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1. 已知，关于 的检验 ( U 检验 )
在 已知条件
下用服从
的统计量检验正
态总体 的方法为 U 检验法
(1) 检验假设:
取检验统计量:
第二节 正态总体均值的假设检验
一. 单个正态总体 均值 的检验
则在显著性水平 下, 的拒绝域:
的拒绝域
的接受域
(2) 检验假设：
或
取检验统计量:
则在显著性水平 下, 的拒绝域:
的接受域
的拒绝域
或
的接受域
的拒绝域
例1.
已知某钢铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从
正态分布
现又测了5 炉铁水，
其含碳量分别为:
问：当总体标准差没有改变时，现在生产是否正常
解:
假设
总体标准差没有改变，即 已知的情况
统计量
给定显著性水平
从而：
经计算
则：
拒绝 ，可认为现在的生产是不正常的。
例2
已知某正态总体的方差为 49，抽测 24个样本值的均值为
问：总体均值 是否成立
解:
显然它与检验
时的讨论是一样的。
取统计量
因为是单边检验，
所以：
假设
给定显著性水平
接受 ，即可以认为总体均值 是成立的
(1) 对于
与
的讨论均可归为如下统一形式的讨论:
因为它们的拒绝域是一致的
经计算
或
注
(2) 对于
与
检验过程中唯一不同的是在查正态分布表时，
前者是利用概率关系式：
而后者是利用概率关系式：
或
2. 未知，关于 的检验 ( t 检验 )
(1) 检验假设:
在 未知条件下用服从 的统计量检验正态总体 的方法为 检验法
因为 未知，所以可以考虑用
的无偏估计 来代替，故有:
取检验统计量
则有：
(2) 检验假设：
则在显著性水平 下, 的拒绝域:
的拒绝域
的接受域
或
或
同(1)讨论类似，则在显著性水平 下, 的拒绝域:
的拒绝域
的接
受域
的接
受域
的拒绝域
例3
某库房要验收大批同类物质，根据以往的经验，这批物质每件的重量服从正态分布。按规定这批物质平均每件重量应为 100 公斤，今抽取10 件,测得其均值
问：能否接受这批物质
解:
未知，
所以用 t 检验。
经计算
设
取统计量为:
接受 ，即可认为该库房应接受这批物质。
二. 两个正态总体均值差的检验
设 是来自 的样本,
是来自 的样本,它们相互独立
分别是两个总体的均值与方差
1. 当 未知时 ( t 检验 )
为已知常数，显著水平为
而
检验假设:
检验统计量
同单个总体的讨论类似，有：
其中：
在显著性水平 下, 的拒绝域:
当 未知时
检验假设
或
其讨论同前类似 ，
在显著性水平 下, 的拒绝域:
注
或
2. 当 均已知时 ( U 检验 )
检验假设:
为已知常数，显著水平为
检验统计量
同单个正态总体的讨论类似，有:
在显著性水平 下, 的拒绝域:
当 均已知时
检验假设 :
或
或
注
其讨论同前类似 ，
在显著性水平 下, 的拒绝域:
3. 基于成对数据的假设检验 ( t 检验)
逐对比较法
为了比较两种性能之间的差异，在相同的条件下作对比试验，得到一
批成对的观察值。对观察值进行分析，作出推断的方法。
例4
现要比较甲、乙两种橡胶制成的轮胎的耐磨性。
今从甲、乙两种轮胎中各随机的取 8 个，又从
两组中各取一个组成一对，共 8 对；
再随机的取 8 架飞机，将 8 对轮胎随机地搭配
给这 8 架飞机作耐磨性试验，当飞机飞行了一
定时间后测得轮胎的磨损量的数据(单位：毫克)
如下：
甲
乙
4900 5220 5500 6020 6340 7660 8650 4870
4930 4900 5140 5700 6110 6880 7930 5010
试问：这两种轮胎的耐磨性有无显著的差别？
解：
设 X，Y：甲、乙两种轮胎的磨损量
并设 X，Y 均服从正态分布，即：
方法一：数据不配对分析
将所观察的两行数据分别作为 X，Y 的样本
依题意，检验假设：
因为已知
所以在给定的显著性水平
下
的拒绝域为：
经计算
取统计量为:
因为：
所以接受 ,可认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。
方法二：数据配对分析
在方法一中是将所观察的两行数据分别作
为X，Y 的样本，而没有去区别它们是否
来自于同一架飞机。
注意到：
事实上：
不同的飞机其试验的条件是不完全一致的，
有的甚至于有很大的差异，
的试验条件的不同会对试验数据产生干扰.
所以飞机之间
容易将飞机之间的试验条件的差异
与轮胎之间耐磨性的差异交织在一
起，分辨不出轮胎之间真正的差异。
方法一的不足：
方法二的做法：
观察分析同一架飞机上两种轮胎的磨
损量的差异，作出推断。
今令：
并令
是总体
的样本
从而将原问题转化为单个正态总体中当
未知时
关于
的假设检验问题。
检验假设：
按单个正态总体中当 未知时，关于 的假设检验
的计算公式，可得 的拒绝域为：
经计算
因为：
取统计量为:
所以拒绝 ,可认为这两种轮胎的耐磨性有显著差异。
用两种不同的方法得到了两种不同的结论，
那么究竟应该采取哪一个结论比较合理呢？
显然，应该采取第二种方法得出的结论是合理的
因为数据配对的方法是针对同一架飞机的，
它是排除了因飞机之间的试验条件的不同
而对数据产生的干扰，
▲
注
所以它是直接反映了这两种轮胎的耐磨性
的显著差异的情况.
可认为这两种轮胎的耐磨性有显著差异
方法得出的结论, 即
因此，应采取第二种
▲
基于成对数据的假设检验的一般提法：
设有 对相互独立的观察结果：
令
则
相互独立。
又由于
是由同一因素所引起的，所以可认为它们服从同
现假设
未知
即
是来自正态总体的一个样本。
其样本均值与样本方差的观察值为
一分布。
检验假设
由单个正态总体均值的 t 检验，可得检验问题
(1)、(2)、(3) 的拒绝域分别为：

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