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过程及相关的性质.
上节介绍了参数集与状态均为离散的马氏过
程，下面介绍参数集连续状态空间离散的马
氏过程即纯不连续马氏过程，首先介绍泊松
12.3 纯不连续马氏过程
12.3.1、泊松过程
1、计数过程
定义 在[0, t)内事件A发生的总数N(t)组成的
过程{N(t) , t≥0}称为计数过程.
例如在[0, t)到达某商店的顾客数组成的过
程{N(t)，t≥0}为计数过程.
从上述定义出发，计数过程满足下列条件:
（1）N(t)≥ 0;
（2）N(t)为一非负整数;
（3）有两个时刻s＜t，则N(s)≥N(t);
对于时刻s＜t，N(t)－N(s)为时间间隔
[s，t)中事件A出现的次数.
注：在计数过程中，如果在不相交的时间间隔内出现文件A的次数是相互独立的，则该计数过程为独立增量过程.
{X(t),t∈T}为一随机过程，
若X(t2)－ X(t1)与X(t4)－X(t3)独立，则称
{X(t)，t∈T}为独立增量过程.
定义 {X(t)，t∈T}为－随机过程，若s＜t时，
X(t)－X(s)的分布仅t－s有关而与s无关，则称
此过程为平稳增量过程.
定义
2、泊松过程
定义 设－随机的计数过程{N(t),t≥0}满足
下列条件
(1)N(0)＝0
(2){N(t),t≥0}为独立增量过程和平稳增量
过程；
(3)在[t, t+ t)中出现一个事件的概率为
在[t, t+ t)出现2个或2个以上事件
A的概率为o(Δt),即
则该计数过程为泊松过程.
定理
泊松过程{N(t),t≥0}在时间间隔[t0,t0+t)
内事件A出现n次的概率为
证明 记
Pn(t)=P{N(t)=n}=P{N(t)-N(0)=n}
由于
, 所以 C=1.
由此得：
即
根据全根率公式
根据数学归纳法即可得
(n=1, 2, …)
注1 EN(t)= t, DN(t)= t.
即 代表单位时间内事件A出现的平均次数。
注2
(3) 从t=0开始到第n次事件发生所需的时间称为等待时间，记为Sn, Sn服从分布，其密度函数为
定理
(1) 强度为 的泊松过程相邻两次事件
发生的时间间隔服从参数为 的指数分布；
其逆命题也成立；
(2) 对于泊松过程，若已知[0, t）内有一个
事件发生，则事件发生的时刻均匀分布于
[0,t）内；
12.3.2 转移概率及性质
定义设{X(t),t∈T}为马氏过程，则
(当s不难得到如下性质
(i) 0≤F(s, x；t, y) ≤1
(ii) F(s,x; t,+ )=1, F(s, x;t, - )=0；
(iii) F(s,x;t,y)为关于y的右连续函数。
与第二节类似地可以得到如下的切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）.
定义
为马氏过程，S={0,1,2,…},
称为纯不连续马氏过程由i状态转移到
j状态的转移概率。若与t1无关，则称之为
齐次的马氏过程.
对τ>0有
定理 (C-K方程)设为齐次的纯不连续马氏过程
,S={0, 1, 2, …}，
证明
另一方面，
与上述类似地可得：
显然pij(t)有以下性质
①
②
③

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