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第四章知识结构图
随机变量的数字特征
数学期望
方差
矩与协方差矩阵
一维随机变量的数学期望
二维随机变量的数学期望
一维随
机变量的方差
二维随
机变量的方差
离散型
连续型
连续型
离散型
相关系数与协方差
第四章 随机变量的数字特征
问题的引出
引例.
某车间对工人的生产情况进行考察。 车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。
现若统计100天得：
解：
32天没有出废品; 30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品;
第一节 数学期望
问：如何定义 X 的平均值？
于是，可以得到这100天中每天的平均废品数为：
这个数能否
作为X 的平
均值呢？
若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1. 27.
若统计 n天, (假定小张每天至多出三件废品)
显然：
一般，
得：n0天没有出废品; n1天每天出一件废品;n2天每天
出两件废品; n3天每天出三件废品.
32天没有出废品; 30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品;
可以得到 n天中每天的平均废品数为：
这是以频率为
权的加权平均
由频率和概率的关系
在求废品数 X的平均值时，用概率代替频率，得平均值 ( 一个确定的数) 为：
这是以概率为
权的加权平均
用这个数作为随机变量 X
的平均值 是否合理 ？
现问：
这是频率
则对 X 作一系列观察(试验)，所得 X 的试
验值的平均值也是随机的。
以概率为权的加权平均值作为
随机变量 X 的平均值是合理的
但是，如果试验次数很大，出现 Xk 的频率
会接近于 pk ，于是可期望试验值的平均值
接近于：
注意到：
由此：
对于一个随机变量X，若它可能取的值是：
相应的概率为 p1, p2, …,
设 X 是离散型随机变量，它的分布律为:
P( X= Xk ) = pk , k=1, 2, …
离散型随机变量的数学期望
是一个绝对收敛的级数的和
如果级数
绝对收敛，
1. 定义1
一. 离散型随机变量的数学期望
的和为随机变量 X 的数学期望，记为：
则称此级数
▲
是个(实)数。
故常称 为 X 的均值；
▲
▲
的计算：
若
不绝对收敛，
▲
推广到
二维：
为联合分布律
注
形式上是X的可能取值的
加权平均值；
本质上体现了X的真正的平均，
个质点系的重心坐标。
物理上表示了一
当 X 的可能取值为有限时，
则计算有穷和；
当 X 的可能取值为无限时，
则计算级数的和。
则称 不存在
解:
某人的一串钥匙上有 n 把钥匙，其中只有一把能
打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的
某一把去开门， 若每把钥匙试开一次后除去。
设试开次数为 X，则：
P ( X= k) =
E (X)
于是，由数学期望的定义得：
例1
求：打开门时试开次数的数学期望.
2 . 几种常见分布的数学期望
它的分布律为:
若随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值，它的分布律为:
则：
(1) 分布
即
(2) 二项分布
即:
设随机变量 X 服从参数为 的二项分布，
则：
时
即:
令:
(3) 泊松分布
若随机变量X 的所有可能取值为：
而它的分布律(它所取值的各个概率)为：
即:
则:
即:
展开式
例2.
某银行信贷部门对前来申请贷款的两个企业进
行调查，对其产品在市场上畅销、适销和滞销
三种状况的盈利额和相应的概率作了如下估计：
甲企业:
乙企业:
产品
盈利额
概率
（ 万元）
畅销
适销
滞销
50
30
-- 20
0.15
0.6
0. 25
产品
盈利额
概率
（万元）
畅销
适销
滞销
60
36
-- 40
0.1
0.6
0. 3
问: 当其它条件均相同时，信贷部门应先批准哪个
企业的贷款更为稳妥？
解 ：
当其它条件均相同时，应考查两个企业盈利额
的平均值的情况。
故分别求其数学期望：
（万元）
（万元）
甲企业的经济效益高于乙企业，
所以信贷部门应先批准甲企业
的贷款更为稳妥。
由此可见，
设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 在数轴上取很密的分点 x0 小区间[xi , xi+1 )
阴影面积近似为
二. 连续性随机变量的数学期望
1. 连续型随机变量数学期望的定义
连续型随机
变量的数学
期望的引出
由于 xi 与 xi+1 很接近, 所以区间[ xi , xi+1 )
中的值可以用 xi 来近似代替.
这正是
的渐近和式.
