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3.1.1 椭圆及其标准方程【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合.
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.椭圆的定义及其应用，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养，如第1题、第2题、第5题、第7题、第9题；
2.椭圆的标准方程，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第4题、第6题、第8题、第10题、第11题、第13题、第15题；
3.与椭圆有关的轨迹问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第3题、第12题、第14题、第16题；
一、填空题
（2024·北京石景山·高二统考期末）
1．方程表示的曲线是 ，其标准方程是 .
（2024·吉林长春·高二期末）
2．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ．
（2024·河南开封·高二期末）
3．在平面直角坐标系中，点,点P到A与B的距离之和为8，则点P的轨迹为 .
（2023·浙江台州·高二校联考期中）
4．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则 .

（2024·四川广安·高二四川省华蓥中学校考期末）
5．设椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于A，B两点，则的周长为 ．
（2023·河南南阳·高二统考期中）
6．请写出一个焦点在轴上，焦距为的椭圆的标准方程 ．
（2023·安徽霍邱高二期中）
7．椭圆上的一点到左焦点的距离为是的中点，则等于 .
（2023·上海奉贤·高二校考期中）
8．椭圆的一个焦点是，那么等于 ．
（2023·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考期中）
9．设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为 ．
（2023·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校期中）
10．设集合，则方程表示焦点位于x轴上的椭圆有 ．
（2024·江苏连云港·高二统考期末）
11．经过两点的椭圆的标准方程为 .
（2024·陕西安康高二期末）
12．设P是椭圆上的动点，是左焦点，联结，则中点的轨迹方程是 ．
二、解答题
（2023·天津和平·高二天津市汇文中学校考期中）
13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点的坐标分别是，，并且经过点；
(2)经过两点，.
（2023·广西河池高二期中）
14．用圆规画一个圆O，然后在圆内标记点A，并把圆周上的点折叠到点A，连接，标记出与折痕的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，…进行折叠并得到标记点，，…，则点，，，…形成的轨迹是什么？并说明理由．
（2023·福建三明高二期中）
15．已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为，求椭圆的标准方程
（2023上·内蒙古赤峰·高二校考期中）
16．己知圆，圆．若动圆与圆外切，且与圆内切．
(1)求圆和圆的圆心和半径
(2)求动圆的圆心的轨迹方程．
【易错题目】第10题、第11题、第13题
【复盘要点】忽视焦点的具体位置致误
【典例】（2024·云南昭通·高二昭通市第一中学校联考期末）已知椭圆.若椭圆的焦距为2，则实数k的值为（ ）
A.1或3 B.1 C. 3 D.6
【错解】由题意可得，
在椭圆中，，，则，
∴，解得.
【正解】由题意可得.
①若焦点在y轴上，在椭圆中，，，则，
∴，解得；
②若焦点在x轴上，在椭圆中，，，则，∴，解得.综上所述，实数k的值是1或3.故选A.
易错警示 错解中没有注意到当时，方程或并不表示椭圆.（1）利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：①先确定焦点位置；②设出方程；③寻找a，b，c的等量关系；④求a，b的值；⑤代入所设方程.
（2）当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为（，，）.
【复盘训练】
（2024上·北京丰台·高二统考期末）
17．已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南南阳·高二期中）
18．椭圆的焦距是2，则实数的值是 .
（2023·福建莆田一中高二月考）
19．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦距为4，且经过点；
(2)求经过点和点的椭圆方程.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1． 椭圆
【分析】根据椭圆的定义即可得解.
【详解】方程，
表示点到两点的距离之和等于，而，
所以方程表示的曲线是椭圆，
且长轴长，焦距，所以，
所以半短轴长，
所以其标准方程为.
故答案为：椭圆；.
2．14
【分析】借助椭圆定义即可得.
【详解】由，则，由在椭圆上，故有,
又，所以.
故答案为：.
3．线段
【分析】根据题意可得，即可判断出答案.
