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①统计定义
基于频率的定义
②公理化定义
苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出.
1933年由前
1.2 事件的概率（统计定义）
设在 n 次试验中，事件 A 发生了 (A)次，
一、频率
频率的性质
非负性
规范性
事件 A, B互不相容，即
可加性
则称
为事件 A 发生的 频率.
可推广到有限个两两互不相容事件的和事件
稳定性
某一定数
可加性
其中
两两互不相容。
频率稳定性的实例
实验者 掷硬币的次数n 正面出现次数 正面出现
的频率
Deorgan
Buffon
Feller
Pearson
Pearson 2048
4040
10000
12000
24000 1061
2048
4979
6019
12012 0.5181
0.5069
0.4979
0.5016
0.5005
从上述实例可以看出：当投掷次数充分大时，
非常接近一个固定值——概率。
因此，概率可以通过频率来“度量”。频率是概率的近似。
下面给出概率的统计定义。
正面出现的频率在0.5左右摆动。
说明频率在一定程度上反映了事件在一次试验
中发生的可能性大小。只要n足够大，频率就会
对本定义的评价
优点：直观
易懂
缺点：粗糙
模糊
不便
使用
定义：在一组恒定不变的条件下，将某试验
则称 p 为事件A的概率, 记作 P(A).
n 增大，总在某一固定常数p 左右摆动，
重复进行n次,事件A发生的频率
随着
非负性：
规范性：
由概率的统计定义与频率的性质，知概率
可加性：事件 A, B互不相容，则
概率的物理意义：概率是恒量事件发生可能性大小的度量。
必具备下列性质
二、古典概型
则称这样的试验模型为古典概型。
定义：如果试验T满足
(1) 样本空间只有有限个样本点；
(2) 每个样本点是等可能发生的，即
P({ i})= 1/n，i=1,2,…n。
Ω={ 1}∪{ 2 }∪…∪{ n}
古典概型中概率的计算：
古典概型中事件概率求法
1、摸球问题
解:设A-----取到一红一白
答:取到一红一白的概率为3/5
例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中
任意抽取2个球，求取到一红一白的概率。
球的概率是
这称为超几何概型
在实践中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等均可化为随机摸球问题。选择随机摸球模型目的在于:使问题的数学意义更加突出,而不必过多的交代实际背景。
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，
现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白
(2) P(X为奇数).
解 (1)
(2)
例 2 将10张标有0，1，2，…，9数字的相同卡片
搅混在一起，再任意抽取一张，以X表示所取卡
片上的数字，求
(1) P(X=i); i=0,1,2,…，9;
例3 一口袋中有9只白球，3只黑球，从中摸到任意
一球的可能性相同，求
(1) 从中任取5只球，其中有2只为黑球的概率？
(2)有放回的摸了5次球，每次取一只，问摸到2次
黑球的概率等于多少？
解 (1)组成试验的样本总数为
组成所求事件A所包含的样本数为
(2)样本总数为
所求事件B所包含的样本数为
例4 一箱中有10件产品，其中2件次品，从中随机取3件，抽得的次品数为X, 求
(1) {X=0} 即“抽得的三件产品中全是正品”的概率;
(2) { X =1} 即“抽得的三件产品中有一件次品”的概率；
(3) { X =2} 即“抽得的三件产品中全是次品”的概率.
解
例5 有50张考签分别标以1，2，…，50，则
(2) 任取两张进行考试，求事件“抽到现张均为前10
号考签”的概率；
任取一张进行考试，求事件“抽到前10号考签”
的概率；
(3)无放回随机地取10张，求事件“抽到的最后一张
为双号”的概率.
解(1) 记i表示抽到i号考签，A=“抽到前10号考签”
={1，2，…，10}, ={1，2，…，50}, 所以
(2) B=“抽到两张都是前10号考签”，样本点总数为
, 事件B包含的样本点数为
(3) C=“抽到的最后一张为双号”，
样本点总数为
, 事件C包含的样本点数为
2、分球入盒问题
解:设A: n个指定的盒子里各有一个球;
B:任意n 个盒子里中各有一只球
例6：设有n个球等可能落入N个盒子里(N>n)，求
(1)在n个指定的盒子里各有一个球的概率？
(2) n个球落入任意n 个盒子里中的概率？
上述实例通常称为分房问题。
人的生日在同一天的概率有多大？
某班级有n 个人(n 365)，问至少有两个
n 10 20 30 40 50
p 0.12 0.41 0.71 0.89 0.97
N=365
3.分组问题
例7 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：
（1）每组有一名运动员的概率；
（2）3名运动员集中在一个组的概率。
设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
解:
一般地，把n个球随机地分成m组(n > m),要求第 i 组恰
有ni个球(i=1,……,m)，共有分法：
将15 名同学(含3 名女同学), 平均分成
三组. 求
(1) 每组有1 名女同学(设为事件A)的概率；
(2) 3 名女同学同组(设为事件B)的概率
解
（1）
（2）
例8
4 随机取数问题
例9 从1到200这200个自然数中任取一个,
(1)求取到的数能被6整除的概率;
(2)求取到的数能被8整除的概率;
(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.
解:
N(3)=[200/24]=8
N(1)=[200/6]=33,
N(2)=[200/8]=25
(1),(2),(3)的概率分别为：33/200,1/8,1/25
三、几何概率(等可能概型的推广）
例10 某人的表停了，他打开收音机听电台
报时，已知电台是整点报时的，问他等待
报时的时间短于十分钟的概率.
9点
10点
10分钟
几何概率
设样本空间为有限区域 , 若样本点
落入 内任何区域 A 中的概率与区域A
的测度成正比, 则样本点落入G内的概率
为
A

例11(约会问题) 两人相约7：00－8：00在某地
见面，先到的一人等待另一人20分钟，这时就
离去，试求两人能会面的概率.
解 以x, y分别记两人到达的时刻，则两人能见
到面的充分必要条件为
|x－y|≤20
这是一个几何概率问题，可能的结果为边长为60的正方形里的点，能会面的点为在区域中阴影部分。因此所求概率为
几何概率的性质
随机地向区间 ( 0 , 1 ] 投掷一个质点，
令事件 A 为该质点落入区间
事件 Ak 为该质点落入区间
0
1
（
]

A
]
(
0
]
(
]
(
(
]
(
]
]
(
注：
几何概率的性质可概括如下
非负性：
规范性：
可列可加性：事件
两两互不
相容。
总结
概率的统计定义
频率与性质
古典概型
几何概率
17世纪,法国的 Chevalies De Mere
注意到在赌博中一对骰子抛25次,把赌
注押到 “至少出现一次双六” 比把赌注
押到“完全不出现双六”有利. 但他本人
找不出原因. 后来请当时著名的法国数
学家帕斯卡(Pascal)才解决了这一问题 .
这问题是如何解决的呢
思 考 题

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