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§12.4 平稳随机过程
平稳过程是什么意思？
定义 若随机过程
具有相同的分布函数,则称随机过程X(t)为严平稳过程.
与
和任意
对于任意时刻
若严平稳过程的均方值函数存在,则
均值函数为
均方值函数为
方差函数为
相关函数
定理若严平稳过程X(t)还是二阶矩过程,则
(1)X(t)的均值函数是一常数,记为 E[X(t)]=mX;
(2)X(t)的相关函数RX(t1,t2)是单变量 = t2-t1的
证明:(1) 因为X(t)与X(t+h)同分别, 令h=-t, 得
定义
若随机过程
二阶矩都存在
则它为二阶矩过程.
函数, 记为
同分布
令h=-t1得
同分布，
若对任意
定义
给定二阶矩过程
则称X(t)是一个宽平稳过程或
(常数),
(仅仅是时间差函数),
广义平稳过程,简称平稳过程.
例1 考察随机相位正弦波
的平稳性。
（式中a和b是常数, 是在（0,2 )上具有均匀分布的随机变量）
例2 设s(t)是一周期为T的函数, 是在区间(0,T)上服从均匀分布的随机变量,称X(t)=s(t+ )为随机相位周期过程.试讨论它的平稳性.
例3 设X(t)是白噪声序列，
定义 设有随机变量序列{X(t),t T}= {tk|k=0,+1,+2,…} ,且
则称X(t)为一白噪声序列。
称Y(t)为n阶滑动和过程，判断其平稳性。
解:
常数
仅是 的函数.
故Y(t)是
平稳过程.
一、 相关函数的性质:
证明:先证柯西-许瓦茨不等式:
即
再由
由柯西-许瓦茨不等式
即
是非负定的,即对任意
和任意实值函数g(.)都有
证明:
可以证明:任一连续函数,只要具有非负定性,那么该函数必是某平稳过程的自相关函数。
(5)如果平稳过程X(t)满足条件
则称它为周期是T0的平稳过程.
周期平稳过程的自相关函数必是周期函数,且其周期也是T0.
证明:
由柯西-许瓦茨不等式
(6) 平稳过程{X (t), t∈T}，当 的绝对值充
分大时，其状态X (t)与X (t＋ )独立，即有
例5设平稳过程{X (t), t∈T}，当的绝对值充
分大时，X (t)与X (t＋ )独立，其相关函数为
求X (t)的均值.
解 由性质得
这一性质很有趣，对于平稳过程的相关函数, 只要知道在处连续，就可以得出对任意点处都连续，对于一般连续函数是不具备这样的性质的（其证明超出要求范围）.
(7) R( )、B( )在连续的充要条件为R( )、B( )在
=0处连续.
如何根据平稳过程的观察值估计过程的数字特征？
二、 各态历经性
定义 设X(t)是一个平稳过程,称
为X(t)在[-T,T]上的历时平均值.称
为X(t)在[-T,T]上的历时相关函数.
时如何取“极限”？
上式中的“积分”是什么概念？
当
定义设Xn,n=1.2…是由二阶矩存在的随机变量组成的序列,X是一个随机变量,若
则称Xn,n=1,2…均方收敛于X,记为
1 均方极限与均方积分
均方极限有如下性质:
1如果l.i.m.Xn=X, ,那么
证明:由柯西-许瓦茨不等式:
在上式中,取X=|Xn-X|,Y=1,则有
由
即
2.若l.i.m.Xn=X , l.i.m.Yn =Y,则:
证略
3.若l.i.m.Xn=X , l.i.m.Yn =Y ,则对任意常数a,b,
证略
由1. 2. 3不难推出:当l.i..m.Xn=X , l.i.mYn =Y时,有
定义设X(t)是一个随机过程, 对区间[a,b]作分割
若
时,和式
均方极限存在,则称X(t)在[a,b]上均方可积,此极限称为X(t)的均方积分,且记为
即
均方可积准则: 随机过程X(t)在[a,b]上均方可积的充分条件是X(t)的自协方差函数CX(s,t)在a≤s ≤b, a≤t ≤b上黎曼可积.
