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第三章知识结构图
多维随机变量
联合
分布律
联合分布函数
函数 的分
布
联合概率密度
二维离散型
随机变量
联合分布函数
函数
的分
布
二维连续型
随机变量
定义
常用分布
定义
常用分布
两事件A, B 相互独立的定义是：
若 P (AB) = P (A) P(B)
则称事件 A, B 相互独立
第四节 相互独立的随机变量
两个随机变量相互独立概念的引出
现问：
若 X, Y 是两个随机变量，若对任意的 x, y,
有:
则能否得出 X, Y 相互独立 ？
一. 随机变量相互独立的定义
设 (X,Y) 的 联合分布函数及边缘分布函数
为F(x,y)
若对任意的 x, y 都有:
则 称 随机变量 X 和 Y是相互独立的.
二. 当 (X,Y) 为离散型随机变量
X和Y相互独立
是
的所有可能的取值
例1.
设 X,Y 相互独立，它们的分布律分别为:
求: (X,Y) 的联合分布律.
解:
相互独立
从而：
依次可得 (X,Y)
的联合分布律为:
X
Y
对离散型随机变量而言，已知联合分布律可求出其
相应的边缘分布律，但反之则不然。
从此例可得出：
而一旦已知 X,Y 相互独立条件后，则可由边缘分布
律直接求得其联合分布律。
三. 当 (X,Y) 为连续型随机变量
同一维随机变量的独立性，类似有：
设 (X,Y) 服从正态分布，其边缘分布密度为：
例2.
注
问: X 和 Y 相互独立的充分必要条件是什么
问: X 和 Y 相互独立的充分必要条件是什么
解:
要
则比较可知其充分必要条件是：
(1) 联合概率密度及边缘概率密度;
(2) 检验 X 和 Y 是否相互独立
(3) (X,Y) 的联合分布函数
(4)
例3.
求:
解:
(1).
设随机变量 (X,Y) 在矩形域:
内服从均匀分布
(X,Y) 服从均匀分布
由题意在
区域内
所以，其概率密度为:
在矩形 上:
所以，其联合概率密度为：
在其它域上:
(2).
所以得其边缘概率密度分别为：
与
相互独立
(2) 检验 X 和 Y
是否相互独立
(3).
视它为不可能事件
当
时:
(3) 求(X,Y) 的联
合分布函数
当
时
故(X,Y)的联合分布函数为
(4).
甲乙两人约定中午12点30分在某地会面。
设甲在时间12:15到12:45之间到达某地
是均匀分布；乙独立地到达，而且到达
时间在12:00到13:00之间也是均匀分布.
例4.
试求：(1) 先到的人等待另一人到达 的
时间不超过5分钟的概率.
(2) 甲先到的概率
设 X：甲到达时刻， Y：乙到达时刻
若以12点为起点，以分为单位，依题意：
X ~ U ( 15, 45 ), Y ~ U ( 0, 60 )
先到的人等待另一
人到达的时间不超
过5分钟的概率
甲先到
的概率
解:
且有：
所求为 ： 及 P( X < Y )
=1/6
=1/2
P ( X < Y )
而：
类似的问题如：
甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独
立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可
能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停泊 2小时
而该码头只能停泊一艘船.
★
试求：其中一艘船要等待码头空出的概率
在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5 秒，则信号将产生互相干扰.
★
把长度为a 的线段在任意两点折断成为三线段
★
长度为a
求：发生两信号互相干扰的概率.
求：它们可以构成三角形的概率.
四. 个随机变量相互独立的概念
定义1.
则称
是相互独立的。
定义2.
若对所有的
有：
若对所有的
有：
其中
依次为随机变量
和
的分布函数。
和
是相互独立的。
关于 的边缘分布函数
则称
若连续型随机向量（X1, …,Xn）的概率密度
函数 f (x1, …, xn)可表示为 n 个函数 g1, …,gn
之积，其中gi 只依赖于 xi，即:
关于独立性的三个结果：
定理1
则 相互独立，且 的边缘密度 与 只相差一个常数因子.
若 X1, …, Xn 相互独立，而：
Y1= g1 ( X1, …,Xm ), Y2= g2 ( Xm+1, …, Xn )
定理 2
定理 3
和
相互独立
设
则
和
相互独立。
又若
是连续函数，
则：
和
相互独立。
则 相互独立.

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