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第六章----第八章知识结构图
数理统计
抽样分布
统计推断
常用的
统计量
四个重
要分布
参数估计
假设检验
正态总体的样本均值与方差的分布
(重要统计量的分布)
矩
估
计
法
点估计
区间估计
极大
似然估计法
均值的区间估计
方差的区间估计
均值的检验
方差的检验
单个
总体
两个
总体
正态总体
在上节所介绍内容中已经知道：样本是进行统计推断的依据。
第二节 抽样分布
问题的提出
亦即用样本去推断总体情况，需要对样本进行一定的“加工”，这就要构造一些样本的适当函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来。
这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量
它是完全由样本所决定的量
但在实际应用时，往往不是直接
使用样本本身，
而是针对不同的问题构造样本的适
当函数，
利用这些样本的函数进行统计推断。
1. 定义
设 是来自总体 X 的一个样本，
是 的函数。
若 g 是连续函数且 g 中不含任何未知参数,
则称 是一个统计量。
一. 统计量的定义
统计量是样本的函数，它是一个随机变量。
▲
▲
其中: 是 的样本值
称 为 的观察值
注
2. 几个常用的统计量
样本均值：
样本方差：
它反映了总体
均值的信息
它反映
了总体
方差的
信息
(1).
(2).
(3).
样本标准差：
(4).
样本 k 阶原点矩：
(5).
样本 k 阶中心矩：
k=1, 2,…
它反映了
总体k 阶
矩的信息
它反映了
总体k 阶
中心矩的
信息
~ (5)均是随机变量，
▲
▲
若总体 X 的 k 阶原点距 存在，
这个结论表明：
▲
关于与总体分布函数相应的统计量
—---经验分布函数的概念与作法
请见浙大教材P161--P162
注
实质上它们是样本函数
的数字特征；
它们的观察值是具体的实数值 ，
仍称为样本均值、样本方差、样本 k 阶原点
距与样本 k 阶中心距。
则当 时有：
证明见
浙大教
材 P161
样本的 k 阶距依概率收敛到
总体的 k 阶距。
矩估计法的理论根据
3. 抽样分布
统计量作为随机变量，因而就有一定的分布，这个分布就称为统计量的 “抽样分布” 。故有：
统计量的分布称为抽样分布
二. 几个重要的分布
设 是来自正态分布 N( 0, 1 )的样本，则称统计量：
定义.
分布
1.
记为：
为服从自由度为
n 的 分布.
自由度 n 是指 中所包含独立变量的个数
分布的密度函数为：
来定义。
其中：伽玛函数 通过积分：
其密度函数的图形如下：
▲
▲
注
若 ，则
n=2
n=1
n=4
n=6
n=11
x
f (x)
0
（参见教材 P171 图 6.1）
▲
相互独立，则
分布的上 分位点：
称满足：
对于给定的
的点
为
分布的上 分位点。
分布的可加性：
若
且
其图形如下：
▲
▲
面积 =
x
f (x)
0
对于不同的 与 ， 有表可查
（见教材P 265 的附表4）
一般:
当
时可直接查表
当
时可用近似公式：
例如：
费歇R.AFisher证明
是正态分布的上
分位点
或：
记为T ～ t ( n )
为服从自由度为 n 的 t 分布.
设 X～N ( 0, 1 ) , Y ～ , 且 X 与 Y 相互独立 ，则称随机变量：
t 分布
2.
定义.
t 分布是英国统计学家哥塞特（G0sset）
首先发现的，并以学生(student)的笔名
在英国的《Bi0metrike》杂志上发表的
一篇文章中提出了他的研究结果.
▲
注
故 t 分布也称为学生分布。
t 分布的概率密度函数为：
它非常象正态
分布图形, 关于 y 轴对称
▲
x
t (x)
0
n=2
n=25
n =
（参见教材 P173 图 6.3）
其图形如下：
T 分布的上 分位点:
称满足条件:
▲
当 充分大时，
即
当 充分大时，t 分布可以近似看作是标准正
态分布；但
当 较小时， t 分布与正态分布的差
异是不能忽略的。
▲
若 T ～ t ( n )，则有：
当 时
当
时
▲
的点 为 t 分布的上 分位点。
对于给定的
0
面积 =
对于不同的 与 ， 有表可查
（见教材P 264 的附表3）
一般:
当
时可直接查表
当
时可用近似公式：
(用正态分布近似)
例如：
由上 分位点定义及 h( t ) 对称性得:
▲
F 分布
设 X 与Y 相互独立，
则称统计量：
为服从自由度 n1 及 n2 的 F 分布，记作：
F ~ F ( n1, n2 )
若 F ~ F ( n1, n2 )，则 F 的概率密度为：
3.
定义.
▲
注
x
0
其图形如下：
（参见教材 P 174 图 6.5）
▲
若 则
▲
若 则：
当 时，
当 时，
▲
称满足条件:
F 分布的上 分位点:
的点 为 F 分布的上 分位点。
对于给定的
x
0
面积 =
对于不同的 与 ， 有表可查
（见教材P 268 的附表5）
例如:
正态分布
▲
分布的上 分位的性质：
4.
（请自己复习其图形及性质等）
三. 正态分布的样本均值与样本方差的分布
定理 1 (样本均值和样本方差的分布)
设 X1, X2,…, Xn 是取自正态总体
的样本，
是其样本均值和样本方差
则
和
相互独立
只证（1），（2）与（3）的证明见教材P175—P176
证明:
(1)
相当于
a=1/n,
b=0
代入到y=ax+b中
因为若
则有：
由已知
又
则：
即
n 取不同值时样本均值 的分布
n 取不同值时 的分布
推论.
推论的实质是把服从一般正态分布的随
机变量 化为标准正态分布的一个方法。
设 是总体 的一个样本，
则
▲
注
正态分布。
它类似于把一个随机变量
经线性变换
化为服从标准
推论的证明，只需在定理1(1)式的证明中令：
即可.
对于一般的有：
▲
▲
由推论
定理 2.
设 X1, X2 ,…, Xn 是取自正态总体
分别为样本均值和样本方差,
则有：
证明:
由定理1 的结论与 推论
并且两者相互独立
由 分布的定义得：
的样本,
定理 3.
且 X 与
是取自 Y 的样本。
Y 相互独立，
是取自 X 的
样本，
分别是这两个样本的样本均值，
和
分别是这两个样本的样本方差。
和
则有：
证明:
而
相当于y = ax+b中 a = -1, b = 0
其中：
从而
由定理1推论
由 分布的可加性
则由 t 分布定义得：
例1.
在总体 中随机抽取一容量为 36
的样本,
求：样本均值 落在 50. 8 到 53. 8 之间的概率
解:
样本的容量为 36
样本均值
从而：
例2.
证明:
由 F 分布定义得:
已知
求证：
所以由 分布的定义，即：
习题六
P182--183
2，3，5，8，9
作 业

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