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第3章 因式分解 复习课
复习目标
1.知道因式分解与整式乘法之间的关系,知道因式分解的意义.
2.能运用提公因式法、公式法进行因式分解,并能运用因式分解解决一些简单的实际问题.
3.通过因式分解与整式乘法之间的互逆变形,进一步提高观察、归纳、类比、概括的能力.
◎重点:会熟练地将一个多项式进行因式分解.
预习导学
体系建构
请你完成本章的知识网络图.
【答案】x(y+z+w)　(a+b)(a-b)　(a±b)2
核心梳理
1.一般地,对于两个多项式f与g,如果多项式h使得f=gh,那么我们把g叫做f的一个　 　.此时,h也是f的一个　.
2.一般地,把一个多项式表示成若干个多项式的　 　的形式,称为把这个多项式因式分解.
3.几个多项式的　 　的因式称为它们的　 　.
4.如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,这种把多项式因式分解的方法叫做　.
5.运用提公因式法进行因式分解的一般步骤:(1)确定　 　;(2)提取　 　;(3)用整式的除法确定另一个因式.
6.确定多项式公因式的方法:(1)取各项系数的　 　作为系数;(2)取各项都含有的字母或　 　;(3)公因式中的字母或多项式的次数是各项次数中最　 　的.
7.把　 　从右到左使用,就可以把某些形式的多项式进行因式分解,这种因式分解的方法叫做　 　.
8.平方差公式:a2-b2=　 　.完全平方公式:a2+2ab+b2=　 　,a2-2ab+b2=　 　.
【答案】1.因式　因式
2.乘积
3.公共　公因式
4.提公因式法
5.(1)公因式
(2)公因式
6.(1)最大公约数
(2)多项式
(3)低
7.乘法公式　公式法
8.(a+b)(a-b)　(a+b)2　(a-b)2
合作探究
专题一 因式分解的意义及相关概念
1.下列各式从左到右的变形属于因式分解且分解正确的是 ( )
A.(x+1)(x-1)=x2-1
B.2x2-y2=(2x+y)(2x-y)
C.a2+2a+1=a(a+2)+1
D.-a2+4a-4=-(a-2)2
方法归纳交流　因式分解的结果必须是　 　的形式,并且每个因式都是　 　,都不能再继续分解.
【答案】1.D
方法归纳交流　乘积　整式
专题二 提公因式法分解因式
2.分解因式.
(1)-a2b3c+2ab2c3-ab2c;
(2)24y(x-3y)2-4(3y-x)3.
方法归纳交流　提公因式法分解因式的关键是确定　 　,以及利用乘法分配律分离公因式并提出公因式.
【答案】2.解:(1)原式=-ab2c(ab-2c2+1).
(2)原式=4(x-3y)2[6y+(x-3y)]=4(x-3y)2(x+3y).
方法归纳交流　公因式
专题三 运用公式法分解因式
3.分解因式.
(1)m4-2m2+1;
(2)(9x2+y2)2-36x2y2.
方法归纳交流　在用公式法分解因式时,要注意公式中的字母可以是数字,也可以是字母,可以是单项式,也可以是多项式.
【答案】3.解:(1)原式=(m2-1)2=(m+1)2(m-1)2.
(2)原式=(9x2+y2+6xy)(9x2+y2-6xy)=(3x+y)2(3x-y)2.
专题四 综合运用提公因式法和公式法分解因式
4.将下列各式分解因式.
(1)3x2+6xy+3y2;
(2)a2(x-y)-b2(x-y).
方法归纳交流　在因式分解时,如果一个多项式有公因式,要先　 　,再用　 　进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
【答案】4.解:(1)3x2+6xy+3y2=3(x2+2xy+y2)=3(x+y)2.
(2)a2(x-y)-b2(x-y)=(x-y)(a2-b2)=(x-y)(a+b)(a-b).
方法归纳交流　提公因式　公式
专题五 利用因式分解解决实际问题
5.如图,小刚家门口的商店在装修,他发现工人在一块半径为R的圆形板材上,冲去半径为r的四个小圆,小刚测得R=6.8 cm,r=1.6 cm,他想知道剩余阴影部分的面积,你能帮助小刚利用所学过的因式分解计算吗 请写出利用因式分解的求解过程.(π取3)
【答案】5.解:阴影部分面积=πR2-4πr2=π(R2-4r2)=π(R-2r)(R+2r)=3×(6.8-2×1.6)×(6.8+2×1.6)=108 cm2.
对点自测
1.已知x+3y=6,x-3y=1,求24y(x-3y)2-4(3y-x)3的值.
2.已知a2+6a+b2-10b+34=0,求代数式(2a+b)(3a-2b)+4ab的值.
【答案】1.解:原式=4(x-3y)2[6y+(x-3y)]=4(x-3y)2(x+3y).
当x+3y=6,x-3y=1时,原式=4×12×6=24.
2.解:因为a2+6a+b2-10b+34=0,
所以(a+3)2+(b-5)2=0,所以a=-3,b=5,
所以(2a+b)(3a-2b)+4ab=[2×(-3)+5]×[3×(-3)-2×5]+4×(-3)×5=(-1)×(-19)-60=-41.
2

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