资源简介

(共33张PPT)
第六章----第八章知识结构图
数理统计
抽样分布
统计推断
常用的
统计量
四个重
要分布
参数估计
假设检验
正态总体的样本均值与方差的分布
(重要统计量的分布)
矩
估
计
法
点估计
区间估计
极大
似然估计法
均值的区间估计
方差的区间估计
均值的检验
方差的检验
单个
总体
两个
总体
正态总体
问题的引出
第三节 区间估计
在参数的点估计中用样本构造一个估计量 ，用 去估计 ，这仅仅是解决了一个求未知参数
的一个 “近似值”问题，而没有解决“近似值”的精确程度问题，即没有给出这个近似值的误差范围和估计的可信程度。
在参数的区间估计中则要用样本去给出未知参数 的一个大致的范围，并使未知参数 在其中有指定的概率。
具体:
若估计参数为 ，要考虑估计量 落在
的可能性有多大。
即求 .
在估计湖中鱼数的问题中，若已知得到鱼数
N 的极大似然估计为1000条。而实际上N 的
真值可能大于1000条，也可能小于1000条。
例如：
若给定了可能的值，则就可以求出它的可能范围
则在区间估计中就可以给出一个区间，在此区间内合理地相信 N 的真值位于其中。
这样就可对鱼数的估计更有把握.
希望确定一个区间，使得在该区间内
能以比较高的可靠程度相信它包含未
知参数的真值。
[ ]
而这“可靠程度”是用概率来度量的，
习惯上把置信水平记作
是一个很小的正数。
湖中鱼数的真值
故所讨论的
问题是：
称为置信概率、置信度或置信水平.
称该区间为置信区间。
一. 置信区间
定义:
设总体 X 的分布函数 含有一个未知参数 ,
和
满足: ，
对于给定的值
若由样本
确定的两个统计量：
是 的置信度为 的置信区间;
和
为置信度为
的双侧置信区间的
置信下限和置信上限.
称为置信度或 置信概率。
则称随机区间
在反复抽样多次(各种得到的样本容量相等，
均为 n )，每个样本值确定一个区间 ，
▲
▲
对置信区间 有两个要求：
很大的可能被包含在该区间内，即要求：
一是要求 以
尽可能大.
二是要求估计的精度要
尽可能的高，
注
定义的含义:
每个这样的区间要么包含 的真值，
要么不
包含 的真值.
按贝努力大数定理可知：
在这么多的区间中包含 真值的约占
不包含 真值的仅占
尽可能短。
即要求区间
可靠度与精度是一对矛盾，
一般是在保证可靠度的条件下
尽可能提高精度.
正态随机变量情形的区间估计.
给定置信度 ，求置信区间.
讨论的问题：
讨论的对象：
二. 正态总体均值的区间估计
1. 单个正态总体 情形
问题:
设 X1,… Xn 是取自 的样本，
求：参数 的置信度为 的置信区间.
解:
(1). 当方差 已知的情形
选 的点估计(无偏估计)为
寻找未知参
数的一个良
好估计
~ N ( 0, 1 )，
且统计量
而且
是样本的均值与方差，
给定置信度
U 不依赖于任何未知参数。
现对于给定的置信水平 (大概率)， 根据 U 的分布，确定一个区间，使得U 取值于该区间的概率为
故对于给定的置信水平，
按照标准正态分布的
分位点的定义有：
从中解得：
于是所求 的置信度为 置信区间为
：
也可简记为：
例1.
某实验室测量铝的比重 16 次，得平均值
，设总体
（高斯已证明测量误差是服从正态分布）
求: 的 95% 的置信区间.
解:
由已知：
查正态分布表得：
得：
取统计量：
(2). 方差 未知的情形
用 去代替 得统计量：
它是不依赖于任
何未知参数的.
从而 的 的置信区间为：
未知，但考虑到样本方差是 的无偏估计，
的区间范围是 (2.691, 2.719)
即用 来估计 值的可靠程度达到 95%
即：
从中解得：
于是所求 的置信度为 置信区间为
：
例2.
确定某种溶液的化学浓度，现任取4个样品，测得样本均值为
样本标准方差为：
现溶液的化学浓度近似
求: 的置信度为 95% 的置信区间
解:
由已知：
查 t 分布表得：
得：
从而 的 的置信区间为：
取统计量：
服从正态分布
