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2.4.2 圆的一般方程【第一课】
[课标要求]
1. 理解二元二次方程表示圆的条件，会根据圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径.
2. 会根据所给条件求圆的一般方程.
3. 能解决简单的轨迹问题.
[明确任务]
1.求圆的一般方程. （数学运算）
2.求动点的轨迹方程. （直观想象、逻辑推理）
1.圆的标准方程、求轨迹方程的一般方法
2.二元二次方程、配方法、一元二次方程根的判别式
核心知识点1 圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程.
2.圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆心为（－，－），半径长为.
提示（1）当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形.
（2）二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.
例1. 下列方程是否表示圆？若是，写出圆心和半径；若不是，说明理由.
（1）2x2＋y2－7y＋5＝0；
（2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
（3）x2＋y2－x＝0；
（4）x2＋y2＋2ax＋a2＝0（a≠0）.
【解析】（1）2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆；
（2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆.
（3）法一　因为D2＋E2－4F＝（－1）2＝1>0，
所以方程表示圆，圆心坐标为，即，半径r＝＝.
法二　方程x2＋y2－x＝0可化为＋y2＝，
它表示以为圆心，为半径的圆.
（4）因为D＝2a，E＝0，F＝a2，
所以D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，所以方程不表示圆.
归纳总结 判断二元二次方程是否表示圆的思路
（1）判断二元二次方程是否表示圆时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆.
（2）此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形为标准方程的形式，看方程等号右端是否为大于零的常数.
【举一反三】
1．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为
A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1
C．a=–1 D．a=2
2．方程表示圆，则实数a的取值范围是 .
3．若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆，求:
（1）实数m的取值范围;
（2）圆心坐标和半径.
核心知识点2 求圆的一般方程
例2. 已知A（2，2），B（5，3），C（3，－1）.
（1）求△ABC的外接圆的一般方程；
（2）若点M（a，2）在△ABC的外接圆上，求a的值.
【解析】 （1）设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意，得
解得
即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
（2）由（1）知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M（a，2）在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
归纳总结 待定系数法求圆的一般方程的步骤
（1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）.
（2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组.
（3）解此方程组，求出D，E，F的值.
（4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
【举一反三】
4．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．过点且圆心在直线上的圆的一般方程为 ．
6．已知圆经过点（4,2）和（－2，－6），该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．
核心知识点3 轨迹问题
轨迹是指点在运动过程中形成的图形，是几何问题；轨迹方程是指点的坐标所满足的关系式是代数问题，依赖坐标系的建立.有时候可以将二者一一对应起来.
例3.（1）若线段AB的端点分别在x轴、y轴上运动，且|AB|＝4，求线段AB中点M的轨迹方程.
（2）已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A（1，2）的弦的中点P的轨迹方程.
（3）已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
【解析】（1）由题意，设原点为O（0，0），则|OM|＝|AB|＝2，
由圆的定义，M在以O（0，0）为圆心，2为半径的圆上，
即x2＋y2＝4，即为M的轨迹方程.
角度2　直接法求轨迹方程
（2）法一：　设点P的坐标为（x，y）.
当AP垂直于x轴，即点P的坐标为（1，0）时符合题意；
当AP垂直于y轴，即点P的坐标为（0，2）时，符合题意；
当点P与点A或点O重合，即点P的坐标为（1，2）或（0，0）时，符合题意；
当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP，
即kAP·kOP＝－1，
∵kAP＝，kOP＝，
∴·＝－1，
即＋（y－1）2＝（x≠0，且x≠1）.
经检验，点（1，0），（1，2），（0，0），（0，2）也适合上式.
即中点P的轨迹方程为＋（y－1）2＝.
法二：　设点P的坐标为（x，y），则A，P重合或OP⊥AP，总有·＝0，
即（x－1，y－2）·（x，y）＝0，x（x－1）＋y（y－2）＝0，
即x2＋y2－x－2y＝0，亦即＋（y－1）2＝.
（3）以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图），
则点A（－2，0），B（2，0），设C（x，y），BC中点D（x0，y0）.
∴①
∵|AD|＝3，∴（x0＋2）2＋y＝9.②
将①代入②，整理得（x＋6）2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，
∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以（－6，0）为圆心，6为半径的圆，去掉（－12，0）和（0，0）两点.
轨迹方程为（x＋6）2＋y2＝36（y≠0）.
归纳总结 求轨迹方程的三种常用方法
（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
（2）定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
（3）代入法：若动点P（x，y）依赖于某圆上的一个动点Q（x1，y1）而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.
【举一反三】
7．已知直角的斜边为，且，，求直角顶点C的轨迹方程.
8．圆的圆心和半径长分别为（　　）
A．，16 B．，4
C．，4 D．，16
9．方程表示圆，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
10．已知点在圆C：的外部，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．若的斜边的两端点A,B的坐标分别为和，则直角顶点C的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．圆（　　）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称
13．过三点的圆的方程为 ．
14．到点O（0，0）的距离是到点A（3，0）的距离的的点M的轨迹方程为 .
15．若点，在圆上，且点，关于直线对称，则该圆的面积为 ．
16．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径.
(1).
(2).
(3).
17．已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由题得，解之即得解.
