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第四章知识结构图
随机变量的数字特征
数学期望
方差
矩与协方差矩阵
一维随机变量的数学期望
二维随机变量的数学期望
一维随
机变量的方差
二维随
机变量的方差
离散型
连续型
连续型
离散型
相关系数与协方差
第二节 方 差
问题的引出
引例1
某零件的真实长度为 a，现用甲、乙两台仪
器各测量 10 次，将测量结果 X 用坐标上的点
表示如图：
甲仪器测量结果
乙仪器测量结果
测量结果的均值都是 a
若需评价两台仪器的优劣，
可认为哪台仪器好一些呢？
较好
因为乙仪器的测量结果集中在均值 附近
甲、乙两门炮同时向一目标射击 10 发炮弹，
其落点距目标的位置如图：
若需评估射击效果，可认为哪门炮射击效果好一些
甲炮射击结果
乙炮射击结果
乙炮
因为乙炮的弹着点较集中在靶心附近 .
靶心
靶心
引例2
引例3
某两个储蓄所，它们的月吸收存款额(万元)
及其概率如下所示：
甲储蓄所
乙储蓄所
月吸收存款额
概率
8
10
12
0. 2
0. 6
0. 2
月吸收存款额
概率
7
10
13
0. 3
0. 4
0. 3
问：甲乙两个储蓄所哪个月吸收存款额来得稳定？
解：
(1) 若计算其数学期望，则：
(万元)
(万元)
必须了解它的取值与平均值的偏离程度。
(2) 若用随机变量与其数学期望的偏差的期望值
来表示这偏离程度，则：
(万元)
(万元)
从计算的结果上看，
由于诸偏差的正负抵消，
这两个储蓄所的月吸收存款额与其数学期望的偏差
的期望值均为“0”，
这样就掩盖了实际偏差的大小。
因此，
为了克服诸偏差的正负抵消，
真正反映出实际
偏差的大小程度，
通常采用偏差平方的数学期望来
描述随机变量的取值与平均值的偏离程度。
(3) 若用随机变量与其数学期望的偏差平方的期望值
来表示这偏离程度，则：
(万元)
(万元)
从计算的结果上看，
由于克服了诸偏差的正负抵消，
这两个储蓄所的月吸收存款额与其数学期望的偏差
平方的期望值就真正反映出实际偏差的大小程度：
甲储蓄所的月吸收存款额比乙储蓄所的月吸收存款额来得“稳定”
用偏差平方的数学期望来描述随机变量
的取值与平均值的偏离程度为“方差”.
通常称
一. 方差的定义
记为：
定义.
采用平方是为
了保证一切差
值X-E(X)都起
正面的作用
则称
为 X 的方差.
设 X 是一个随机变量，若 存在,
注
方差的算术平方根 称为标准差
或均方差。记为:
▲
实际上是
的函数
的数学期望。
▲
▲
是个(实)数.
的偏差平方与相应概率的乘积之和.
注
形式上是X 的每一个取值和它们的平均值
本质上体现了X 围绕着“平均值”的偏离程
度，
故它是衡量X 取值分散程度的
物理上表示了一个质点系通过重心 E(X)的
纵轴的转动惯量.
一个标志.
二. 离散型随机变量的方差
1. 定义.
设离散型随机变量 X 的分布律为:
如果级数
绝对收敛，则称此
级数为 X 的方差，记为：
如果级数
不绝对收敛 ，
注
不存在.
则称
2 . 几种常见分布的方差
若随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值，它的分布律为:
则：
(1) 分布
则：
(2) 二项分布
它的分布律为:
即
设随机变量 X 服从参数为 的二项分布，
则:
三. 连续型随机变量的方差
1. 定义.
设连续型随机变量X 的概率密度为
如果积分
绝对收敛，
则称此积分为 X 的方差，记为：
(3) 泊松分布
若随机变量X 的所有可能取值为：
而它的分布律(它所取值的各个概率)为：
即:
2. 几种常见分布的方差
则 :
(1). 均匀分布
若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为：
即
则:
即:
(2). 指数分布
若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为：
为常数
其中
(3). 正态分布
若随机变量 X 的概率密度f (x)为：
即 :
则:
即:
结论：正态分布中密度函数的参数 恰好就是
随机变量 X 的方差。
正态分布中密度函数的参数 恰好就是
随机变量X的数学期望.
四. 方差的性质
1.
这是一个重要的经常使用的计算公式
证明:
由数学期望的性质
因为数学期望E(X)是数
这个公式给出了计算随机变量X的方差的公式，同时也给出了数学期望与方差之间的关系。
注
例1.
设
即它的概率密度函数为：
求：X 的方差
解：
因为：
所以：
例2.
设随机变量 X 服随机从几何分布，其分布
律为：
其中，0 < p <1
解：
求和与
求导
交换
次序
无穷递缩等比
级数求和公式
求：D ( X )
记
+ E(X)
所以:
2 .
若 是常数，则：
3.
若 是常数，X 是随机变量，则：
证明：
4.
若 X,Y 是相互独立的随机变量，则：
证明：
由方差定义
因为X,Y
相互独立，所以X-E(X)
与Y-E(Y)
也相互独立
此性质可推广到任意有限多个
相互独立的随机变量之和的情形。
注
5.
的充分必要条件是X以概率1取常数
即
显然，这里
6.
(切比雪夫不等式)
设随机变量 X 具有数学期望
方差
则对任意正数
不等式：
成立。
称其为切比雪夫不等式
▲
切比雪夫不等式(chebysev)的另一形式:
注
▲
切比雪夫不等式的作用：
如取
则:
由切比雪夫不等式可以看出，
▲
给出了在随机变量 X 的
分布未知的情况下,
概率下限的一
种估计方法。
可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在 , 则
随机变量X 取值偏离 E(X) 超过 的概率小于0.111 .
由此得出方差的概率意义：
若 越小，则事件
{|X-E(X)|< }的概率越大 ,
即随机变量 X 集中在
期望附近的可能性越大.
它刻划了随机变量取值的离散程度
已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 .
设 X：每毫升白细胞数
依题意，
现求：
例3
解：
试利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在
5200 ~ 9400之间的概率 .
由切比雪夫不等式得：
即估计每毫升白细胞数在5200 ~ 9400
之间的概率不小于8/9 .
例4
在每次试验中，事件A 发生的概率为 0.75
设 X ： n 次试验中，事件 A 出现的次数.
解：
利用切比雪夫不等式求：n 需要多么大时，才能使得在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的频率在0.74 ~ 0.76之间的概率至少为 0. 90
的最小的 n
则：
所求为满足：
可改写为：
在切比雪夫不等式中取 ：
事件 A 出现
的频率在
0.74 ~ 0.76
之间的概率
至少为 0. 90
则有：
依题意，取：
解得：
当 n 取 18750 时，可以使得在 n 次独
立重复试验中, 事件 A 出现的频率在
0.74 ~ 0.76之间的概率至少为0.90 .
结论
例5
设
相互独立，且服从同一
分布.
1. 证明:
服从参数为
的
二项分布
2. 求:
解:
1.
因为 X 的所有取值为:
又因为:
相互独立
所以X 取
的概率为:
而X 取 的两两互不相容的方式共有:
故有:
即X 服从参数为 的二项分布.
种
所以有：
2.
服从(0—1)分布
因为
所以有:
而:
又由已知，
相互独立
例6
设 X 的数学期望为 E(X)， 方差为 D(X)
求：随机变量
的数学期望与方差
解：
称 Y 为标准化随机变量
数E(X)与X相互独立

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