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第十一章 正交试验设计
在生产实践与科学实验中，为了改进旧工艺，
研制新产品，寻求最优化生产条件等，常常要做许
多试验. 第九章第一节方差分析中所讨论的单因素
与双因素试验均需把每个因素的各种水平相互搭配
一一进行试验. 这对多因素来说，将意味着耗费大
量的人力、物力与时间，例如，5个因素，每个因
素4个水平，一一搭配需做45＝1024次试验，通常
在实际情况中难以实现. 因此，对于多因素的试验，
有一个科学安排试验的问题. 试验安排得好，既可
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§11.1.正交试验设计表
试验安排不好，试验的次数多且又达不到预期的
目的.正交试验设计就是一种合理安排多因素试验
的科学方法.
能在本地高产，常见的试验方案有两种：
§11.1.1. 问题
有甲乙两个不同品种的小麦，试验哪一种品种更
以减少试验的次数，又可以达到有效的结果；相反，
先看一个农业上安排生产的简单例子.
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第一种方案：选两块相同大小和土地A与B，第一年，A地种甲种小麦，B地种乙种小麦，如图10－1所示.
第二种方案：把A，B两块土地对半分，在两土地上交叉种上甲乙两种小麦. 如图10－2所示.
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如果按第一种方案，试验的结果甲种小麦两年的产量总和高，这不能说明甲种小麦最能适应本地，因为两年的气候影响和品种的好坏混合在一起；如果按第二种方案，如果甲种小麦的产量高，可以说明小麦甲较能适合在本地种植，因为气候的影响是相同的.
由此可见，第二种方案优于第一种方案，它的优点在于甲乙两种小麦，A、B两块土地，气候条件均均衡搭配在一起了，这样能使试验的次数减少，并且节约了时间，同时又能得到满意的结果.
对于多因素、多水平的试验，为了减少试验次数并达到满意的效果，应“均衡搭配”，这就需要我们利用“正交表”来达到此目的.
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列数有4列，说明该表最多可安排4个因素的试验；
11.1.2正交表简介
正交表是预期编制好的一种规格化的表格，比如正
交表L9(34): 其中“L”表示正交；“9”表示正交表的横
行有9行，说明要做9次试验；“4”表示正交表的纵
L9(34)
水平数
试验数
因素数
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试验号 x1 x2 x3 x4
1
2
3
4
5
6
7
8
9 1 1 1 1
1 －1 －1 －1
1 0 0 0
－1 1 －1 0
－1 －1 0 1
－1 0 1 －1
0 1 0 －1
0 －1 1 0
0 0 －1 1
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表中的列元素两两正交. 表中有3个不同的数字－1，0，1，说明在试验中每个因素有三个水平. 4因素3水平若相互搭配逐一作试验需34＝81次，使用该正交表只需从81次试验中选出9次来做，仅是全部试验工作的1/9，大大的提高了试验效率.
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从上述正交表可以看出，正交表具有以下二个特点：
(1) 每一列中，不同的数字出现的次数相同，如L9(34)正交表中，－1，1，0三个数字在每列中均出现3次.
(2) 任意两列元素均正交，数字－1，1，0是搭配均衡的.
从上述两点来看，用正交表来安排试验方案搭配均衡具有代表性，用正交表安排试验的方法称为正交试验设计. 常用的正交试验设计表见本章附录.
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11.2无交互作用的正交试验设计
例11－1 某工厂用某种型号的车床加工轴承，为了提高工效，考察3个相关因素A, B, C， 每个因素有三个水平：
下面我们通过实例来说明无交互作用的正交
试验设计的方法与步骤.
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因素
水平 转速(r/min)
A 走刀量(mm/r)
B 吃刀深度(mm)
C
1
－1
0 480
600
765 0.33
0.20
0.15 2.5
1.7
2.0
试分析各因素对工效指标产生的影响，并指出试验给出的最佳工艺.
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解 (1) 选择合适的正交表. 如本例是3因素3水平的试验，可采用L9(34)来安排试验，按照试验方案将实验数据填入表中. 表中第一列数字1、0、－1依次为因素A的三个水平480，600，765(r/min)；表中第二列数字1、0、－1依次为因素B的三个水平0.33，0.20，0.15(单位：mm/r)；表中第三列数字1、0、－1依次为因素C的三个水平2.5，1.7，2.0(单位：mm)；以第1号试验为例，车床以转速480 r/min，走刀量0.33mm/r，吃刀深度2.5mm作试验，生产一个合格轴承需时间1’28”.