【详解】由题意得 ，则P点在线段上，
所以点P的轨迹为线段，
故答案为：线段
4．4
【分析】根据椭圆的标准方程求解.
【详解】由题可知，，所以，
故答案为:4.
5．16
【分析】，利用椭圆定义可求出的周长．
【详解】椭圆C：的长半轴长，
则的周长为．
故答案为：16.
6．（答案不唯一，只要焦点在轴上且）
【分析】由题得，所以，然后取一组a、b即可.
【详解】由题得，所以，取，
又焦点在y轴上，所以方程为.
故答案为：.
7．3
【分析】设椭圆的右焦点，则根据椭圆有定义可求出，再利用三角形的中位线定理可求得答案.
【详解】设椭圆的右焦点，连接，则由，知.
又点为的中点，点为的中点，所以.
故答案为：3
8．1
【分析】根据椭圆的方程可得，结合焦点和公式建立关于k的方程，解之即可求解.
【详解】由，得，
又椭圆的一个焦点为，所以，且，
由，得，解得.
故答案为：1
9．##
【分析】根据椭圆的定义和余弦定理、三角形的面积公式求解.
【详解】
设,
根据椭圆的定义可得，，
在中，设，
由余弦定理可得，
，
所以，
所以，所以，
所以，
故答案为: .
10．，，，，，
【分析】由题意可得，再写出符合题意的椭圆即可.
【详解】因为方程表示焦点位于x轴上的椭圆，
所以，
则符合题意的椭圆有，，，，，.
故答案为：，，，，，.
11．
【分析】由待定系数法求方程即可.
【详解】设椭圆为，代入两点得，解得.
故椭圆的标准方程为.
故答案为：.
12．
【分析】利用相关点代入法求得正确答案.
【详解】设的中点为，
依题意，，所以，
由于在椭圆上，
所以，
所以中点的轨迹方程是.
故答案为：
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出即可；
（2）设椭圆的方程为，再利用待定系数法求解即可.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为，
则，且焦点在轴上，
，
所以，
所以椭圆方程为；
（2）设椭圆的方程为，
则，解得，
所以椭圆方程为.
14．椭圆，理由见解析.
【分析】根据圆的性质，结合椭圆的定义进行求解即可.
【详解】点，，，…形成的轨迹是椭圆，证明如下：
设是圆O上任意一点，设与折痕的交点，
所以有，而，
所以有，
因为O和A是定点，且点A在圆O内，
所以，为圆O的半径，为定值，
因此点的轨迹是以O和A为焦点的椭圆，
所以点，，，…形成的轨迹是椭圆.
15．
【分析】根据焦点三角形的周长、面积及椭圆参数关系得到，再解方程组即可得到答案.
【详解】
设椭圆C的焦距为2c，因为的周长为6，面积为，
所以，可得，
所以，所以或，
当时，，，不满足题意；
当时，，，满足题意．
所以椭圆C的方程为.
16．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）借助圆的标准方程即可得；
（2）借助圆与圆相切的性质，结合椭圆的定义即可得.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为.
（2）设动圆的半径为R，
动圆与圆外切且与圆内切，
，，
而，由椭圆的定义可知，动点在以、为焦点，为长轴长的椭圆上，
设椭圆的方程为，半焦距为，
则，，，
又可知圆与圆内切，∴点C不能在切点处，即椭圆应去掉点，
曲线C的方程为．
17．C
【分析】根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解.
【详解】由椭圆的焦点在轴上，则满足，解得.
故选：C.
18．10或8
【分析】分类讨论焦点所在的位置，结合椭圆的性质分析求解.
【详解】由题意可知：椭圆的半焦距长为，
若焦点在x轴上，则，解得；
若焦点在y轴上，则，解得；
综上所述：实数的值是10或8.
故答案为：10或8.
19．(1)或
(2)
【分析】（1）讨论焦点位置，求出，可得结果；
（2）方法一： 讨论焦点位置，结合题中所给条件经过点和点，求出，可得结果；
方法二：设所求椭圆的方程为（，，），结合题中所给条件经过点和点，代入求解即可.
