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3.1.1 椭圆及其标准方程【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.椭圆的定义及其应用，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养，如第1题、第2题、第10题、第15题；
2.椭圆的标准方程，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第3题、第4题、第5题、第6题、第11题、第12题；
3.与椭圆有关的轨迹问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第8题、第14题、第16题；
4.与椭圆最值有关的问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第7题、第9题、第13题、第16题；
一、单选题
（2024·贵州黔南·高二统考期末）
1．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2024·广东汕尾·高二统考期末）
2．已知椭圆的左、右焦分别为、，过点的直线交该椭圆于、两点，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2024·云南文山·高二校考期末）
3．椭圆的焦点在轴上且焦距为2，则的值等于（ ）
A．5 B．5或8 C．5或3 D．3
（2024·江西宜春高二期末）
4．“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·陕西渭南高二期中）
5．设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（ ）
A．3 B． C．9 D．
（2024·广东江门·高二统考期末）
6．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
（2024·江苏·高二淮阴中学校联考期末）
7．已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C． D．
（2024上·广东佛山·高二统考期末）
8．长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2023·福建漳州·高二福建省华安县一中期中）
9．已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ）
A． B．
C． D．
（2024·四川内江·高二四川省资中县二中期末）
10．已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ）
A．的周长为6
B．若，则的面积为
C．椭圆C上存在两个点，使得
D．的最小值为
三、填空题
（2024·江苏苏州·高二统考期末）
11．在平面直角坐标系中，已知菱形的边长为2，一个内角为60°，顶点，，，均在坐标轴上，以为焦点的椭圆经过，两点，请写出一个这样的的标准方程： ．
（2024上·山西大同·高二统考期末）
12．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于 .
（2023·陕西铜川高二期中）
13．已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为 .
（2024·宁夏石嘴山·高二石嘴山市三中期末）
14．已知圆E：，点，P是圆E上的任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 ．
四、解答题
（2024·广西南宁·高二统考期末）
15．已知椭圆的左 右焦点分别为，且经过两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上的点满足，求点的坐标．
（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学期末）
16．已知圆，圆，动圆P以点P为圆心，且与圆外切，与圆内切.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)已知点为轨迹C上任意一点，求的最大值.
【易错题目】第7题、第9题、第13题、第16题
【复盘要点】椭圆中的最值问题，既要有几何视角借助椭圆的定义及其几何性质、也要有方程思想，处理问题.体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
典例（2024·广东汕头·高二校考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可．
椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则，∴，当且仅当时取等号，
∴，
则的最小值为1．故选：C.
易错提示：解决椭圆中最值问题基本思路：
（1）运用椭圆的定义，将问题转化为两点间距离最短；
（2）二次函数法：通过将椭圆问题转化为二次函数，借助二次函数的性质来求最值；
（3）均值不等式法：根据椭圆的方程构造关于某个变量的一元二次方程，然后利用均值不等式求最值.
【复盘训练】
（2023·河北石家庄·高二正定中学校考期中）
17．已知为椭圆的右焦点，点，点P为椭圆上任意一点，且的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·甘肃武威·高二校联考期中）
18．已知椭圆：的右焦点为F，P是上一点，，当的周长最小时，其面积为（ ）
A．12 B．6 C．8 D．10
（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）
19．已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
（2023·山东枣庄·高二枣庄市第三中期中）
20．已知椭圆：（）的离心率为，左右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为3，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·陕西西安·高二西安中学校考期中）
21．若点和点分别为椭圆的中心和下焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）
22．若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（ ）
A． B． C．7 D．10
（2023上·河南焦作·高二统考期中）
23．已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．10 D．
（2024·浙江丽水·高二校联考期末）
24．已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2024·江苏宿迁·高二统考期末）
25．椭圆：长轴的左右两个端点分别是，，点满足，则面积的最大值为（ ）
A．40 B．44 C． D．
（2023·安徽六安·高二校考期中）
26．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为 ．
（2024·湖南常德·高二校联考期末）
27．已知P是椭圆上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为 .
（2023上·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）
28．设实数满足的最小值为 .
（2023·黑龙江大庆·高二肇州县二中期中）
29．已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 .
（2023·湖北黄冈·高二统考期中）
30．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为 .
（2023·四川成都·高二四川省成都市西北中学期中）
31．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为 .
（2023上·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）
32．已知，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若椭圆上存在四个不同的点，使得的面积为，则正实数的取值范围为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据题意，结合根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程，得到答案.
