资源简介

2.5.2 圆与圆的位置关系【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.圆与圆位置关系的判定及由位置关系求参数，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养，如第6题、第9题、第11题、第15题；
2.圆与圆的公共弦及公切线问题，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第1题、第2题、第4题、第12题；
3.圆与圆的最值与范围问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第3题、第5题、第7题、第8题、第10题、第13题、第14题、第16题；
一.单选题
（2024·广东深圳·高二统考期末）
1．已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校期末）
2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2024·广西北海·高二统考期末）
3．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·安徽宣城·高二安徽省宣城中学校考期中）
4．已知圆，圆，则两圆公共弦所在的直线过定点（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
5．已知圆与圆相外切，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
（2024·天津·高二天津市第一百中学校联考期末）
6．已知圆：（）截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
（2023·江苏南京·高二期中）
7．已知圆和两点、，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校期末）
8．已知圆O：和圆C：，圆心为点C，现给出如下结论，其中正确的个数是（ ）
①圆O与圆C有四条公切线
②过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或
③过点C且与圆O相切的直线方程为
④P Q分别为圆O和圆C上的动点，则的最大值为，最小值为
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
（2024·广东河源·高二统考期末）
9．若点为原点，且圆与圆没有公共点，则圆的半径可以是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．9
（2024·江西宜春高二期末）
10．已知是圆上一点，是圆上一点，则（ ）
A．的最小值为2
B．圆与圆有4条公切线
C．当取得最小值时，点的坐标为
D．当时，点到直线的距离小于2
三、填空题
（2023·河南郑州·高二郑州外国语学校期中）
11．设集合，，若中有且只有一个元素，则的取值集合为 ．
（2023·江苏宿迁·高二统考期中）
12．已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 ．
（2023·广东东莞·高二校考期中）
13．在平面直角坐标系中，若圆：（）上任意一点关于直线的对称点都不在圆：上，则的取值区间为 .
（2023·山东德州·高二统考期中）
14．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 ；的最小值为 ．
四、解答题
（2024·广西南宁·高二统考期末）．（2024·辽宁阜新高二期末联考）
15．已知圆，圆.
(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；
(2)若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
（2024·黑龙江佳木斯·高二统考期末）
16．已知圆．
(1)证明：圆C过定点；
(2)当时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB的方程．
【易错题目】第3题、第10题、第16题
【复盘要点】 圆与圆中的最值问题，综合性较强，既要有几何视角（熟悉圆与圆中的几何性质），又要具备函数与方程思想，内建立相应的目标函数分析解决.
典例（2023·湖北·高二郧阳中学校联考期中）
已知直线l：与x轴交于点M，圆O：，P为直线l上一动点，过P点引圆O的两条切线，切点分别为A，B，则点M到直线的距离最大值为 ．
【答案】
【分析】根据两圆方程相减可得弦的直线方程为，即可根据判定弦AB的直线恒过定点，由两点距离公式即可求解.
【解析】设，则过P点作圆的两条切线，则在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
又在圆O：，两圆相减可得弦的直线方程为，
又因为：P在直线l上，故：，
故：切点弦的直线恒过定点，点到直线的最
大距离为．
故答案为：
易错提示： 圆与圆有中的最值问题
1.利用圆的几何性质求最值的问题：（1）求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. （2）过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
2.利用直线与圆的位置关系解决最值（取值范围） 问题：解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值（取值范围）.对于圆的最值问题；
3.利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【复盘训练】
（2024·江苏常州·高二统考期末）
17．已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为.若点是线段的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·宁夏·高二石嘴山市第三中学校考期中）
18．已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·陕西西安·高二交大附中校考期中）
19．已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为 .
（2023·湖北武汉·高二校联考期中）
20．若直线：，：（）相交于点，过作圆的切线，切点为，则的最大值为 ．
（2023·浙江杭州·高二校联考期中）
21．已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：的动点到直线距离的最大值为 .
（2023·天津·高二校联考期中）
22．已知点（，）在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据公切线的条数确定两圆的位置关系，进而求解即可.
