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3.1　多项式的因式分解
素养目标
1.知道因式分解的含义,能说出因式分解与整式乘法的互逆关系.
2.会运用整式乘法的逆运算判断多项式的因式分解结果是否正确.
◎重点:因式分解概念的理解以及它与整式乘法之间的关系.
预习导学
知识点一 因式分解的概念
阅读课本本课时“例1”前面的内容,解决下列问题.
1.整数15有因数　 　和　 　,所以15可以分解为　 　×　 　.
2.由整式的乘法可知,m(a+b+c)=ma+mb+mc,由等式的性质可得ma+mb+mc=　 　.
3.对完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,交换等号两边式子的位置,可得a2±2ab+b2=　 　,a2-b2=　 　.观察这两个式子,可以发现等号左边是一个多项式,等号右边化成了几个整式的　 　的形式.
　　归纳总结　(1)一般地,对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫做f的一个　 　.此时,h也是f的一个　 　.
(2)一般地,把一个多项式表示成若干个多项式的　 　的形式,称为把这个多项式因式分解.
【答案】1.3　5　3　5
2.m(a+b+c)
3.(a±b)2　(a+b)(a-b)　积
归纳总结　(1)因式　因式
(2)乘积
知识点二 因式分解及其检验
阅读课本本课时“例1”和“例2”,解决下列问题.
1.由“例1”可知,一个多项式因式分解后的结果必须是整式的　 　的形式.
2.由“例2”可知,检验因式分解是否正确,只要看等式右边的几个多项式的　 　与左边的多项式是否相等.
　　归纳总结　多项式的因式分解结果必须化成几个整式的　 　的形式,并且因式分解是一个　 　等式,可以利用　 　检验因式分解的正确性.
【答案】1.乘积
2.乘积
归纳总结　乘积　恒　整式乘法
对点自测
1.多项式x2-x的一个因式是 ( )
A.x B.x2-1
C.x+1 D.x2
2.下列各式中,因式分解正确的是 ( )
A.a2+b2=(a+b)(a+b)
B.-a2-b2=(-a+b)(-a-b)
C.-a2+b2=(-a-b)(-a+b)
D.b2-a2=-(a+b)(a-b)
【答案】1.A　2.D
合作探究
任务驱动一 因式分解的判断
1.下列等式从左到右的变形是因式分解的是 ( )
A.6a2b2=3ab·2ab
B.2x2+8x-1=2x(x+4)-1
C.a2-3a-4=(a+1)(a-4)
D.a2-1=aa-
方法归纳交流　因式分解是对　 　来说的,结果要以　 　的形式表示,每个因式必须是　 　,等号左右两边是　 　的.
【答案】1.C
方法归纳交流　多项式　乘积　整式　相等
任务驱动二 利用因式分解求字母的值
2.如果把多项式x2-3x+n分解因式得(x-1)(x+m),那么m=　 　,n=　.
方法归纳交流　若多项式f有因式g,则当g=0时,有f=　 　.
【答案】2.-2　2
方法归纳交流　0
任务驱动三 检验因式分解是否正确
3.检验下列因式分解是否正确.
(1)2x2-y2=(2x+y)(2x-y);
(2)5x2-3xy+x=x(5x-3y);
(3)9x2-6x+1=(3x-1)2.
【答案】3.解:(1)因为(2x+y)(2x-y)=4x2-y2≠2x2-y2,
所以因式分解2x2-y2=(2x+y)(2x-y)不正确.
(2)因为x(5x-3y)=5x2-3xy≠5x2-3xy+x,
所以因式分解5x2-3xy+x=x(5x-3y)不正确.
(3)因为(3x-1)2=9x2-6x+1,
所以因式分解9x2-6x+1=(3x-1)2正确.
任务驱动四 因式分解与整式乘法的关系及应用
4.观察下列几个算式:
m(a+b+c)=ma+mb+mc,ma+mb+mc=m(a+b+c);
(a±b)2=a2±2ab+b2,a2±2ab+b2=(a±b)2;
(a+b)(a-b)=a2-b2,a2-b2=(a+b)(a-b).
由此我们可以知道因式分解与整式乘法是互逆的关系,那么逆用整式的乘法(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是否可以分解因式呢 当然可以,而且也很简单.
如:(1)x2+4x+3=x2+(1+3)x+1×3=(x+1)(x+3);
(2)x2-4x-5=x2+(1-5)x+1×(-5)=(x+1)(x-5).
请你仿照上述方法,把多项式x2-7x-18分解因式.
【答案】4.解:x2-7x-18=x2+(-9+2)x+(-9)×2=(x-9)(x+2).
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