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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何精选题练习
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
2．若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则z＝（ ）
A． B．4 C． D．
5．已知空间中点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱锥中，，，且，若满足，则到的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．直三棱柱中，，则直线与夹角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
8．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1∶2，在上且为靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．以下命题中正确的是（ ）
A．若是直线的方向向量，，则是平面的法向量
B．若，则直线平面或平面
C．A，B，C三点不共线，对平面外任意一点，若，则P，A，B，C四点共面
D．若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
10．在正方体中，E、F、G分别为的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线与EF所成角的余弦值为
C．三棱锥与正方体的体积之比为
D．存在实数使得
11．下列说法正确的是（ ）
A．两异面直线所成角的取值范围是
B．若直线l与平面相交，则该直线l与平面所成角的取值范围是
C．二面角的平面角的取值范围是
D．若，，是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得
三、填空题
12．已知向量的夹角的余弦值为，则
13．若，则在上的投影向量的模为 ．
14．某公园有一个坐落在水平地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图.已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，是该石雕与地面的接触面，其中是该石雕所在正方体的一个顶点.某兴趣小组通过测量的三边长度，来计算该正方体石雕的相关数据.已知测得，则该石雕最高点到地面的距离为 .
四、解答题
15．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长．
16．如图，在三棱柱中，中，侧面为正方形，平面平面，，.
(1)求证：；
(2)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
17．如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，.
(1)证明：；
(2)求平面和平面夹角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
18．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
19．如图，在几何体中，平面.

(1)求证：平面平面；
(2)若，在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．B
【分析】设，然后由即可求解.
【详解】设，因为，
所以，得，
所以，故B正确.
故选：B.
2．D
【分析】推导出共面，故不能构成空间的一个基底，D正确，ABC选项向量均不共面，可构成空间的一个基底.
【详解】是空间的一个基底，故不共面，
A选项， 设，
则，无解，
故不共面，故可构成空间的一个基底；
B选项，设，
则，无解，
故不共面，故可构成空间的一个基底；
C选项，设，
则，无解，
故不共面，故可构成空间的一个基底；
D选项，设，
则，得 ，
故共面，
故不可构成空间的一个基底.
故选：D
3．B
【分析】根据空间向量坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求得结果.
【详解】，点A关于y轴对称的点为，
，点B关于平面对称的点为.
则.
故选：B.
4．A
【分析】利用空间向量共线得比例关系求解.
【详解】因为，所以.
故选:A.
5．A
【分析】关于平面对称的点横纵坐标相同，竖坐标互为相反数.
【详解】空间中点，则点关于平面对称的点的坐标是．
故选：A
6．D
【分析】利用空间向量求点到直线的距离.
【详解】∵，
，
，
到的距离.
故选：D
7．B
【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的数量积运算公式,利用坐标法即可求解.
【详解】由，得，所以，
三棱柱是直棱柱，所以平面，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示直角坐标系，由，
可得，，，，
所以，，
设直线与夹角，则，
因为，，，所以，
所以直线与夹角的余弦是.
故选：B.