【详解】由题意知，，因为圆与圆有且仅有一条公切线，
所以两圆内切，故，即，
解得.
故选：C.
2．C
【分析】先求得点的轨迹方程，然后根据圆与圆的位置关系确定公切线的条数.
【详解】依题意动点满足，
所以,，
整理得，所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆.
圆的圆心为，半径，
，所以两圆外切，则公切线有条.
故选：C

3．D
【分析】设，根据条件得到，从而将问题转化成与圆有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果.
【详解】设，则由，得到，
整理得到，又点在圆上，所以与圆有交点，
又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以，解得，
故选：D.
4．D
【分析】先由两圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，然后即可求解.
【详解】由题意知圆：，圆：，
将两圆方程式相减得两圆公共弦所在直线方程为，
变形得，由得，
即公共弦所在直线过定点，故D项正确.
故选：D.
5．A
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得，要使取得最大值，则，同号，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由圆与圆相外切，得，
即，
∴，
要使取得最大值，则，同号，不妨取，，
由基本不等式，得
，当且仅当时等号成立，
∴的最大值为2．
故选：A.
6．A
【分析】根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式可得，即可根据圆心距与半径的关系求解.
【详解】圆：（）的圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以，解得，
故圆的圆心为，半径为，
，故两圆内切，
故选：A
7．C
【分析】取，则为等边三角形，分析可知，满足条件的点一定在的外接圆上，求出的外接圆的圆心以及圆的半径，由圆与圆有公共点，可得出关于实数的不等式，结合可得出实数的取值范围.
【详解】取，则，同理可得，，
所以，，所以满足条件的点一定在的外接圆上，
的外接圆半径为，
所以，的外接圆圆心为，且，
要使得圆上存在一点，使得，所以圆与圆有公共点，
则，即，
又，解得．
故选：C．
8．C
【分析】根据两圆的位置关系可判定①④，利用截距式可判定②，利用直线与圆的位置关系判定③.
【详解】根据题意可知，两圆半径分别为，，
故两圆相离，所以有四条公切线，①正确；
，④正确；
显然过且在两坐标轴的截距相等的直线有（此时截距为零），
当截距不为零时，可设，代入点得，故②错误；
易知是过与圆O相切的直线，此时斜率不存在，
若切线斜率存在，可设，
则O点到的距离为，
所以该切线方程为，
综上过点C且与圆O相切的直线方程，，故③错误；
故选：C
9．AD
【分析】判断点与圆的位置，再利用两圆相离列出不等式求解即得.
【详解】圆的圆心，半径，，显然点在圆外，
由于圆与圆无公共点，则圆与圆可以外离，也可以内含，且圆在圆内，
设圆的半径为，于是或，即或，解得或，
所以圆的半径可以是1或9，即AD满足，BC不满足.
故选：AD
10．AB
【分析】求出两圆的圆心距，判断两圆的位置关系，再逐项分析、计算即可判断得解.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则，圆与圆外离，
因此的最小值为，圆与圆有4条公切线，AB正确；
直线的方程为，代入，得，当取得最小值时，
为线段与圆的交点，因此点的坐标为，C错误；
过点作圆的切线，切点为，则，
当为线段的延长线与圆的交点，且点与重合时，，
此时点到直线的距离等于，D错误.
故选：AB
11．1或11
【分析】由题意可知两圆只能相切，然后分别算出各圆的圆心坐标、半径、圆心距，从而即可求解.
【详解】由题意若中有且只有一个元素，
则当且仅当圆与圆相切，
圆的圆心坐标、半径分别为，圆的圆心坐标、半径分别为，
而两圆的圆心距为，
因为，
所以两圆不可能外切，只能内切，此时，
解得或.
故答案为：1或11.
12．
【分析】设，根据题意确定出四点共圆并求解出圆的方程，然后根据两圆相交弦所在直线方程的求法求解出结果.
【详解】设，如下图，
因为为圆的切线，
所以，所以，
所以四点共圆，且为圆的直径，记的中点为，
因为，所以，
所以经过四点的圆的方程为，
显然与的相交弦为，
所以所在直线的方程为，
即为，
故答案为：.
