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在实际问题中，常常需要研究在不同条件下所得
到的试验数据, 可以通过对数据的分析处理,分清
不同试验条件对试验结果是否有显著影响及影响
程度大小.
称试验中受控制的条件为因素，变化的因素可
在试验中变化，其它因素不变，此问题称为单因
分成的若干水平称为因素水平. 若仅有一个因素
第九章 方差分析
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称为多因素问题.
素问题. 若试验结果受多个变动因素影响，
例如，在农业生产过程中，仅研究化肥对产量的
影响，这里化肥便称为因素，由于化肥有多种,不
同的化肥便称为水平，这是单因素问题。
在农业生产过程中，产量的影响不仅与化肥有
关,而且与种子有关,称化肥为因素A,不同的化肥称
为因素A的各个水平,种子称为因素B,不同的种子称
因素B的各个水平.这是双因素问题。
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单因子方差分析的统计模型
在每一水平下考察的指标可以看成一个总体，
一、假定
在单因子试验中，设因子A有m个水平，
§9.1 单因素方差分析
现有m个水平，故有 m个总体，数据如下
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试
验
数
据

……

……





……
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(1)每一总体均服从正态分布；
(2)每一总体的方差相同；
(3)从每一总体中抽取的样本独立。
要比较各个总体的均值是否一致，就是要检验各总体的均值是否相同，设第i个总体的均值为 i，那么要检验的假设为
其备择假设为：
不全相同。
通常H1可以省略不写。
并假定：
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当H0为真时，A的m个水平的均值相同，这时称因
子A的各水平间无显著差异，简称因子A不显著；
反之，当H0不真时，各 i不全相同，这时称因子
A的各水平间有显著差异，简称因子A显著。
用于检验假设H0的统计方法称为方差分析法，其
实质是检验若干个具有相同方差的正态总体的均值
是否相等的一种统计方法。若考察的因子只有一
个时，称为单因子方差分析。
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二、数据结构及统计模型
设从第i个总体获得容量为ni的样本，
在水平Ai下获得的Xij与 i不会一致，记
这是 的数据结构式
称 为随机误差 ，有
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统计模型可以改写成：
在方差分析中引入一般平均与效应的概念，称
为一般平均，其中
为A的第i水平的主效应，
简称为Ai的效应。显然有
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三、 检验方法
1、误差来源
造成各xij差异的原因可能有两个：
(1)原假设 H0不真，即各水平下总体均值不同；
(2)差异是由于随机误差引起的。
记
表示水平Ai下的数据和，
表示水平Ai下数据的平均值
*
为所有数据的总平均值。
每一数据与总平均的偏差可以分解成两部分：
称为组内偏差，仅反映随机误差;
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称为组间偏差;
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2、平方和分解
称为总偏差平方和。
称为误差偏差平方和
称为因子A的偏差平方和
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3、检验统计量与拒绝域
有计算公式：
可以证明有：
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（1）求:
利用正态总体中的结论有
又由 分布的可加性知：
则有
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从而有
(2) 求
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当原假设为真时，各 相等且为 ，则
比较合理的拒绝域形式为：
对给定的显著性水平 ， 应满足
取检验统计量为：
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四、方差分析表（ANOVA表）
可知当 为真
表7.2.1 单因子方差分析表
方差来源
平方和
自由度
均方
F比



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§9.2 双因素方差分析
记录表如下：
设因素A有m个水平等级，因素B有s个水平等级，
A、B的每一对水平配合（Ai，Bj）(i=1…m, j=1…s)
取且只取一次试验结果Xij，将这m×s个数据列成
一、无重复试验双因子方差分析的统计模型
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B
A B1 B2 … BS
行和Ti. 行平均
A1
A2
…
Am
列和 T. j
列平均
X11 X12 … X1S
X21 X22 … X2S
… … … …
Xm1 Xm2 … Xms
T1 T2 … Ts
… T1.
T2.
…
Tm.
总和T
…
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假定：Xij~N( ij, 2),i=1,2, …,m;j=1,2, …,s且独立
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为了探讨因素A、B对结果有无显著影响，检验如下统计假设
H0A： 1= 2= …= m=0
这里 为ms个总体均值的平均, i为因素A的各个水平的影响; j为因素B的各个水平的影响;
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自由度为s-1；
自由度为(m-1)(s-1)
容易证明
自由度为sm-1；
自由度为m-1；
H0B： 1= 2= …= s=0
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差异源
偏差平方和SS 自由度
Df 方差
MS F的值
F的临界值Fα
F crit
因素A SSA m-1
因素B SSB s-1
随机
因素 SSE (m-1)
(s-1)
总计 SST ms-1
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二、有重复试验双因子方差分析的统计模型
在上面讨论中,由于对A、B的各个水平仅仅作了
一次试验，所以无法考虑A、B的交互作用，为考
虑A、B交互作用，对Ai Bj进行重复试验c次，其
观测数据为
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假定（1）
相互独立；
（2）
（3）
i为因素A的各个水平的影响; j为因素B的各个水平
的影响; ij因素A B的交互影响；
为了探讨上述三个因素对结果有无显著影响，检验如下统计假设
H0A： 1= 2= …= m=0
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H0B： 1= 2= …= s=0
H0AB： ij= 0
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自由度为q-1；
自由度为pqc-1；
自由度为p-1；
自由度为(p-1)(q-1)；
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自由度为pq(c-1)
容易证明
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差异源
偏差平方和SS 自由度
Df F的值
F的临界值Fα
F crit
因素A SSA p-1 FA
因素B SSB q-1 FB
A B SS A B (p-1)(q-1) FA B
随机
因素 SSE pq(c-1)
总计 SST pqc-1

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