变量近似，
因此 X 与以概率
取值 xi 的离散型随机
的数学期望为：
阴影面积近似为
小区间[xi , xi+1 )
注意到
该离散型随机变量
由此启发引进如下定义2.
设 X 是连续型随机变量，其概率密度函数
为连续型随机变量 X 的数学期望，记为：
连续型随机变量的数学期望
是一个绝对收敛的积分.
定义2
则称此积分的值
绝对收敛 ，
如果积分:
为 f (x)，
例3.
▲
▲
连续型随机变量的数学期望的相关注记同
离散型随机变量 (略)
推广到二维:
为联合概率密度
设某系统 L有三种联接方式，其寿命 Z 是随机
变量，现已知这三种联接方式各自寿命的概率
密度分别为：
注
(串联)
(并联)
(备用)
求：这三种联接方式中哪种方式的平均寿命最长
解：
依题意，当 时其数学期望分别为：
显然：
所以得：在备用的联接方式下其寿命最长
2. 几种常见分布的数学期望
则：
(1). 均匀分布
若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为：
即
即:
(2). 指数分布
若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为：
为常数
其中
则:
即:
由分部积分
(3). 正态分布
若随机变量 X 的概率密度为：
即 :
则:
三. 随机变量函数的数学期望
即:
结论：正态分布中密度函数的参数 恰好就是
随机变量X的数学期望.
1. 问题的提出：
设已知随机变量 X 的分布，且 Y= g(X),
如何计算 Y= g(X) 的数学期望？
即如何计算随机变量的函数的数学期望
由已知的 X 的分布求出随机变量 g(X)
的概率分布，当知道了g(X) 的分布后，
按照数学期望的定义计算 E[ g(X) ]
使用这种方法必须先求出随机变量函数 g(X)
的分布，而实际中一般其计算是比较复杂的 .
是否可以不先求 g( X ) 的分布
而只根据 X 的分布求得 E[ g(X) ]
一种方法是:
这种方法的缺点:
问题：
定理.
设Y是随机变量X的函数： （
是连续
函数）
则：
(1) X是离散型随机变量，它的分布律为：
绝对收敛，则有：
(2) X是连续型随机变量，它的概率密度为
绝对收敛，则有：
证明：(略)，此定理特殊情况的证明见浙大教材P116
给出了求随机变量函数的数学期望时，
可以直接利用原来随机变量的分布，
而不必先求随机变量函数的分布。
此定理可以推广到二个或二个以上随机变量的情形：
▲
定理的意义：
▲
例如，设 Z 是随机变量 X，Y 的函数
是连续的函数，
则有：
注
这里设上式右边的级数绝对收敛.
(1) 若(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为：
则有：
(2) 若(X,Y)为连续型随机变量，其联合概率密度为
则有：
这里设右边的积分绝对收敛.
例4.
设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：
求：
的数学期望
解：
显然，由题设
的区域如图中的阴影部分
1
1
o
y
x
x
y
因此有：
设国际市场对我国某出口商品的年需求量是一
个随机变量 X（单位:吨）, 它在 [2000, 4000]
上服从均匀分布。 设每售出这种商品一吨，可
为国家挣外汇3万元，若售不出，则每吨需花费
仓储费1万元.
例5
问：需组织多少货源, 才能使国家的收益最大
解：
设
准备某年出口此种商品的量.
由题设可知：
设收益为 Y，则有：
而随机变量 X 的概率密度为：
所以：
结论：应组织 3500(吨)货源才能使国家的收益最大.
注意到：E(Y)是变量
的函数
所以，对 E(Y)关于 求极值，可得：
时
当
达最大
四. 数学期望的性质
设
是常数，则：
设
是常数，X 是随机变量，则：
线性性质
这一性质可推广到任意有限
个随机变量之和的情形.
X, Y 是两个随机变量，则：
X, Y 是两个相互独立的随机变量，则：
这一性质可推广到任意有限个
相互独立的随机变量之积的情形
性质3、性质4的证明见教材P120--121
注
注
例6.
求：
的数学期望
解：
积分值等于1
例7.
设
相互独立，且均服从
分布
求：
解：
设：
由题意，每一个随机变量均服从（0—1）分布
即每一个随机变量 服从：
则由数学期望的性质有：
而：
所以得：

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