13．
【分析】求出圆：（）关于对称圆，转换为与无公共点，求解即可.
【详解】圆：（）关于直线的对称圆为：（），
由已知可得，只需要与无公共点，
则或，
又，
所以或，
解得或，
又因为，
所以的取值区间为，
故答案为：.
14． ## ##
【分析】联立圆的方程，可得公共弦方程及其恒过的定点，利用两点间距离公式可得，再利用二次函数性质可得最值.
【详解】由，，
可得，即，
所以，解得，
所以点，
又，，
则，
所以当时，取最小值为，
经检验，当时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意.
故答案为：，.
15．(1)圆C与圆M相交，理由见解析
(2)或
【分析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；
（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.
【详解】（1）把圆M的方程化成标准方程，得，
圆心为，半径.
圆C的圆心为，半径，
因为，
所以圆C与圆M相交，
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设其方程为，
由题意得，解得，
故直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
16．(1)证明见解析
(2)面积最小值为，
【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可；
（2）依题意表示出所求面积，再用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）依题意，将圆的方程化为
，
令，即，则恒成立，
解得，即圆过定点；
（2）当时，圆，
直线，
设，依题意四边形的面积，
当取得最小值时，四边形的面积最小，
又，即当最小时，四边形的面积最小，
圆心到直线的距离即为的最小值，
即
，即四边形面积最小值为，
此时直线与直线垂直，
所以直线的方程为，与直线联立，解得，
设以为直径的圆上任意一点：，
故圆的方程为，
即，又圆，
两式作差可得直线方程.
17．B
【分析】求出点P的轨迹方程，再结合题意求出点Q的轨迹方程，结合图形以及圆与圆的位置关系，即可求得答案.
【详解】由题意知两条动直线和交于点，
联立直线方程消去m可得，
由于，即，
该直线过定点，但不会过点，
故P点轨迹方程为（去掉点），
圆心为，半径为；
上两点，间的距离为，
Q为线段的中点，则圆C的圆心到Q的距离为，
则Q点轨迹方程为，圆心为，半径为；
由于与圆的圆心距满足，
故这两圆外离，
则的最小值为，
故选：B
18．B
【分析】求出圆的标准方程，根据三条公切线，推出两个圆外切，求出，利用基本不等式求解.
【详解】根据题意可得，两圆的标准方程为和，
圆心为和，半径分别为2，1，
若两圆恰有三条公切线，
则等价为两圆外切，
则满足圆心距，
即
则，
则
,
当且仅当，即，取等号.
故选：B
19．12
【分析】用数形结合可知的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径求解即可.
【详解】设圆的圆心为，圆的圆心为，
所以，

如图，可知，的最大值是圆心距加两个圆的半径，即.
故答案为：12
20．7
【分析】根据已知确定的轨迹为，再由圆切线性质将问题转化为求的最大值，结合圆与圆的位置关系求其最大值，即可确定的最大值.
【详解】由题设，，即，
又、分别恒过、，故交点在以线段为直径的圆上，
圆心为，半径为，故的轨迹为，
由到的距离为，即两圆相离，如下图，
由圆切线性质，，
要使的最大值，只需最大，且为，
所以.
故答案为：7
21．
【分析】借助数形结合思想，结合直线与圆的位置关系可得答案.
【详解】圆：与圆：的方程相减，
可得，即直线的方程为.
圆：的圆心为，半径，
点到直线的距离，
则圆上的动点到直线距离的最大值为，
故答案为：.
22．8
【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，代入已知点坐标得关系式，然后由基本不等式求得最小值，并验证等号成立时，点在公共弦上．
【详解】两圆方程相减得，即，
所以，，
，当且仅当，即时等号成立，
点为，，，点在两圆公共弦上，满足题意，
故答案为：8.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2.5.2 圆与圆的位置关系【第三课】
扩展1 圆系方程的应用
根据两圆的交点、同心圆、过直线与圆的交点等条件求圆的方程，按照传统方程运算常常较为复杂，而设圆系方程，能优化运算路径，提升运算效率.体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
例1（2023·湖南邵阳·高二期中）求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程．
【答案】
【分析】法一：联立直线与圆的方程求交点，根据三点在圆上，应用待定系数法求圆的方程；法二：设所求圆的方程为，由点在圆上求得，即可得方程.
