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第五章知识结构图
概率论的理论结果
大数定律
中心极限定理
切比雪夫大数定理
贝努利大数
定理
辛钦
(大数)定理
独立同分布的中心极限定理
棣莫弗--拉普拉斯中心极限定理
李雅普诺夫中心极限定理
第五章 大数定律及中心极限定理
本章主要讨论如下两个问题：
在一定条件下,一列随机变量的算术平均值
（按某种意义）收敛于所希望的平均值的定理称为
大数定律为概率论所存在的基础提供了理论依据
———“概率是频率的稳定值” 。
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根
本的性质之一：
它是随机现象统计规律的具体表现，
也成为数理统计的理论基础。
平均结果的稳定性。
“大数定律”
极限定理
▲
▲
在一定条件下，大量的相互独立的随机变量之和
的概率分布近似于正态分布的定理称为
中心极限定理它以严格的数学形式证明了
随机现象另一个最根本的性质之一：
如果一个量是由大量相互独立的随机因素
的影响所造成，而每一个别因素在总影响
中所起的作用不大，则这种量一般都服从
或近似服从正态分布。
它是随机现象统计规律的具体表现，也成为数理统
计的理论基础。而正态分布又是应用最广的分布。
“中心极限定理”
▲
大量的随机现象中平均结果的稳定性：
大量抛掷硬币
正面出现频率
字母使用频率
生产过程中
的废品率
……
第一节 大数定律
大数定律的客观背景
定理1（切比雪夫大数定律）
切比雪夫
一. 切比雪夫大数定律
切比雪夫大数定律表明：独立随机变量序列
{ Xn }，如果方差有共同的上界，则：
概率接近于1.
设 X1 , X2, … 是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D( Xi ) ≤ K， i=1, 2, …，则对任意的
注
算术平
均值
数学期望
是很小的，其概率接近于1。
取值接近于其数学期望的概率接近于 1。
算术平均值
与其数学期望
的偏差
切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述
定理2（切比雪夫大数定律的特殊情况）
设 X1 , X2, … 是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望与方差：
作前 n 个随机变量的算术平均值：
亦称为独立同分布的大数定律
即当 n 充分大时，
则对任意的
有：
证明:
由切比雪夫不等式可得:
定理2 是定理1中当数学期望和方差给定具体值时的特殊情况。
在数理统计中如不知道 ，则
可用其算术平均值来近似代替
令：
并注意到概率
所以得：
▲
注
它表明当 n 很大时，随机
的算术平均值在概率意义
变量
下接近于数学期望
其作用：
定理 2 提供了理论依据
依概率收敛的序列具有如下性质:
[证明]:（略）见浙大教材P 146 页下方的小字体
记为：
定理2 的结论可叙述为：
依概率收敛于常数
由此，
▲
设
又设函数 g ( x, y ) 在点
( a, b ) 处连续，
则有：
指的是：对任意正数
▲
称序列
依概率收敛于常数
序列
二. 贝努利大数定理
定理3. (贝努利定理)
设随机变量
相互独立，且同时服从以 p 为参数
的(0 – 1)分布。
或
贝努利
则对任意正数 有：
其中:
p 是事件 A
在每次试验
中发生的概率
证明:
则由定理2可得:
服从 分布
其中:
n 次独立重复试验中事件A发生的次数
p 是事件 A 在每次试验中
发生的概率。
定理3 表明：
接近于事件 A 发生的概率 P
亦称事件A 发生的频率
依概率收敛于事件A的概率 P .
以用事件发生的频率来近似代替事件的概率。
▲
▲
▲
问题
定理2，定理3 均为独立同分布的大数定律，
并且均要求随机变量的期望与方差都存在。
如果没有随机变量的方差存在的条件，
那么大数定律的结论是否仍成立？
注
当 n 很大时,事件A 发生的频率
贝努里大数定律提供了通过试验
来确定事件概率的方法。
( 证明了频
率的稳定性)。
从而当 n (试验次数) 很大时可
三. 辛钦定理
定理4. （辛钦定理）
则对任意的正数 有:
辛钦
设 相互独立，并且服
从同一分布，且具有数学期望：
辛钦大数定律为寻找随机变量的
期望值提供了 一条实际可行的途径
为人们习惯上经常采用的方法提供了理论依据 :
大数定律从各个角度描述了样本的算术
平均值及频率的稳定性 。
小结
用样本的算术平均值去代替或 估计其平均值；
用频率去代替或估计其“概率”。
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