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因素
试验号 转速(r/min)
A 走刀量(mm/r)
B 吃刀深度(mm)C 指标
工时(分/件) yi’ yi=y’i－100”
1
2
3
4
5
6
7
8
9 1(480)
1
1
0(600)
0
0
－ 1(765)
－1
－1 1(0.33)
0(0.20)
－1(0.15)
1
0
－1
1
0
－1 1(2.5)
0(1.7)
－1(2.0)
0
－1
1
－1
1
0 1’28”
2’25”
3’14”
1’10”
1’57”
2’35”
57”
1’33”
2’03” －12
45
94
－30
17
55
－43
－7
23
*
K1
K2
K3 127
42
－27 －85
55
172 36
38
68
k1
k2
k3 42.3
14
－9* －28.3*
18.3
57.3 12*
12.7
22.7
极差R 51.3 85.5 10.7
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(2) 试验结果分析：从因素A来看，它的第一水平下的3次试验的工时之和为K1=－12+45+49=127; 它的第二水平下的3次试验的工时之和为K2=－30+17+55=42; 它的第三水平下的3次试验的工时之和为K3= 43－7+23=－27;
从因素B来看，它的第一水平下的3次试验的工时之和为K1=－12－30－43=－85; 它的第二水平下的3次试验的工时之和为K2=45+17－7=55; 它的第三水平下的3次试验的工时之和为K3= 94+55+23=172;
从因素C来看，它的第一水平下的3次试验的工时之和为K1= －12+55－7=36; 它的第二水平下的3次试验的工时之和为K2=45－30+23=38; 它的第三水平下的3次试验的工时之和为K3= 94+17－43=68;
k1, k2, k3表示因素在各个水平下的平均值，即ki=Ki/3.
极差R为k1, k2, k3最大值减去最小值.
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(3) 作出结论：极差R越大，表示因素对试验指标的影响越大. 因此按极差大小来决定因素的主次因素. 从表中可以看出主次因素的顺序如下:
主 次
B A C
指标是加工每件轴承所用工时数，越小越好，因此从指标k1, k2, k3中选择较小者. 因素B为主要因素，所以应当控制在第一个水平上; 对于A因素应当控制在第一个水平上；对于因素C应当控制在第一个水平上，即采用转速765r/min、走刀量0.33mm/r、吃刀深度2.5mm生产轴承时为最佳工艺, 该水平组合在试验中并没有出现. 从试验结果来看，表中第7号试验方案也不错，因此可将最佳工艺与第7号作对比试验. 从中选出较好者.
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上一节讨论的问题没有考虑因素之间联合搭配对试验指标的影响，即交互作用的影响. 如果考虑交互影响时，我们也可以用上述正交试验设计的方法与步骤. 下面我们来看一个实际应用的例子.
11.3有交互作用的正交试验设计
例11－2 在纺纱机上纺纱，为提高产品质量，选了3个因素，每个因素2个水平作试验，3个因素之间有交互作用
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因素
水平 金属针布
A 产量(kg)
B 纱锭转速(r/min)
C
1
－1 甲地产品
乙地产品 6
10 238
320
试验指标：棉结籽数. 试设计一个试验方案，求最佳生产工艺.
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解 (1) 选择合适的正交表. 如本例是3因素2水平的试验，可采用L8(27)来安排试验，按照试验方案将实验数据填入表中. 表中第一列数字1、－1依次为因素A的二个水平甲、乙地产品；表中第二列数字1、－1依次为因素B的二个水平6，8(kg)；表中第三列数字1、－1依次为因素C的二个水平238、320(r/min)；以第1号试验为例，纺纱机以甲地产品，一次放入6kg棉，转速238r/min作试验，生产过程中棉结籽数为30％即0.3.
(2) 试验结果分析：与例1一样在下表中填上实验数据
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A B C A×B A×C B×C 棉结籽数
1
2
3
4
5
6
7
8 1
1
1
1
－1
－1
－1
－1 1
1
－1
－1
1
1
－1
－1 1
－1
1
－1
1
－1
1
－1 1
1
－1
－1
－1
－1
1
1 1
－1
1
－1
－1
1
－1
1 1
－1
－1
1
1
－1
－1
1 0.30
0.35
0.20
0.30
0.15
0.50
0.15
0.40
K1
K2 1.15
1.20 1.30
1.05 0.8
1.55 1.2
1.15 1.4
0.95 1.15
1.20
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A B C A×B A×C B×C
K1
k2 0.575
0.60 0.65
0.525 0.40
0.775 0.40
0.775 0.70
0.475 0.70
0.475
极差R 0.025 0.125 0.375 0.025 0.225 0.025
(3) 作出结论：极差R越大，表示因素对试验指标的影响越大. 因此按极差大小来决定因素的主次因素. 从表中可以看出主次因素的顺序如下：
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主 次
C
A×C
B
(A A×B B×C)
A A×B B×C因素处于同等地位，指标为棉
结籽数，越小越好，因此从指标k1, k2中选择
较小者. 因素C为主要因素，所以应当控制在
第一个水平上; 对因素B，应当控制在第二个
水平上; 有交互作用A×C涉及到两因素两水
平的搭配：A1C1，A1C2，A2C1，A2C2, 每种搭
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配各做了再次试验，结果如下：
从上表可以看出，A2C1对应的数值最小，因此应选择A2C1，从而最佳工艺方案为A2B2C1, 即用乙地产品，产量为10kg及锭转速为238r/min的方案.
A×C A1C1 A1C2 A2C1 A2C2
平均结
籽数

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