【解析】法一：解方程组，得或，
∴直线与圆交于点．
设所求圆的方程为()，
将A，B，P的坐标代入，得，解得，满足，
故所求圆的方程为．
法二：设所求圆的方程为，
又在圆上，则，解得，
故所求圆的方程为，即．
【方法总结】运用圆系方程解决问题基本策略：
1、同心圆圆系
（1）以为圆心的同心圆圆系方程:;
（2）与圆同心圆的圆系方程为:;
2、过线圆交点的圆系
过直线与圆交点的圆系方程为:;
3、过两圆交点的圆系
过两圆交点的圆系方程为.（，此圆系不含）
（1）特别地，当时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时,表示公切线方程.
（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过，可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:
【举一反三1-1】（2024·河北邯郸·高二期末）
1．已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．所有过点的圆系的方程可以记为（其中，）
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．两圆有两条公切线与
【举一反三1-2】（2024·江西宜春高二期末）
2．已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为 .
【举一反三1-3】（2024·福建三明一中高二期末）
3．求经过两圆与的两个交点且半径最小的圆的方程.
扩展2 圆与圆的公切线问题
圆的公切线问题，综合性较强，既要有几何视角借助圆和切线的几何性质、也要有方程思想，处理问题.体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
例2（2023·山东菏泽高二期中）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由两圆方程得：圆心，，半径，
两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条；
两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行，
经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：，
，解得：或，即公切线方程为：或；
，与平行的公切线方程为，即，
，解得：，即公切线方程为或；
综上所述：两圆的公切线方程为：或或或.故选：C.
【方法总结】求两个圆公切线常用方法：
1.外公切线求解：如果两个圆有外公切线，那么过外公切线与连心线交点的直线就是两个圆的公切线.
2.内公切线求解：如果两个圆有内公切线，那么过内公切线与连心线交点的直线就是两个圆的公切线.
3.利用公式求解：如果知道两个圆的方程，那么可以通过求解方程组来求得公切线的方程.即可以将直线设为y=kx+b（若斜率存在），然后分别根据两圆的圆心到直线的距离等于半径，列出两个方程，通过此方程组便可以求出公切线的方程.
【举一反三2-1】（2024·贵州毕节高二期末）
4．已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【举一反三2-2】
5．已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【举一反三2-3】
6．已知圆心均在轴的两圆外切，半径分别为，则两圆外公切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
（山东·高考真题）
7．圆与圆的位置关系为
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
（湖南·高考真题）
8．若圆与圆外切，则＝（ ）
A．21 B．19 C．9 D．
（全国·高考真题）
9．设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=
A．4 B． C．8 D．
（北京·高考真题）
10．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为
A．7 B．6 C．5 D．4
（湖北·高考真题）
11．圆和圆的公切线的条数为（ ）
A． B． C． D．
（全国·统考高考真题）
12．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
（四川·高考真题）
13．若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 ．
（天津·高考真题）
14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是 ．
（山东·高考真题）
15．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 .
（上海·高考真题）
16．已知两个圆：①；②，则由①式减去②式可得两圆的对称轴的方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，且已知命题应成为所推广命题的一个特例，则推广命题为 .
（江苏·高考真题）
17．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为 ．
（江苏·高考真题）
18．如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4).
（1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.

试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．CD
【分析】根据圆系方程的条件，可判定A错误；利用两圆相减，求得公共弦的方程，可判定B错误；利用圆的弦长公式，求得弦长，可判定C正确；根据得到为两圆的公切线，得到关于两圆圆心所在直线对称的直线得到另一条公切线，求得公切线的方程，可判定D正确.
