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第六章----第八章知识结构图
数理统计
抽样分布
统计推断
常用的
统计量
四个重
要分布
参数估计
假设检验
正态总体的样本均值与方差的分布
(重要统计量的分布)
矩
估
计
法
点估计
区间估计
极大
似然估计法
均值的区间估计
方差的区间估计
均值的检验
方差的检验
单个
总体
两个
总体
正态总体
从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，这说明人们很早就开始了统计的工作 。 但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断。
数理统计的客观背景
到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科。
同时随着计算机的诞生与发展，为数据处理提供了强有力的技术支持，这就导致了数理统计与计算机结合的必然的发展趋势。
目前国内外著名的统计软件包： SAS，SPSS，
STAT 等，都提供了快速、简便地进行数据处理和分析的方法与工具。
研究怎样以有效的方式收集、 整理和
分析 所获得的有限的资料;
数理统计研究的对象
--- 带有随机性的数据
数理统计的任务
2. 对所考察的问题尽可能地作出精确而可靠的
推断和预测，直至为采取一定的决策和行动
提供依据和建议。
数理统计的特征
--- 具有“部分推断整体”的特征 .
在数理统计中，不是对所研究的对象全体 (称为
总体) 进行观察，
由于是从一部分样本观察值去推断该全体对象（总体）情况，即，由部分推断全体.
▲
▲
总体进行推断。
而是抽取其中的部分 (称为样本)
进行观察获得数据（抽样），
并通过这些数据对
所以在数理统计中使用的推理方法是：
归纳推理法
因为它在作出结论时，是根据所观察到的大量个别
情况 “归纳” 起来所得，而不是从一些假设、命题、已知的事实等出发，按一定的逻辑推理去得出来的
在几何学中要证明“等腰三角形底角相等”，则只须从“等腰”这个前提出发，运用几何
公理，逐步推出这个结论.
而一个习惯于统计思想的人，就可能会应用
如下的方法：
例如
但这种“归纳推理”不同于数学中的“演绎推理”
▲
做很多大小形状不一的等腰三角形，实际测量
其底角，看其差距如何，然后根据所得资料判
断可否作出“底角相等”的结论。 这样的方法
即为归纳式的方法.
(1) 怎样设计试验，决定观察的数目
(2) 怎样利用试验观察的结果作出一个“好”的推断
在数理统计中涉及的两个问题：
这个问题是怎样进行抽样，使抽得的样本更合理，
并有更好的代表性。这是抽样方法和试验设计问
题，最简单易行的是进行随机抽样。　　　　
这个问题是怎样从取得的样本去推断总体；这种
推断具有多大的可靠性。这是统计推断问题。
这两个问题都是数理统计所要研究的问题。在本章中
将要介绍的则是第二个问题 — 这是统计推断问题。
概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率 论的重要应用。但它们是并列的两个学科，并
无从属关系 。
在数理统计中必然要用到概率论的理论和方法。
总之：
▲
▲
因为随机抽样的结果带有随机性，
不能不把它当作随机现象来处理 。　
第六章 样本及抽样分布
第一节 随机样本
在概率论中所研究和讨论的随机变量，它的分布都是已知的，在这前提下去进一步的研究它的性质、特点和规律性。
在数理统计中所研究和讨论的随机变量，它的分
布是未知的或不完全知道的。
于是就必须通过对所研究和讨论的随机变量进行
重复独立的观察和试验得到所需的观察值(数据) ，
对这些数据进行分析后才能对其分布作出种种判断。
得到这些数据最常用的方法是----随机抽样法
一. 总体和个体
定义
将研究对象的某项数量指标的值的全体
称为总体(母体)；将总体中的每个元素
称为个体.
例1.