【详解】（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，
依题意得，，则，
故椭圆的标准方程为.
当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，
依题意得，，则，
故椭圆的标准方程为.
（2）方法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）.
依题意有，解得，故所求椭圆的标准方程为.
②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）.
依题意有，解得
因为，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为.
方法二：设所求椭圆的方程为（，，）.
依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页3.1.1 椭圆及其标准方程【第一课】
[课标要求]
1. 掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程.
2. 会根据条件确定椭圆的标准方程，能用待定系数法求椭圆的标准方程.
[明确任务]
1.椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程. (数学运算)
2.椭圆标准方程的推导. (数学运算、数据分析)
1.圆的定义、曲线与方程
2.两点间的距离公式、方程的化简
核心知识点1 椭圆定义及其应用
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
温馨提示（1）椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.且定值必须大于两定点间的距离.
（2）当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.
（3）当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
例1. (1)平面内到A(0，－3)和B(3，1)距离的和为6的动点轨迹为（ ）
A.椭圆 B.圆 C.线段 D.射线
【答案】A
【解析】设动点为M，则|MA|＋|MB|＝6，AB＝＝5，
∵6>5，∴动点M的轨迹为椭圆.
(2)到(0，－4)和(0，4)距离之和为8的点的轨迹为________.
【答案】线段
【解析】因为动点到两定点距离的和为定值8，等于两定点间的距离，故为线段.
(3)如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.若|F1A|＋|F1B|＝14，则弦AB的长为________.
【答案】6　
【解析】由椭圆方程＋＝1可得a＝5，
故由椭圆定义有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以|AB|＝(|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋
|BF2|)－(|F1A|＋|F1B|)＝20－14＝6.
归纳总结 椭圆定义及其应用
1.判定点的轨迹是否为椭圆，关键是看是否符合椭圆的定义；
2.作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数).
3.椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
4.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
5.若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan.
【举一反三】
1．设为定点，动点满足，则动点的轨迹是
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
2．点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是 ．
3．已知点是椭圆上的一点，分别是椭圆的两个焦点，且，则的面积为 .
核心知识点2 椭圆标准方程
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2
提示：（1）椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴.
（2）两种椭圆＋＝1，＋＝1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同.
（3）x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
例3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
（2）两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点.
【解析】　 （1）因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以解得
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
（2）因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
归纳总结 求椭圆标准方程的方法
（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
（2）待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”.
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程一般设为＋＝1.
（3）当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程.
【举一反三】
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)与椭圆有相同焦点，且过点；
(2)经过点P，Q.
核心知识点3 与椭圆有关的轨迹问题
例4. 一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
【解析】将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2，0)，
半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，
由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.
∴|BM|＋|CM|＝6，
又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆.
∴a＝3，c＝2，b＝＝，
∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1.
归纳总结：利用椭圆定义求标准方程本质上是求轨迹的问题，一般解题思路：
（1）直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0；
（2）定义法：用定义法求椭圆方程的思路：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义. 若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可；
（3）相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.
【举一反三】
5．已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程
6．已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．
7．已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
8．已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若,则
A．9 B．10 C．11 D．12
9．已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
A．=1 B．+y2=1 C．=1 D．+x2=1
10．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围为 .
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则 ．
12．如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，是线段上一点，且.当点在圆上运动时，动点的轨迹方程是 ．
13．设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则△的面积等于 .
14．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．

试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【详解】因为为定点，动点满足|，即动点到两定点的距离之和等于两定点连线的距离，所以动点的轨迹是线段（若不在上，必有|）,故选D.
2．
【分析】根据椭圆方程，得到焦点，，所以到两圆的圆心距离之和为，从而得到，最小值为，最大值为.
【详解】椭圆，焦点，，
而圆和的圆心为，
所以到两圆圆心的距离之和为，
而、分别是圆和上的动点
所以
.
