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第十二章 随机过程初步
§12.1 随机过程的概念
一、随机过程的定义
随机过程被认为是概率论的“动力学”（J.Neyman, 1960). 意思是说它的研究对象是随时间演变的随机现象.
随机过程就是研究随机现象变化过程及其规律性的一门新兴学科.
首先看几个实例。
例12－1 考虑抛硬币的试验，用X(n)表示第n次(n≥1)抛硬币出现的结果
里随机过程或贝努里随机序列.
为相互独立的随机变量，因而
可能的结果，取值为0或1，且X(1)，X(2)，…, X(n) …
为随机过程，且称具有这样特性的随机过程为贝努
对于n=1，2…，X(n)均为随机变量，且X(n)有两种
例12－2 电话问题 用N(t)表示时刻t以前即时间间
隔[O，t)内电话总台接到的电话呼唤次数，对于固
定的t,显然N(t)是一个随机变量，但t是一个变化连
续的参数，因此{N(t),t≥0}为一随机过程.
定义12.1.1 设 是样本空间，T是一个实数集， {X( ,t)，t T， }是对应于t和 的实数，即为定义在T和 上的二元函数，则称{X( ,t)，t T， }随机过程。
或X(t).
简记为
称T为参数集合,参数t T可以视为时间，X(t)的每一
个可能的取值所构成的集合，称为状态空间，用
S表示.
由上述实例归纳出如下定义：
(1)对于给定的 ,X( ,t)是一个关于t的函数, 称为样本函数,它可以理解为随机过程的一个实现.
(2) 当t=t0时,X(t0)是一个随机变量, 称它为X(t)在
t0时刻的状态。
两个特点：
式中a和b是常数, 是在(0,2 )上具有均匀分布的随机变量,称为随机相位正弦波.求
(1) 分别取0, /2, 时的三个样本函数；
(2)t分别为1,2时的两个状态.
例12.1.3 设
例12.1.5设有一服务台，[0,t)内到达服务台的顾客数N(t)为随机变量，因而{N(t), t [0, ]}为一随机过程. 当服务台空闲时到达的顾客立刻接受服务，如果顾客到达时发现服务员正在为另一位顾客服务，则他需要排队等候，用X(t)表示t时刻系统内的顾客人数，则{X(t), t [0, ]}}为一随机过程，该随机过程的状态空间S={0，1，2，…}.
例12.1.4 某大型超市统计在t时刻的库存量X(t)，它
大库存量; 参数集T =[0, ].
是随时间变化而变化的随机变量,因此{X(t),t [0, ]}
为随机过程，状态空间为S=[0，R], 其中R表示为最
例12.1.6 随机过程X(t)=X0+Vt，a≤t≤b,其中X0与V为相互独立的服从标准正态分布的随机变量，则{X(t)，t [a,b]}为一随机过程，显然对于固定的t，X(t)～N(0,t2).
参数集
离散

非离散
连续

连续参数链(例12.2, 12.4,12.6)
随机过程(例12.3,12.5)
离散

离散参数链或离散参数随机序列(例12.1, )
随机序列
S
二、 随机过程的统计描述
定义12－2 给定随机过程{X(t)},对任意正整数n 及T中任意n个元素，t1, t2, …, tn，(X(t1), …, X(tn))的联合分布函数记为
称它为随机过程{X(t)}的n维分布函数.
1、随机过程的数字特征
(1) 均值函数与方差函数
给定随机过程{X(t), t T}, 固定t T, X(t)为
一随机变量, 它的均值、方差一般与t有关，记为
均值函数
方差函数
均方差函数或标准差函数.
（2）自相关函数
对任意的t1, t2 T, X(t1), X(t2)为两个随机变量, 令
自相关函数
C(t1,t2)
自协方差函数
均方值函数
显然C(t1, t1)=DX(t1).
（3）互相关函数
同时考虑两个随机过程X(t)与Y(t)时, 对任意的t1,t2 T,若X(t1)与Y(t2)的二阶混合矩存在，
互相关函数
互协方差函数
则称过程X(t)与Y(t)的互不相关.
若
2、二阶矩过程
定义12－3 如果随机过程{X(t), t T}对每个t T,
X(t)的均值和方差均存在，
则称{ X(t), t T}为二阶矩过程.
特别地，如果{X(t),t T}的有限维分布为
正态分布，则称之为正态过程.
正态过程是二阶矩过程的特例.
例12－7 X(t)=X0+Vt, t [a, b],其中X0，V是相互独立的服从N(0，1)分布的随机变量， 求
{X(t), t [a,b]}随机过程的均值函数与协方差函数.
解：
例12－8 X(t)=Acos t+Bsin t,0≤t≤1,其中A、B为
相互独立的服从N(0, 2)的随机变量， 2为实常数，
求该随机过程的均值函数和协方差函数.
解
由例12－8可以看出，其协方差函数C(t1, t2)仅与t1-t2有关，而与t1、t2无关，称此类过程为宽平稳过程，它是二阶矩过程中研究得最多的一种随机过程，下面我们给出一般的定义.
定义12－4若{ X(t), t T}为二阶矩过程，如果它的
均值函数为常数，协方差函数C(t1,t2)仅与t1-t2有关，
即C(t1，t2)=B(t1-t2)，称{X(t),t T}为宽平稳过程
或广义平稳过程.
与宽平稳过程相对应的是严平稳过程，对于
随机过程{ X(t), t T}，对于任意的t1,t2,…, tn T,
当t1+ , ，t2+ ,…,tn+ T时，有
容易看出，平稳过程的统计特性是不随时间推移而变化的. 一般的严平稳过程未必有二阶矩，因而严平稳过程不一定是宽平稳过程；若严平稳具有二阶矩，则它必是宽平稳过程; 反之，宽平稳过程也未必是严平稳过程，但对正态过程而言，宽平稳与严平稳是一致的.
称{X(t),tT}为严平稳过程.
除了平稳过程外，随机过程理论中还有一种比
较重要的二阶矩过程：正交增量过程，对于二
阶矩过程{X(t),t T}，对任意的t1则称{X(t),t T}为正交增量过程.
另一方面，对于二阶矩过程{X(t), t T}，对任意
则称{X(t),t T}为独立增量过程.
的t1独立，
与
如果随机过程X(t) 为独立增量过程，
的分布仅与时间间隔有关，与t1无关
则称这类随机过程为齐次的独立增量过程.
如果随机过程{X(t), t≥0}为齐次的独立增量过程,
对任意的 t1则称二阶矩过程X(t)为维纳过程. X(0)=0
3、马尔可夫过程(Markov)
设有一随机过程{X(t), t T}，对任意正整数n
(n≥3)及任意的t1则称{X(t),t T}具有马尔可夫性，并称此过程为
马尔可夫过程简称为马氏过程.
总结
二、 随机过程的统计描述
一、 随机过程的定义
均值函数与方差函数
1、随机过程的数字特征
自相关函数
互相关函数
2、二阶矩过程
宽平稳过程
严平稳过程
正交增量过程
独立增量过程
齐次的独立增量过程
维纳过程
3、马尔可夫过程(Markov)

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