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第六章----第八章知识结构图
数理统计
抽样分布
统计推断
常用的
统计量
四个重
要分布
参数估计
假设检验
正态总体的样本均值与方差的分布
(重要统计量的分布)
矩
估
计
法
点估计
区间估计
极大
似然估计法
均值的区间估计
方差的区间估计
均值的检验
方差的检验
单个
总体
两个
总体
正态总体
假设检验
参数假设检验
非参数假设检验
总体分布已知，
检验关于未知参数
的某个假设
总体分布未知时的
假设检验问题
根据样本的信息检验关于
总体的某个假设是否正确。
第八章 假设检验
假设检验问题:
假设检验问题分类:
一. 假设检验的基本思想
设总体 X 含有未知参数 (或总体分布函数 F(x) 未知)
检验下述假设:
假设 或
是某个已知常数或 是某个已知的分布函数。
第一节 假设检验
其中：
则抽取容量为 n 的样本，利用样本提供的信息对
假设
作出判断，从而确定是否接受
例如:
显然 是可以被接受的.
二. 判断 “假设” 的根据
小概率事件原理
小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的
未知
检验假设：
如果在假设 成立的条件下某事件是小概率事件,
不是一定不发生
因为 是总体 X 的待估计参数 的无偏估计。
但在一次试验中却发生了,
于是就可怀疑假设
的正确性从而拒绝
现用一个例子来说明这个原则.
现有两个盒子，各装有100个球.
99个白球
一个红球
…99个
例如：
99个红球
一个白球
99个…
现从两盒中随机取出一个盒子
问：这个盒子里是白球 99个还是红球 99 个？
若假设：这个盒子里有 99 个白球.
当从中随机摸出一个球时，发现是红球：
此时应如何判断这个假设是否成立呢 ？
假设其中真有 99 个白球，
摸出红球的概率只有 1/100 ，
但此小概率事件在一次试验中
竟然发生了，这就不得不怀疑
所作的假设。
.
这是小概率事件
概率反证法
要求在原假设成立的条件下导出的结
论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，
则完全绝对地否定原假设。
这个例子中所使用的推理方法，称为是带概率性质的反证法.
在假设检验中，常称这个小概率
为显著性水平， 用 表示.
注
如果小概率事件在一次试验中居然发生了，则就可以以很大的把握否定原假设，否则
就不能否定原假设。
它不同于一般的反证法
一般反证法
三. 假设检验的两类错误
1. 第一类错误 (弃真):
如果 是正确的，
但却被错 误地否定了。
2. 第二类错误 (取伪):
如果 是不正确的，
但却被错误地接受了。
若设 犯两类错误的概率分别为:
P { 拒绝H0 | H0为真 } =
P { 接受 H0 | H0 不真 } =
则显著性水平 为犯第一类错误的概率。
两类错误是互相关联的，
要同时降低两类错误的概率 ，或者要
在 不变的条件下降低 ，则需要增加样
本容量 n
先对犯第一类错误（弃真）的概率加以控制，同时再考虑使犯第二类错误（取伪）的概率
尽可能的小。
在实际问题中，通常的做法是：
注
当样本容量 n 固定
时，
一类错误概率的减少必导致另一类错误
概率的增加。
四. 假设检验的具体做法
例1.
罐装可乐容量的检验问题
在一条生产可乐的流水线上罐装
可乐不断地封装，然后装箱外运。
试问：如何检验这批罐装可乐的
容量是否合格呢？
分析：
若把每一罐可乐都打开倒入量
杯, 检验容量是否合于标准。
罐装可乐的容量按标准应在 350
毫升和 360 毫升之间。
这显然是不可行的。
每隔 1小时，抽查 5 罐，得 5个容量的值：X1，…，X5 ，根据这些值来判断生产是否正常.
如发现不正常 则应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；
如生产正常， 则继续按规定时间再抽样，以此监督生 产，保
证质量。
通常的办法是：
进行抽样检查.
显然：
即，每隔一定时间，抽查若干罐 。
如：
2. 也不能总认为正常，有了问题不能及时发
现，这也同样要造成损失.
1. 不能由 5 罐容量的数据，在把握不大的情
况下就判断生产 不正常，因为停产的损失
是很大的；
如何处理这两者的关系？
如何处理这两者的关系？
现用假设检验的方法来处理这对矛盾
在正常生产条件下，由于种种随机因素的
影响，每罐可乐的容量应在 355 毫升上下
波动. 这些因素中没有哪一个占有特殊重
注意到：
故: 可以认为样本是取自正态总体
现抽查了n 罐，测得容量为：
当生产比较稳定时，
是一个常数.
现在要检验的假设是：
假定每罐容量服从正态分布是合理的.
要的地位.
因此，根据中心极限定理，
H0：
它的对立假设是：
称 H0 为原假设（或 零假设 )
称 H1 为备择假设（或 对立假设）.
在实际问题中，往往把不轻易
否定的命题作
为原假设.
H0：
H1：
那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？
由于 是正态分布的期望值，它的无偏估计量是
来判断 H0 是否成立 .
样本均值 ，
因此可以根据 与 的差距
而较大、较小是一个相对的概念，
那么它应由什么原则来确定？
对差异作定量的分析，以确定其性质.