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆的定义，点到圆的距离的范围，属于简单题.
3．
【分析】根据条件得出，，在中，利用余弦定理及椭圆的定义得出，再由面积公式即可求出结果.
【详解】由椭圆方程，可得，，，
在中，由余弦定理，得，
即，
又，
所以，得到，
所以.
故答案为：.
4．(1)
(2)
【分析】（1）设所求椭圆的标准方程为，将点代入求解；
（2）法一：分焦点在x或y轴设椭圆方程求解；
法二：设椭圆的方程为进行求解.
【详解】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为.
又椭圆过点，将代入方程得，
解得或 (舍去).
故所求椭圆的标准方程为.
（2）法一：①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为.
依题意，有，解得
由知不符合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为.
依题意，有，解得，
所以所求椭圆的标准方程为.
法二：设椭圆的方程为.
则解得，
所以所求椭圆的方程为，
故椭圆的标准方程为.
5．x2＋＝1
【分析】设Q(x，y)，P(x0，y0)，进而可得x0＝2x，y0＝2y，代入椭圆方程即可求解.
【详解】设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，
又＋1，
所以＋1，即x2＋＝1.
6．
【分析】由条件可得，由此可求曲线C的轨迹方程.
【详解】由圆，圆得到，半径，，半径，
设动圆的半径为，
∵ 在内，
∴ 动圆只能在内与圆内切，不能是在动圆内，
即：，
∵动圆与圆外切，
∴，
∵动圆与圆内切，
∴，
∴，
即到和到的距离之和为定值，
∴是以、为焦点的椭圆，且，，，
又动圆P只能在内，
∴动圆圆心的轨迹方程为
7．D
【分析】利用椭圆轨迹的相关定义即可得解.
【详解】因为
所以为线段上的点.
故选：D.
8．C
【分析】根据椭圆定义，求得三角形的周长，结合的长度即可求得．
【详解】根据椭圆定义，
所以三角形周长为
所以
所以选C
【点睛】本题考查了椭圆的定义及简单应用，属于基础题．
9．A
【解析】根据题意可得c=1，，从而求出，代入即可得解.
【详解】由焦点为(-1，0)和(1，0)，可得：c=1，
由点P(2，0)在椭圆上，可得为椭圆右顶点，故，
所以,
所以椭圆的方程为=1.
答案：A.
【点睛】本题考查了椭圆的基本量的运算，考查椭圆的性质，属于基础题.
10．(5，6)∪(6，7)
【分析】根据椭圆标准方程列式运算.
【详解】根据题意得，解得且.
故答案为：.
11．
【分析】求出的值，利用椭圆的定义求出的值，利用余弦定理结合的取值范围可求得的大小.
【详解】在椭圆中，，，则，
由椭圆的定义可得，
在中，由余弦定理可得，
又因为，所以，.
故答案为：.
12．
【分析】设的坐标为，的坐标为，则由可得，代入，整理可得答案
【详解】解：设的坐标为，的坐标为，
因为点是在轴上的投影，是线段上一点，且，
所以，
因为在圆上，
所以，化简得，
故答案为：
13．4
【分析】由椭圆的定义有,结合可得,,又,则三角形面积可求.
【详解】由椭圆有.
由椭圆的定义有，又
所以,,又.
在△中,
所以△为直角三角形, △的面积为
故答案为:4
【点睛】本题考查椭圆的定义和焦点三角形的面积,属于中档题.
14．
【分析】由题意，连接MA．由题意知点M在线段CQ上，由|CQ|＝|MQ|＋|MC|，根据椭圆的定义，求得|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5，得到的值，即可得到椭圆的方程.
【详解】如图，连接MA．由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，
故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a＝5，
故，c＝1，.
故点M的轨迹方程为.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其标准方程，以及垂直平分线的性质的应用，其中解答中合理应用线段的垂直平分线的性质，及椭圆的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
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