【详解】由动点满足方程，
根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，
且，可得，则，
所以动点P的轨迹方程为.
故选：A.
2．C
【分析】根据椭圆定义得，得到的周长即可求解.
【详解】椭圆，，，
、在圆上，，，
的周长为，
，.
故选：C.
3．A
【分析】由椭圆的标准方程及焦点在x轴上且，结合椭圆参数的关系即可求.
【详解】依题得，即，则.
故选：A
4．B
【分析】解出方程表示的曲线为椭圆时的取值范围，再由集合间的包含关系即可得出结论.
【详解】若方程表示的曲线为椭圆，则，
解得或，
则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件，
故选：B．
5．B
【分析】由题设可得，应用余弦定理、椭圆定义求得，最后应用三角形面积公式求面积.
【详解】由题设，，可得，
，
由，，则，即，
所以的面积.
故选：B
6．B
【分析】分焦点在x轴和焦点在y轴两种情况设椭圆的方程，根据题意得到和，求得的值，即可得解.
【详解】由题意，当椭圆的焦点在轴上时，可设椭圆的方程为，
因为椭圆的两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，可得，
又由，即①，
又因为椭圆的面积为，可得，即②，
联立①②，解答，所以椭圆的方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，可设椭圆的方程为，
为椭圆的两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，可得，
又由，即③，
又因为椭圆的面积为，可得，即④，
联立①②，解答，所以椭圆的方程为；
故选：B.
7．D
【分析】求出椭圆的焦点坐标，求出圆心和半径，求解的表达式，然后求解最值.
【详解】点为椭圆：的右焦点，设椭圆的左焦点为，
又为上一点，为圆：上一点，圆的圆心，半径为，
则，
当且仅当四点共线时取等号，
则的最大值为.
故选：D.
8．C
【分析】设点、、，由已知条件可得出，分析可知，为的中点，可得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程.
【详解】设点、、，则，可得，
因为点关于点的对称点为，则为的中点，
所以，，可得，
将代入可得，即，
因此，点的轨迹方程为.
故选：C.
9．BCD
【分析】根据椭圆的定义可判定A、B，根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C，根据基本不等式可判定D.
【详解】对AB，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，
因为，所以，，，
所以，，故A错误，B正确；
对C，设，，，
则，
即，当时取得最大值，故C正确；
对D，由椭圆定义及基本不等式可知：，故D正确．
故选：BCD
10．ABD
【分析】先求出，根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形的面积公式即可判断B；求出的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等式中“1”的整体代换即可判断D.
【详解】由椭圆C：，得，则，
所以，
因为点P是椭圆上的一个动点，所以，
对于A，的周长为，故A正确；
对于B，在中，由余弦定理得，
，
即，则，
所以，
所以的面积为，故B正确；
对于C，当点位于椭圆得上下顶点时，最大，
当点位于椭圆得上下顶点时，，
此时为等边三角形，故的最大值为，
所以椭圆C上不存点，使得，故C错误；
对于D，因为，
所以
，
当且仅当，即时，取等号，
经检验符合题意，所以的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
11．（答案不唯一）
【分析】以菱形的对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，不妨取，求出的长度，进而可求得焦距及短轴长，进而可得出答案.
【详解】如图，以菱形的对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，
因为菱形的边长为2，一个内角为60°，
不妨取，
则为等边三角形，
故，
则椭圆的焦距，短轴长，所以，
则长轴长，所以，
所以此时椭圆的标准方程为.
故答案为：.（答案不唯一）
12．
【分析】设出点的坐标，根据已知建立方程组，求出点的纵坐标即可求出面积.
【详解】椭圆的半焦距，则，设点，
于是，消去得，
所以的面积.
故答案为：
13．##
【分析】利用椭圆的定义，得到，从而得解.
【详解】因为椭圆，则，
所以为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为F，则，
由椭圆的定义得，，
所以P为射线FA与椭圆交点时，取最小值，
此时．
故答案为：
14．
【分析】连结QF，根据题意，，则，故Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求动点Q的轨迹方程．
【详解】连结QF，根据题意，，
则，
故Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，
设椭圆方程为，则有
所以，则，
所以点Q的轨迹方程为．
故答案为： ．
15．(1)
(2)点坐标为或或或
【分析】（1）待定系数法求椭圆方程；
（2）假设椭圆上存在点，根据垂直得到，得到，联立椭圆方程，求出交点坐标，得到答案.