【详解】对于A中，圆系方程（其中，）此时不含圆M，所以A错误．
对于B选项，联立方程组，
两式相减得到直线AB的方程为，所以B错误．
对于C中，原点O到直线AB的距离为，
根据勾股定理得，所以C正确．
对于D中，由圆，可得，
可得圆的圆心坐标为，半径为，
又由圆，可得圆心，半径为，
可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线，
则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线，
由和，可得两圆心所在直线为，即，
联立方程组，解得，即交点坐标为，
在直线上任取一点，
设点关于直线对称点为，可得，
解得，即对称点的坐标为，
所求的另一条切线过点，，可得其方程为，
故所求切线方程为或，所以D正确.
故选：CD.

2．
【分析】设出所求圆的方程为，找出此时圆心坐标，当圆心在直线上时，圆的半径最小，可得此时面积最小，把表示出的圆心坐标代入中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，进而确定出所求圆的方程.
【详解】可设圆的方程为,
即,
此时圆心坐标为,
当圆心在直线上时，圆的半径最小，从而面积最小，
,
解得,
则所求圆的方程为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
3．
【分析】根据两圆的方程求出两圆相交弦所在的直线方程，结合待定系数法、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】设圆和圆的两个交点为，，则直线的方程为
，
即，设所求圆方程为.
化简得：
则半径最小时，圆心在直线上.
解得.
故所求圆的方程为.
【点睛】本题考查了过两圆交点且半径最小的圆的方程，考查了圆的几何性质，考查了数学运算能力.
4．B
【分析】先根据题意求得，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.
【详解】圆：的圆心为，半径为a，
所以圆心到直线的距离为，解得或．
因为，所以.
所以圆：的圆心为，半径为．
圆：的标准方程为，
圆心坐标为，半径，
圆心距，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
5．D
【分析】由已知可推得，直线是圆与圆的公切线.根据两圆的圆心、半径，推得两圆的位置关系，即可得出答案.
【详解】由已知可得，圆心，半径.
由点到直线的距离是2，所以直线是以为圆心，为半径的圆的切线，
又直线是圆的切线，
所以，直线是圆与圆的公切线.
因为，
所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，
即满足条件的直线有4条.
故选：D.
6．A
【分析】画出两圆公切线的交点，结合相似三角形的性质即可求解.
【详解】圆心均在轴的两圆外切，画出两圆公切线，有两条分别为，
公切线与圆的切点分别为，公切线与轴的交点为A，
两圆圆心分别为，圆与轴的上交点为，
则，
，则，
，
则，
同理可得，所以两圆公切线的斜率为.
故选：A.
7．B
【分析】试题分析：两圆的圆心距为，半径分别为 ，，所以两圆相交 ．故选B．
考点：圆与圆的位置关系．
8．C
【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果.
【详解】依题意可得圆与圆的圆心分别为，，则，
又，且两圆外切，则，得到，解得．
故选：C.
9．C
【详解】试题分析：依题意设两圆方程分别为，分别将代入得，所以，圆心距.
考点：圆与圆的位置关系.
10．B
【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.
考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.
11．B
【分析】根据圆的一般式判断圆心与半径，利用几何法判断两圆位置关系，进而确定公切线的数量.
【详解】两个圆与，
圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，
两圆圆心距为，
，
两圆相交，有条公切线.
故选：B.
12．或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
13．4
【详解】依题意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4.
14．
【详解】试题分析：两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为．
考点：相交弦所在直线的方程
15．
【详解】曲线化为，
其圆心到直线的距离为
所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为
标准方程为．
16．已知两个圆：①；②，则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程为.
【分析】根据两圆相交弦所在方程的求法来处理问题．
【详解】两方程，对应相减，得，
整理得：
【点睛】本题主要考查分析问题能力，用两个半径相同的圆的方程作差，得到一条直线的方程， 所以两圆交点坐标都满足这条直线的方程，则两圆交点确定的直线方程就是该直线，两个圆半径相同则它们关于这条直线对称．
17．
【详解】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为.
18．(1)；(2)2x y+5=0或2x y 15=0.(3).
【详解】试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.
试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.
（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
（3）设
因为，所以……①
因为点Q在圆M上，所以…….②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆有公共点，
所以解得.
因此，实数t的取值范围是.
【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算
【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