问题归结为：
非本质的因素所引起的随机波动。
注意到：
较小时，可以认为 H0 是成立的；
当
当
较大时，应认为 H0 不成立 .
生产已不正常
当差异是由抽样的随机性引起时，则称其为
“抽样误差”或 随机误差；
它反映了由偶然、
然而，这种随机性的波动是有一定限度的,
如果差异超过了这个限度，
如何判断差异是由“抽样误差”
还是“系统误差”所引起的？
从而问题就
转化为：
解决的方法：
给出一个量的界限 ，即显著性水平
从而提出假设：
H0：
H1：
因为 已知，
所以构造统计量为：
则称其为“系统误差”.
则就不能用抽样的随机
性来解释了。
此时可认为这个差异反映了事物的本
质差别，
检验统计量：
~ N ( 0, 1 )
对给定的显著性水平 ，查正态分布的上分位点的值 ，使：
即
是一个小概率事件
故可以取拒绝域 C为：
如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域C，
则拒绝 H0 ；否则就接受 H0 .
如果H0 是对的，那么衡量差异大小的某个统
计量落入区域 C (拒绝域) 是个小概率事件。
这里所依据的逻辑是：
如果该统计量的实测值落入C，即 H0 成立下的
小概率事件发生了，那么就认为 H0 不可信而否
定它；否则就不能否定 H0 而只好接受 H0
不否定 H0并不是肯定 H0一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定 H0 的程度 。
▲
故假设检验又称为“显著性检验”
注
如果在 很小的情况下H0
基于这个理由，人们常把
时拒绝 H0 称为是
显著的。
▲
如果显著性水平 取得很小，则拒绝域也会比
把在 时拒绝 称为是
高度显著的。
难于被拒绝。
较小。
其产生的后果是：
则说明实际情
仍被拒绝了，
况很可能与之有显著差异。
某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是 32.5
毫米. 实际生产的产品，其长度 X 假定服从正
态分布 其中 未知，现从该厂生产的一批产品中抽取 6 件, 得尺寸数据如下：
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问：这批产品是否合格
…
这批产品(螺钉长度)的全
体组成问题的总体为 X
例2
解：
则问题是要检验 E(X) 是否为32.5.
由已知，
设：
提出原假设和备择假设
第一步：
因为已知
未知.
第二步：
能衡量
差异大
小且分
布已知
故取检验统计量为：
在 成立下求出它的分布为：
第三步：
即“ ”是一个小概率事件 .
小概率事件在一次
试验中基本上是
不会发生 .
使得：
故得否定域为：
对给定的显著性水平 查 分布表得临界值：
故不能拒绝H0 ，即应接受H0
第四步：
没有落入
拒绝域
接受 H0 这并不意味着 H0一定对，
只是差异还不够显著，不足以否定 H0
将样本值代入，计算出统计量 的实测值：
可认为这批产品是合格的。
结论：
注
例3.
设某异常区磁场强度服从正态分布 ，
由以前观察知道 ，现有一台
新型号的仪器，用它对该区进行磁测，抽取了
41个点，其样本均值与方差为：
问：此仪器测出的结果是否符合要求
解:
以 分别表示用这台机器测出的异常区的
磁场强度 X 的均值和均方差(标准差)。
于是：
这里 是未知的.
根据长期实践的经验表明异常区磁场强度的标
准差比较稳定，所以可设
提出假设：
第一步：
第二步：
由已知条件取检验统计量为：
第三步：
对给定的显著性水平 查正态分布表得临界值：
使得：
故得否定域为：
即：
是一个小概率事件 .
第四步：
将样本值代入，计算出统计量 的实测值：
没有落入
拒绝域
故不能拒绝H0 ，即应接受H0
结论：
可认为这台仪器测出的结果是符合
要求的, 即这台机器是基本正常的
备择假设 表示 可能大于 也可
故称其为 双边备择假设。
拒绝域与临界点
当统计量取某个区域 C 中的值时，拒绝原假
设 ，则称区域 C 为 拒绝域。
(2) 拒绝域的边界点称为 临界点 .
▲
▲
单边检验
▲
(1) 右边检验:
(2) 左边检验:
注
从而对应的假设检验称为 双边假设检验。
能小于
则称 与 的差异显著.
在正态分布中针对显著性水平 ，一般有：
则称 与 的差异不显著.
例如，
当
当
五. 假设检验问题的步骤
3. 确定检验统计量及拒绝域的形式
1. 根据实际问题要求，提出原假设 及备择假设
2. 给定显著性水平 及样本容量
4. 按 ，求出拒绝域
5. 取样本，根据样本观察值确定接受 还是拒绝
某编织物强力指标 X 的均值 公斤。 改
进工艺后生产了一批编织物，今从中取 30 件，
测得 公斤。 假设强力X 指标服从正
态分布 ，且已知 公斤。
提出假设:
取统计量：
否定域 C 为：
是一小概
率事件
例4
问：在显著性水平 下，新生产编织物比
过去的编织物强力是否有提高
解:
并由样本值计算，得统计量 U 的实测值为：
故拒绝原假设 H0 ，可认为新生产编
织物比过去的编织物强力是有提高的
落入否定域
此时可能会犯第一类错误，
但犯错误的概率不会超过 0.01.
由已知，
注

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