【详解】（1）因为椭圆经过，
则，解得．
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）知，
假设椭圆上存在点，使得，
则，即，
联立，解得．
当时，，当时，，
椭圆上存在点使得,点坐标为或或或．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用动圆与圆外切，与圆内切可得动圆圆心满足的几何性质，再根据椭圆的定义可得的轨迹方程.
（2）根据点中x,y的关系，代入消去x，转化为关于y的二次函数求最值.
【详解】（1）设动圆圆心，设动圆的半径为r，由题意有
，，消r得到：，
动圆圆心P的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，
故，，
故轨迹的方程为：.
（2）因为点为（1）所求轨迹上任意一点，则，且，
所以，
当时，取最大值为.
17．D
【分析】利用求出最小值，进而可列方程求出.
【详解】椭圆，即，
则，
则，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
解得.
故选：D.
18．B
【分析】由椭圆定义及三角形三边关系得，注意三点位置关系并确定的坐标，进而求三角形面积.
【详解】由题设，若是椭圆左焦点，如下图示，
的周长为，又，
而，结合图知：，
由，则，
所以，当且仅当共线且在之间取等号，
此时直线方程为，联立椭圆得，整理得，
所以或，由图知，
此时的面积为.
故选：B
19．C
【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值.
【详解】设，，且，
所以
，
又因为，所以当时取最大值，
所以，
故选：C.
20．B
【分析】根据题设条件得出，在中，令，，由余弦定理得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为椭圆的离心率为，所以，得到，
又，，设，则，
又，得到，所以，
易知，，又点到焦点的最大距离为3，所以，得到，
令，由椭圆定义知，
在中，由余弦定理得，
又，得到，当且仅当时取等号，
所以，故，
又易知，当在椭圆左、右顶点时取等号，所以，
故选：B.
21．C
【分析】由向量数量积的坐标表示，将用坐标表示出来，利用椭圆方程化简为二次函数最值问题即可求解.
【详解】
设，点为椭圆上的一点，
所以满足，
由题知，则，
所以，
化简得，，
所以当时，最大.
故选：C
22．D
【分析】利用椭圆的定义及三角形三边关系有，即可求最大值，注意取值条件.
【详解】若为椭圆右焦点，如下图示，，

周长为，且，
所以，而，
故，当且仅当共线且在两侧时等号成立，
所以周长的最大值为10.
故选：D
23．B
【分析】若为椭圆左焦点且，由椭圆定义有，结合，即可求最小值.
【详解】若为椭圆左焦点且，则，故，
所以，
而，所以，仅当共线时取等号，
综上，的最小值为，取值条件为共线且在之间.
故选：B
24．B
【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值.
【详解】如下图所示：
在椭圆中，，
则，
圆的圆心，半径，
圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得，
，
由椭圆的几何性质可得，即，
由圆的几何性质可得，
所以，
所以的最小值是.
故选：C.
25．A
【分析】由题意得，设，则由可得，从而可求得，进而可求出面积的最大值.
【详解】由，得，则，
所以，则，设，
所以,
因为，所以，
所以，
化简得，即，
所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
所以面积的最大值为40，
故选：A

26．9
【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.
【详解】∵在椭圆上
∴
∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.
故答案为：9.
27．
【分析】根据椭圆的定义，得到，得到P在线段上时，取得最小值，结合点到直线的距离，即可求解.
【详解】由椭圆，可得左焦点为，则，
于是，当且仅当三点共线，且P在线段上时，取得最小值，
又由的最小值为点到直线的距离，
所以的最小值为.
故答案为：.
28．
【分析】根据题意，利用椭圆的定义，即可求代数式的最小值，得到答案.
【详解】设，则在椭圆上，
因为，
设，则为椭圆的右焦点，
如图所示，设椭圆的左焦点为，
则，
当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
而，故的最小值为.
故答案为：.
29．
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式，即可求解.
【详解】设椭圆的左焦点为，可得，
由椭圆定义知，
又由点在椭圆内，，直线交椭圆于，
因为，即，
当且仅当点共线时取等号，
当点与重合时，，则，
当点与重合时，，则，
所以的最大值和最小值为，可得.
故答案为：.
30．
【分析】根据椭圆定义得，再利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为点P是椭圆上的动点，
，，所以，
所以
，
当且仅当即时，等号成立.
故答案为：
31．7
【分析】根据题设且求参数，即得椭圆方程，再根据椭圆定义得，进而求其最大值.
