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第五章知识结构图
概率论的理论结果
大数定律
中心极限定理
切比雪夫大数定理
贝努利大数
定理
辛钦
(大数)定理
独立同分布的中心极限定理
棣莫弗--拉普拉斯中心极限定理
李雅普诺夫中心极限定理
概率论中，已经知道正态分布居于头等重要的地位，许多随机变量都遵循正态分布。
第二节 中心极限定理
问题的引出
高斯
大量实验观察也表明:
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见。
如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造
成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大，
则这种量一般都服从或近似服从正态分布。
(1). 具有有限方差的一列独立同分布的随机变量的
和 经过标准化后是以标准正态分布为极限的.
--------
在长达两个世纪内一直成为概率论研究的中心问题。数学家们经过卓越工作建立了一系列定理，解决了这一问题，并指出:
是经验之谈呢，还是确有理论依据呢？
(2). 对“由大量微小的独立的随机因素”（不要求同
分布）引起并累积成的变量，当随机因素个数
趋于无穷时以正态分布为极限。
--------
当“同分布”为二项分布时就得出该定理的特例，
--------棣莫弗---拉普拉斯定理(二 项分布的正态近似)
独立同分布的中心极限定理 或 称为
林德贝尔格----勒维中心极限定理。
李雅普诺夫中心极限定理。
一台机床已经调试良好，操作正常。但由于机床
的微小震动、工具的微小变形、原材料质量上的
微小差异、工作操作上的微小偏差等等数不清的
随机因素，它们每一个因素在总的影响中所起的
作用都是微小的。而综合起来在产品质量上就形
成一定的误差，这误差近似服从正态分布。
比如：
在一定条件下，大量的随机变量之和的概率分布以正态分布为极限的定理称为中心极限定理。
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布
这一类定理都叫做中心极限定理。故有：
研究相互独立随机变量之和所特有的规律性问题。
(1). 当 n 无限增大时，这个和的极限分布是什么？
(2). 在什么条件下极限分布将是正态分布？
研究的问题：
在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生 的总影响：
炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响：
中心极限定理的客观背景
瞄准时的误差，
所要研究的是：这些随机因素的总影响.
例如：
炮弹或炮身结构所引起的误差等等.
空气阻力所产生的误差，
一. 独立同分布中心极限定理
定理1.
设随机变量 相互独立且服从同
（林德贝尔格---勒维(Levy－Lindberg)定理）
则随机变量之和
的标准化变量 ：
一分布，其数学期望与方差:
的分布函数 对于任意 满足:
证： (略) 它要用到特征函数和傅利叶变换等等。
▲
定理1 表明:
虽然在一般情况下，很难求出 X1+ X2 + …+ Xn
的分布的确切形式，但当 n 很大时，可以求
出其近似分布。
注
标准正态分布。
当 n 充分大时，n 个具有期望和
方差的独立同分布的随机变量之和
近似服从
定理1 表达了正态分布在概率论中的特殊地位:
尽管 分布是任意的，但只要 n 充分大后，其样本平均值 的分布却是近似服从正态分布的：
▲
或
这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础
二. 李雅普诺夫定理
定理2.
设随机变量 相互独立，它们
具有数学期望和方差为：
( Liapunov 中心极限定理)
记
若存在正数
使得当
的分布函数 对于任意 满足:
证明：（略）
则随机变量之和
的标准化变量 ：
▲
定理2表明，
当 n 充分大时，随机变量：
近似服从标准正态分布。
即，
近似服从正态分布
▲
由此，
定理2再次表达了正态分布在概率论中的
特殊地位：
无论各个随机变量 服从什么分
布，
注
n 充分大时就近似服从正态分布。
只要满足定理2 的条件，
那么它们的和当
三. 棣莫弗---拉普拉斯定理
定理3.
（De Moivere—laplace 中心极限定理）
设随机变量 相互独立，且服从参数为
证明:
服从参数为 的二项分布
若随机变量 相互独立，且服从
同一(0—1)分布，
则
见教材P125例6 的结论
则对任意
的二项分布，
恒有:
由此 是 n 个相互独立，服从同一 (0--1) 分布的
之和。即：
其中 的分布律为：
由定理1得：
定理3表明：
在第二章中已介绍当 时，二项分布以
▲
▲
在泊松定理中要求
在中心极限定理中要求
在实际计算中，如果 n 很大但 np或 nq 不大 ( 即 p 很小或 q =1-p 很小 )，则用泊松定理去近似；如果 n，np 或 nq 都较大，则用中心极限定理去近似。
这两者的区别是：
注
正态分布是二项分布的极限分布，
当 n 充分大时可以用正态分布来计算二项分
布的概率。
泊松分布为极限分布；
而在本章中二项分布又
以正态分布为极限分布。
例1.
抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个
则认为这批产品不能接受。
解:
设 n：应检查产品个数 ，
现要求 n ，使得：
求：应该检查多少个产品，可使次品率为 10% 的
一批产品不能被接受的概率达到 0. 9
由
定
理
3
近似服从N( 0, 1 )
X：其中次品数，则
由3σ准则，
为 1
要
只要：
即要：
此时由于：
必定有：
只要：
所以要：
因为
即
查表得:
故
结论：应检查 146 个产品时，可使这
批产品不被接受的概率为0. 9.
例 2.
计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算。设所有的取数误差是相互独立的随机变量，并且都在区间[ -0.5, 0.5 ] 上服从均匀分布。
求:
现有1200个数相加，误差总和的绝对值小于
10的概率。
(2) 应有多少个数相加时可使误差总和的绝对值
小于10 的概率大于0. 9.
解:
设 为各个加数的取数误差.
则这是一列独立同分布的随机变量，
其所有加数的误差总和为：
从而：
(1)
在
服从均匀分布
从而
(2)
由
定
理
1
近似服从N ( 0, 1 )
近似服从N ( 0, 1 )
只要:
查表得:
解得:
结论: 441 个数相加时可使误差总和的绝对值小于10 的概率大于0. 9.
所以要
例3.
在人寿保险公司里，有16000名同一年龄的人参加人寿保险。一年里这些人的死亡率为0.1%；参加保险的人在一年的第一天交付保险费3元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。
求:
(1). 保险公司因开展这项业务获利不少于
10000元的概率.
(2). 保险公司因开展这项业务亏本的概率.
解:
由题意，死亡人数
这里，
保险公司一年内这项保险收入是：
获利不少于10000元，即赔偿不大于 38000(元)，
该公司获利不少于 10000(元)的概率为 0.7734.
(1).
所以:
即一 年内至多有 （人）死亡
公司亏本即赔款大于48000元，即一年内有多
于 （人）死亡
该公司亏本的概率为 0.02275
(2).
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出正态曲线这一值得注意的事实。
归纳

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