当研究某地区中职工收入平均水平时，这地
区所有职工的月收入组成了总体；而每个职
工月收入就是个体。
(1)
(2)
研究某批灯泡的质量，则该批灯泡寿命的全体
就组成了总体；而每个灯泡的寿命就是个体。
…
总体
因此，X 所有可能取的值的分布为总体 X 的
分布，记为F( x )，称其为总体 X 的分布函数。
研究对象的某项数量指标 X 是一个随机变量
这是由于每个个体的出现是随机的，所以相
应的数量指标的出现也带有随机性。从而可
以把这种数量指标看作一个随机变量，因此
随机变量的分布就是该数量指标在总体中的
分布。
总体 可以用一个随机变量
及其分布来描述
▲
▲
注
研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就
是寿命，则此总体就可以用一维随机变量 X
表示，或用其分布函数 F( x )表示。
某批
灯泡的寿命
总体
寿命 X 可用一概
率分布来刻划
鉴于此，常用随机变量或用
其分布函数的记号表示总体，
如：总体 X 或 总体 F( x )。
F(x)
例2.
(1)
在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和
体重，现用 X 和 Y 分别表示身高
和体重，则此总体可用二维随机
变量 ( X, Y ) 或其联合分布函数
F( x, y ) 来表示。
总体依其包含的个体总数分为有限总体(个体的个 数是有限) 和 无限总体(个体的个数是无限的)。
(2)
▲
在数理统计中，总体这个概念的要旨是：
▲
总体就是一个概率分布.
注
但当有限总体它所含的个体的个
数很大时也可视其为无限总体。
二. 抽样和样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规则
从总体中抽取若干个体进行观察试验，以
获得有关总体的信息，这一抽取过程称为
从某批国产轿车中抽5 辆进行耗油量试验。这一试验过程即为“抽样”；
其样本容量为 5
抽样
例如:
这 5 辆轿车为一个样本；
样本中所包含的个体数目称为 样本容量。
“抽样”，
所抽取的部分个体称为 样本，
定义1.
从总体中抽取一部分个体进行观察，被
抽出的部分个体称为总体的一个样本。
从总体中抽取一个个体就是对总体 X 进行一次观察( 试验 )并记录其结果。若在相同的条件下对总体 X 进行 n 次重复的独立的观察，其观察的结果记为 ，则可认为
▲
相互独立的并与总体 X具有相
同的分布。一般称其为来自总体 X 的一个
简单随机样本
▲
对于有限总体和无限总体都可以通过
不放回抽样的方式得到简单随机样本。
注
三. 随机样本
定义2
设 X 是具有分布函数 F 的随机变量，若
是具有同一分布函数 F 的、
相互独立的随机变量，则 称
为总体 X ( 或从总体 F 或从分布函数 F )
得到的容量为 n 的简单随机样本简称样本
它们的观察值
称为 X 的 n 个独立的观察值。
为样本值，又
样本是随机变量，但它具有二重性。
▲
注
若 为总体 X 的一个样本，X 的分布函数为 F( x )，概率密度为 f ( x )，则 ：
联合概率密度为：
▲
可视样本为一个随机向量，记为
此时，相应的样本值可记为：
▲
联合分布函数为：
从而，容量为 n 的样本可视为 n 维随机变量。
数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于
应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、
整理和分析。
由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因
而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次
观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚
地呈现出来。但又由于在客观上只允许对随机
现象进行有限次数的观察试验，也就是说， 所
获得的只是局部观察资料。
▲
由于资料是基于有限次数的观察试验，推断是
基于抽样数据，抽样数据又不能包括研究对象
的全部信息， 因而由此获得的结论必然包含
不肯定性。
随机抽样法：
是一种从局部推断整体的方法.
要较好地反映所研究和讨论的随机变量整体的特性，就必须研究：
(1) 如何抽样，抽多少，怎么抽
如何对抽样的结果进行合理分析，作出科学
的判断.
统计推断问题
抽样方法问题
今后所讨论的统计问题主要属于下面这种类型:
从所研究的随机变量的某个集合中抽取一部分元素,对这部分元素的某些数量指标进行试验与观察，根据试验与观察获得的数据来推断这集合中全体元素的数量指标的分布情况或数字特征。

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