【详解】由题意且，又，可得，
所以椭圆方程为，而，即Q在椭圆内，如下图，
若为右焦点，由，则，
所以，而，
所以的最大值为7.
故答案为：7
32．
【分析】根据题意，由条件可得，再由三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，则，则，
设的纵坐标为，由条件可得，
则，
所以，即，
整理可得：，解得.
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页3.1.1 椭圆及其标准方程【第三课】
扩展1 与椭圆有关的轨迹问题
求动点的轨迹方程，是解析几何中的基本问题，解决问题的基本思想是方程思想，但根据不同条件，常常由一定技巧性.体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
例1（2023·湖南衡阳·高二期中）椭圆+y2=1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程.
【解析】设点P，M的坐标分别为（x1，y1），（x，y），
∵在已知椭圆的方程中，a=3，b=1，
∴c==，
则已知椭圆的两焦点为F1（，0），F2（，0）.
∵△PF1F2存在，∴y1≠0.
由三角形重心坐标公式有即
∵y1≠0，∴y≠0.
∵点P在椭圆上，∴+=1，
∴+=1（y≠0），
故△PF1F2的重心M的轨迹方程为
x2+=1（y≠0）.
【方法总结】求与椭圆有关的轨迹方程的常用策略
1.直接法：将动点满足的几何条件或等量关系直接坐标化，列出等式，化简即得动点的轨迹方程.步骤可记为：建系、设点、列式、化简、检验.
2.定义法：用定义法求椭圆方程的思路：观察、分析已知条件，看所求动点的轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.
3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一个动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中，即可解决问题，这种方法称为相关点法.
用相关点法求轨迹方程的步骤：
①先设所求轨迹上的动点，再设具有某种运动规律上的动点；
②找出点P，Q坐标之间的关系，并表示为
③将，代入，即得所求的轨迹方程.
【举一反三1-1】
（2024·山东泰安·高二期末）
1．已知圆，，动圆与，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三1-2】
2．设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三1-3】
3．已知点M到定点F(1,0)的距离与M到定直线l：x＝3的距离的比为，则动点M的轨迹方程为 ．
【举一反三1-4】
（2024·江西宜春高二期末）
4．是椭圆上的任意一点，是它的两个焦点，为坐标原点，有一动点满足，则动点的轨迹方程是 ．
扩展2 椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题，既要有几何视角借助椭圆的定义及其几何性质、也要有方程思想，处理问题.体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
例2（2023·湖北黄石高二期中）已知椭圆C：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求：
（1）的最大值与最小值；
（2）的最大值与最小值.
【解析】（1）由椭圆方程知，，.
如图，连接并延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，于是.
，则求的最小值，即求的最大值，延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点，于是.
（2）连接，由椭圆定义知，则，所以，如图，连接并延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最大值的点，于是.
，延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点，于是.
【方法总结】 解决椭圆中最值问题基本思路：
（1）运用椭圆的定义，将问题转化为两点间距离最短；
（2）二次函数法：通过将椭圆问题转化为二次函数，借助二次函数的性质来求最值；
（3）均值不等式法：根据椭圆的方程构造关于某个变量的一元二次方程，然后利用均值不等式求最值.
【举一反三2-1】
（2024·四川绵阳高二期末）
5．已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
【举一反三2-2】
（2024·江西宜春高二期末）
6．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三2-3】
（2023·广东省揭阳市高二期中）
7．［多选题］已知，为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（ ）
A．的最大值大于3 B．的最大值为4
C．的最大值为60° D．的面积的最大值为3
（浙江·高考真题）
8．如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是
A．圆 B．椭圆
C．一条直线 D．两条平行直线
（北京·高考真题）
9．已知是椭圆的两焦点,过点的直线交椭圆于点A、B,若,则( )
A．11 B．10 C．9 D．16
（全国·高考真题）
10．椭圆的两个焦点为，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，为一个交点，则等于
A． B． C． D．
（广东·高考真题）
11．已知椭圆（）的左焦点为，则
A． B． C． D．
（全国·高考真题）
12．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1)
（北京·高考真题）
13．设，“”是“曲线为椭圆”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
（全国·高考真题）
14．椭圆与椭圆关于直线对称，椭圆C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
（全国·统考高考真题）
15．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
（全国·高考真题）
16．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
（全国·统考高考真题）
17．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
（福建·高考真题）
18．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
（全国·高考真题）
19．已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
（全国·高考真题）
20．椭圆＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（ ）
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．AB
【分析】先得到圆内含于圆，故圆与外切或内切，与圆一定内切，分两种情况，结合椭圆定义，求出轨迹方程.