2. 两个正态总体 的情形
问题:
是来自第一个总体
的样本,
是来自第二个总体
的样本,
它们相互独立，又设
分别是两个总体的样本均值；
求：两个总体均值差 的置信区间.
分别是两个总体的样本方差。给定置信度为
解:
均为已知时
故有：
所以得统计量:
分别为 的无偏估计
是
的无偏估计
又由 的独立性以及已知条件可得：
(2). 均为未知时
同单个总体在方差未知的情形下用 代替 的构思
相同，可以得到当 均很大时( 一般大于50 )
的一个置信度为 的近似置信区间:
于是所求 的置信度为 置信区间为:
未知时
同单个总体方差未知的情形类似(又因 )
其中
得统计量：
于是所求 的置信度为 置信区间为:
例3.
分别用金球和铂球测定引力常数(单位: )
设测定值总体为 均为未知.
(1) 用金球测定观察值为:
6.683, 6.681, 6.676, 6.678, 6.679, 6.672
(2) 用铂球测定观察值为:
6.661, 6.661, 6.667, 6.667, 6.667, 6.664
1.分别就(1),(2)两种情况求 的置信度为0.9的置信区间
2.若设用金球和用铂球测定时测定值总体的方差相等,
求两个测定值总体均值差的置信度为0.9的置信区间.
解:
在(1)中：
用6.678作为引力常数的估计值的可靠程度为 90%的区间是(6.675，6.681)
1.
又
即：
于是所求 的置信度为 90% 置信区间为：
取统计量：
在(2)中
于是所求 的置信度为 90% 置信区间为：
用6.664作为引力常数的估计值的可靠程度为 90%的区间是(6.661，6.667)
两个测定值总体的方差相等但又未知，
现要求 的置信区间，可依公式计算:
2.
于是所求 的置信度为 0.9 的置信区间为:
一般，若 的置信区间包含零，则
可认为这两个总体的均值没有显著差别；
若下限大于零，则可认为 比 大。
即用 0.014 作为 的估计值的可靠程度达到
90% 的区间是
注
问题:
求:方差 的置信区间.
解:
是不依赖于任何未知参数的。
三. 正态总体方差的区间估计
1. 单个正态总体 的情形
设总体 未知。
本方差，给定置信度
是总体 X 的一个样本，
是样
是 的无偏估计，且统计量：
从中解得：
于是所求 的置信度为 置信区间为
：
故对于给定的置信水平，按照 分布的上 分位点的定义有：
标准差 的一个置信度为 的置信区间:
于是所求 的置信度为 置信区间为
：
例4.
求 例3 中的 (1), (2)两种情况下， 的置信度为
0.9 的置信区间.
解:
在(1)中
的置信度为0.9的置信区间为:
(1) 用金球测定观察值为:
6. 683, 6. 681, 6. 676,
6. 678, 6. 679, 6. 672
取统计量：
在(2)中
的置信度为0.9的置信区间为:
(2) 用铂球测定观察值为:
6.661, 6.661, 6.667,
6.667, 6.667, 6.664
取统计量：
2. 两个正态总体 的情形
问题:
来自 的样本,
来自 的样本，
它们相互独立。
求：两个总体方差比 的置信区间.
解题思路同
单个总体情
况类似
分别是两个总体的样本方差与
样本均值，且样本均值均为未知，
给定置信
度
解:
且这两个统计量是相互独立的。
由 F 分布的定义得统计量:
是不依赖于任何
未知参数的。
故对于给定的置信水平，按照 F 分布的上
分位点的定义有：
a
从中解得：
例5.
在例3 中若测定值总体的方差分别为 ,
解:
于是所求 的置信度为 置信区间为：
求：这两个测定值总体方差比的置信度为 0.9
的置信区间.
这两个测定值总体方差比 的置信度为 0.9的置信区间为:
如果 即
表明正态总体 的波动较小
如果 即
表明正态总体 的波动较小
一般，
但若 的置信区间包含 1 ，则可认为:
与
除了两种情况外，其它情况都不能判断出
中谁的波动性大还是小。
两者没有显著差别。
与
注

展开更多......

收起↑