8．D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值.
【详解】以底面圆弧的圆心O为原点，CD为x轴，BA为y轴，过圆心O垂直于底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
扇环对应的两个圆的半径之比为1∶2， ，则有，，
，在上且为靠近的三等分点，
则，，，
异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D
9．BCD
【分析】利用特殊值判断A；根据空间共面向量定理判断BC；根据空间向量基底的定义判断D.
【详解】对于A，当时，，显然不是平面的法向量，A错误；
对于B，由，得向量共面，即平面，
因此直线平面或平面，B正确；
对于C，由，得，因此四点共面，C正确；
对于D，由是空间的一个基底，得、、不共面，
若、、共面，则存在实数，使得，即有，
于是、、共面与、、不共面矛盾，因此、、不共面，
所以也是空间的一个基底，D正确.
故选：BCD
10．AD
【分析】若正方体棱长为2，构建如下图示的空间直角坐标系，应用向量法判断直线位置关系、求夹角余弦值、求点面距，结合棱锥、棱柱体积公式以及向量共面的坐标表示判断各项正误.
【详解】若正方体棱长为2，构建如下图示的空间直角坐标系，
则，，
，则，故，A对；
，则，
故直线与EF所成角的余弦值为，B错；
，设为平面的一个法向量，
则，取，有，而，
所以到面的距离，又，
所以中，则，
所以，而，
所以三棱锥与正方体的体积之比为，C错；
由，则，
故存在实数使得，D对.
11．AB
【分析】ABC选项，根据异面直线，线面角和二面角的概念进行判断；D选项，根据空间基底的概念得到，，不共面，故结论不成立.
【详解】A选项，根据异面直线的定义可知，两异面直线所成角的取值范围是，A正确；
B选项，直线与平面的夹角范围为，但直线l与平面相交，夹角不为0，
则该直线l与平面所成角的取值范围是，B正确；
C选项，二面角的平面角可以是钝角，C错误；
D选项，若，，是空间向量的一组基底，则，，不共面，
不存在非零实数x，y，z，使得，，D错误.
故选：AB
12．
【分析】先根据数量积的定义可得，结合数量积的运算律分析求解.
【详解】由题意可得，
所以．
故答案为：.
13．/
【分析】利用向量的坐标运算与投影向量的公式即可得解.
【详解】因为，
所以，，
则在上的投影向量的模为.
故答案为：.
14．
【分析】补齐为正方体，设，结合勾股定理列出方程组即可解得，进而求得该石雕所在正方体的棱长，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点到平面的距离，进而求解.
【详解】如图，补齐为正方体，设，，，
则，解得，，，
即该石雕所在正方体的棱长为.
以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以，
， ，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，可得，
所以点到平面的距离为，
即该石雕最高点到地面的距离为.
故答案为：.
【点睛】
15．，BN的长为
【分析】根据题中条件，由向量的线性运算法则求出；再由向量模的计算公式，结合题中条件求出，即得出结果．
【详解】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形，
所以
，
由题意，可得|，，，
因此
所以，即的长为.
16．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）由为正方形，推出，再由面面垂直推出线线垂直，再证明线面垂直，推出线线垂直；
（2）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面法向量求解即可.
【详解】（1）因为侧面为正方形，所以.
又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）由（1）知，，，，
故以为原点，分别以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，.
设，其中.
则，
所以，
又.
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，，所以.
由题意，为平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
所以，
解得或（舍）.
所以.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由勾股定理得，由平面得，从而平面，进而得出结论；
（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解；
（3）设，则，求得，设直线与平面所成角为，由题意，列式求解即可.
【详解】（1）∵，∴，∴，
∵平面，平面，∴，
∵，平面，
∴平面，
∵平面，∴.
（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
,
设平面的法向量为，
由，令，则，，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
∴，
∴平面和平面夹角的余弦值为.
（3）设，则，
设，则，得，
∴，，
平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
由题意，，
∴，此方程无解，
∴在线段上是不存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过证明的方向向量和平面的法向量来证明线面平行；
（2）利用向量法求直线与平面所成角.
【详解】（1）由已知得两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，又轴面，
则面的一个法向量为，
因为，
所以，又面，
所以平面；

（2），
，
设面的法向量为，
则，取得，
设直线与平面所成角为，
则
所以.
19．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）取的中点，连接，取的中点，连接，通过证明平面可得平面平面；
（2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法求出与平面所成角的正弦值，然后解方程可得答案.
【详解】（1）因为平面，且，
所以平面，
取的中点，连接，则平面，所以，
又，所以，
取的中点，连接，则，且，
又，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量，
则即取，可得.

设，所以，
记与平面所成的角为，
所以，
解得，故为的中点，即.
所以在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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