体X的k阶矩 k=EXk存在,又设
X1, X2 , …, Xn 是X的一个样本.
试证明：不论总体X服从什么分布，k阶样本
矩
是k阶总体矩的无偏估计.
证明
例3 设总体X的数学期望E(X)= ，
X1, X2…Xn是来自X的一个样本，试证明：
是 的无偏估计量，其中a1, a 2,… ,a n为任意
常数，且满足
证明 因为
二、有效性
例4 设 分别为取自总体X的容量为n1, n2的两个样本的样本均值，求证：对任意实数a>0,b>0,a+b=1
统计量 都是E(X)的无偏估计，并求a,b使所得统计量最有效
故对任意实数a>0,b>0,a+b=1,统计量 都是E(X)的无偏估计
正是由于这一原因，我们在实际问题中总是乐意 用来作为数学期望E(X)=的估计.
无偏估计较
更有效.
例5在例3中，证明
证明 由柯西一施瓦兹不等式
得
例6.设 m已知,0解:
由辛钦大数定理,
p的极大似然估计
量是相合估计.
定义
为参数 的估计量，
则称之为参数的相合估计.
三、相合性
四、最小均方误差估计
性质：
为
的均方误差。
设参数 的估计为
称
证明：
定义
小 结
无偏性
相合性
有效性
最小均方误差
设参数 的估计中均方误差达到最小的估计为
称
最小均方误差估计.
7.3 一致最小方差无偏估计（UMVUE）
一、概 念
定义：设
为关于 的UE，对另一个任意的无偏估计
称
为关于 一致最小方差无偏估计（UMVUE）。
如何求UMVUE？
EX= ，Var(X)>0,
定理1（Rao-Blackwell)设X，Y为两个随机变量，
则
证明：
等号成立的充要条件为：
几乎处处相等。
定理2
为总体的简单随机样本，
T为充分统计量,
为未知参数，
为关于 的UE，
令
则
定理2实际上是定理1的推论。
说明：如果充分统计量存在，则UMVUE是充分统计量的函数；
定理3（UMVUE判别法）
为关于 的UE，
为总体的简单随机样本，
为UMVUE的充分必要条件是：
对任一满足 的 有
证明：
为关于 任一的UE，则令
设
为UMVUE。
为UMVUE，
设t为一非随机数，则
二、Cramer-Rao不等式（C-R）
定义(C-R分布簇)设
为总体X的分布密度簇，
满足：
(1)参数集 为直线上一开区间;(开集)
(2)支撑 与 无关;
(3)
对一切 存在;
(4)
积分与微分运算可交换次序,即
(5)
存在;则称
为总体的Fisher信息;
满足上述条件,则称之为C-R分布簇
或正则分布簇.
例1 设总体
求
例2 设总体 求
性质:
为Score函数,则
(1)
(2)
(3)
称
推论 对数似然函数
(2)
(3)
(1)
定理4（C-R不等式）设总体分布为C-R分布簇,X1, X2, , Xn为一组样本,T=T(X1, X2, , Xn)为g( )的无偏估计, g( )连续可导,且
可在积分号下求导,则
等式成立的充要条件为
证明
注1
称为CR下界.
注2 统计量T的方差达到CR下界,则它一定是UMVUE.反之未必成立.
定理5在定理4成立的条件下，统计量T的方差达到CR下界,则它一定是UMVUE，则似然方程具有唯一解T，且T也是极大似然估计。
证明
统计量T的方差达到CR下界,则由上述定理知：

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