如果X(t)在[a,b]上均方连续,即
则X(t)在[a,b]上均方可积
证略。
均方积分的性质:
证明:设
此性质说明求期望号与求积分号可交换次序.
存在.即
存在.由
得
为X(t)的时间均值，称
定义 称
为X(t)的时间相关函数.
设X(t)是平稳过程,易证
证明:
证略
证略
定义 设X(t)是一个平稳过程,若
以概率1成立,则称X(t)的均值具有各态历经性.若
以概率1成立,则称的自相关函数具有各态历经性.
若X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性,则称X(t)是(宽)各态历经过程,或者说X(t)具有遍历性.
二、 各态历经性(Ergodic)
定理1 (均值各态历经定理) 平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件是
其中
证明:
定理2 (自相关函数各态历经定理) 平稳过程X(t)的自相关函数具有各态历经性的充要条件是
其中
证略
例：考察随机相位正弦波均值的各态历经性。
解：
故X(t)的均值具有各态历经性
输入：自然光
输出：
输入：x(t)
输出：
频率1
频率2
.
.
.
Fourier
变换
三、 平稳过程的功率谱密度
2cos(t)+cos(t/2)
0.5cos(t)+2cos(t/8)
cos(t)+cos(t/8)
设x(t)是周期为T的函数,若x(t)在[-T/2,T/2]上满足Dirichlet条件, 则在[-T/2,T/2] 上（x(t)的连续点上）x(t)可表示为
其中，
对于非周期的函数x(t),可以看成是以T为周期的函数当T→∞时的近似.于是
1 时间函数的功率谱密度
其中，
若上述极限存在,则
综上所述,设x(t)是时间的函数,若x(t)满足Dirichlet条件,且绝对收敛，则（在x(t)的连续点上）x(t)可表示为
其中，
称为x(t)的Fourier变换或频谱 。
由Parseval等式
等式左边表示x(t)的总能量，
右边如何解释？
称 为x(t)的能谱密度。
对于能量无限的信号x(t)，该如何展开？
设x(t)是一个普通函数,记
则
称 为x(t)的平均功率.
由Parseval等式
*式两边同乘 并令 得
定义 称
为函数(信号)x(t)的平均功率谱密度,简称功率谱密度
2 平稳过程的功率谱密度
设{X(t),t∈R}是一个平稳过程,记
定义 称
为平稳过程 X(t),t R的功率谱密度.
平稳过程X(t),t R的功率谱密度有下列性质:
(1) SX( )是 的实的、非负的偶函数,
即SX( ) 0 ,且SX(- )= SX( ) .
证明:
(2) SX( )和自相关函数 RX( )是一傅里叶对,即
证明:
此变换的雅可比行列式为
由二重积分换元公式
记
即SX( )是RX( )的Fourier变换.
利用逆Fourier变换可得
例1 已知过程X(t)的谱密度
求平稳过程X(t)的自相关函数。
解: X(t)的自相关函数
在
处的留数之和.}
注:留数定理：f(z)在围线C所包围的区域D内除
a1,…,an外解析，在闭域D=D+C上除a1,…,an外连续，则
其中，若a为f(z)的一级极点
根据留数定理有:
式中,x是实变量,z 是复变量,a 是大于零的常数.
则
上题中,如果
如果
已知平稳过程X(t)的谱密度
求X(t)的自相关函数和均方值。
解: X(t)的自相关函数
需要指出，在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程，他们的自相关函数或谱密度在常义下的fourier变换或逆变换是不存在的（例如随机相位正弦波的自相关函数），但与通常频谱分析中遇到的情况一样，如果允许谱密度和自相关函数含有d函数，则在新的意义下，利用d函数的fourier变换性质，有关实际问题仍能得到圆满解决。
d函数的基本性质是：对任一在t=0连续的函数f(t)，有
据此，可以写出以下fourier变换对
例3 已知平稳过程 V(t)的自相关函数为
求所对应的谱密度 SV( ) ..
解
EX 求白噪声过程的谱密度。
设有随机平稳过程X(t),t T,且
则称X(t)为一白噪声过程。
解

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