【详解】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，
则，解得a=–1．
故答案为C
【点睛】判断二元二次方程与圆的关系时，先看项的系数是否均为1，有没有项，当满足项的系数均为1，且没有项时，判断是否成立，或直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数，从而作出判断．
2．
【分析】配凑原方程，根据其表示圆，列出关于的不等关系式，即可求得参数范围.
【详解】方程，即，
若其表示圆，则，解得，即的取值范围为：.
故答案为：.
3．（1）；（2）圆心坐标为，半径.
【分析】（1）利用圆的一般方程可得，由此求得的取值范围．
（2）将圆的方程写成标准方程的形式，可得圆心坐标和半径．
【详解】解：（1）方程表示圆，
，
即，解得，
故的取值范围为；
（2）将方程写成标准方程为，
可得圆心坐标为，半径．
4．A
【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为，
由题意知,圆过点，和，
所以，解得，
所以所求圆的方程为.
故选：A
5．
【分析】设出圆的一般方程，根据已知条件列方程组，求得，从而求得正确答案.
【详解】设圆的一般方程为，则圆心为，
依题意得，解得，
所以圆的一般方程为.
故答案为：
6．x2＋y2－2x＋4y－20＝0
【详解】设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点（4,2）和（－2，－6），
∴
设圆在x轴上的截距为x1、x2，它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，得x1＋x2＝－D．设圆在y轴上的截距为y1、y2，它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，得y1＋y2＝－E.由已知，得
－D＋（－E）＝－2，即D＋E－2＝0. ③
由①②③联立解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
考点：圆的方程.
7．
【分析】由直角关系可知点轨迹是以中点为圆心，长为半径的圆，且不包括两点；利用中点坐标公式求得圆心坐标，直角三角形性质得到半径，进而得到轨迹方程.
【详解】， 中点为
为斜边两端点，则
点轨迹是以为圆心，为半径的圆，且与不重合
点轨迹方程为：
【点睛】本题考查轨迹方程的求解问题，关键是能够根据直角关系确定点的轨迹为圆；易错点是忽略轨迹中不包括两点的情况，从而造成范围缺失.
8．C
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，进而可得圆心和半径.
【详解】由得，
故圆心为，半径长为4.
故选：C.
9．D
【分析】由圆的一般方程，表示出圆的半径，然后通过半径大于0，得到关于的方程，求出的范围.
【详解】因为方程表示圆，
则半径
所以
即
解得
故选D项.
【点睛】本题考查圆的一般方程求圆的半径，属于简单题.
10．A
【分析】由题意可得，解不等式组可得答案
【详解】由题意，得，解得，或.
故选：A.
11．C
【分析】由直角关系可知点轨迹是以中点为圆心，长为半径的圆，且不包括两点；利用中点坐标公式求得圆心坐标，直角三角形性质得到半径，进而得到轨迹方程.
【详解】， 中点为
为斜边两端点，则
点轨迹是以为圆心，为半径的圆，且与不重合
点轨迹方程为：
故选：
【点睛】本题考查轨迹方程的求解问题，关键是能够根据直角关系确定点的轨迹为圆；易错点是忽略轨迹中不包括两点的情况，从而造成范围缺失.
12．ABC
【分析】将圆的方程转化为标准方程，可得圆心，进而判断各选项.
【详解】由圆的方程为，即，
即圆心的坐标为，
A选项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，A选项正确；
B选项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，B选项正确；
C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，C选项正确；
D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，D选项不正确；
故选：ABC.
13．
【分析】设出圆的方程，代入三点坐标，解方程组可得．
【详解】设圆的方程是：，
因为圆过三点，
所以，解得，
所以圆方程为，即,
故答案为：．
14．（x＋1）2＋y2＝4
【分析】根据平面内两点间的距离公式，列出方程化简即可得出结论.
【详解】设点M的坐标是（x，y），则＝.∴＝.化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为（x＋1）2＋y2＝4.
故答案为：（x＋1）2＋y2＝4.
15．
【解析】根据点，在圆上，且关于直线对称可知，直线过圆心，则可解出，然后得出圆的半径，得出圆的面积.
【详解】因为点，在圆上，且点，关于直线对称，
根据圆的性质可知：
过圆心，则，解得.
所以圆的方程为：，即，
则，面积为：.
故答案为：.
【点睛】本题考查圆的一般方程及相关计算，考查圆中的弦的对称轴问题，较简单，根据题目条件确定出圆的方程是关键.
16．(1)方程表示圆，圆心为，圆的半径2
(2)方程表示一个点
(3)方程不表示任何图形
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件即可判断.
【详解】（1）由方程可知：，,
所以方程表示圆，又,
所以圆心为，圆的半径为.
（2）由方程可知：，,
所以方程表示点，又，
所以方程表示的点的坐标是.
（3）原方程可化为
由方程可知：，，
所以该方程无实数解，方程不表示任何图形.
17．，点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆
【分析】设点P，点A，由中点坐标公式可得.代入圆的方程，整理即可得出，即可得出答案.
【详解】设点P的坐标为，点A的坐标为，
又，且P为线段AB的中点，
所以，则.
因为点A在圆C：上运动，即有，
代入可得，，
整理可得，化为标准方程可得.
所以，中点P的轨迹方程为，
该轨迹为以为圆心，1为半径的圆.
答案第1页，共2页
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