【详解】圆的圆心，半径为1，
圆的圆心，半径为9，
由于，故圆内含于圆，
故动圆与，都相切，则圆与外切或内切，与圆一定内切，
设动圆的半径为，
当圆与圆外切时，可得，当圆与圆内切时，可得，
故，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，
且长轴长为10，焦距为6，短轴长为8，可得方程为；
当圆与圆内切时，可得，当圆与圆内切时可得，
故，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，
且长轴长为8，焦距为6，短轴长为，
可得方程为.
综上，轨迹方程为或.
故选：AB.
2．C
【分析】首先设出和根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点在椭圆上，代入消元即得点的轨迹方程.
【详解】
如图，设直线与的交点为，则
∵共线，故①，又∵共线，故②.
由①，② 两式相乘得（*）,
因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：，
化简得：，即P的轨迹方程为.
故选：C.
3．
【分析】依题意列出动点满足的方程，整理可得轨迹方程
【详解】设：，由题可得：，即：，
整理得：，所以动点M的轨迹方程为：
【点睛】本题考查了求轨迹方程的方法，依据概念，找到动点满足的几何关系，代入坐标可得轨迹方程．
4．
【解析】由平面向量线性运算可得，由此可利用点坐标表示出点坐标，代入椭圆方程可得点轨迹方程.
【详解】为中点
设，则，即
在椭圆上 ，即点轨迹方程为
故答案为：
【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的线性运算；关键是能够利用动点坐标表示出已知曲线上的点的坐标，代入已知曲线方程即可求得所求动点的轨迹方程.
5．D
【分析】利用椭圆的定义，进行合理转化，求得周长最大值即可.
【详解】
由椭圆方程得，
，.
设椭圆的左焦点为，
则的周长为
当且仅当三点共线，且在的延长线上时取等号.
,
，
的周长最大值为.
故选：D
6．C
【分析】利用椭圆的几何性质，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.
【详解】椭圆的，
如图，
设椭圆的右焦点为 ，
则 ；
；
由图形知，当在直线 上时， ，
当不在直线 上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有， ，
当在 的延长线上时， 取得最小值
的最小值为．
故选：C．
7．BC
【分析】利用椭圆上点到焦点的最大距离为可判断选项A；由椭圆定义及基本不等式可判断选项B；当点为短轴的端点时，取得最大值，求出可判断选项C；面积的最大值为可判断选项D；
【详解】由椭圆的方程得，，所以，所以，.
对于A，，故A错误.
对于B，由椭圆定义可知，所以，当且仅当时取等号，故B正确.
对于C中，当点M为椭圆与y轴的交点时，取得最大值，由得，所以，，故C正确.
对于D中，当点M为椭圆与y轴的交点时，面积的最大，最大值为，故D错误.
故选：BC.
8．B
【详解】试题分析：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆．
考点：本题考查了平面与圆柱面的截面性质的判断
点评：解决时要注意截面与圆柱的轴线的不同位置时，得到的截面形状也不同
9．A
【分析】由椭圆的方程求出椭圆的长轴长，再由椭圆的定义结合求得结果
【详解】如图，
由椭圆可得：，则
又
且
则
故选
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是根据椭圆的定义即椭圆上的点到焦点的距离之和为，属于基础题．
10．C
【分析】由题意方程求得的值，得到的坐标，进一步得到，再由椭圆定义求得.
【详解】解：题意得：
由椭圆可得椭圆的焦点坐标为
设点的坐标为
所以点的坐标为，所以．
根据椭圆的定义可得 ，所以.
故选：C
11．C
【详解】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C.
考点：椭圆的基本性质
12．D
【分析】要利用条件椭圆焦点在轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在轴上，可得，进而可解得实数的取值范围．
【详解】因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆，
所以 ，即 ，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，要判断椭圆焦点的位置，应将椭圆的方程化为标准方程．对于椭圆，①表示焦点在x轴上的椭圆；②表示焦点在y轴上的椭圆．；③表示椭圆．
13．B
【分析】由椭圆的标准方程结合充分性和必要性的定义进行判断即可．
【详解】若曲线为椭圆，则一定有，；
反之，当，时，可能有，方程表示圆，
故“，”是“曲线为椭圆”的必要非充分条件．
故选：B
14．A
【分析】设点为椭圆上任意一点，设关于直线的对称点为，由条件利用表示，根据点在椭圆可得椭圆C的方程.
【详解】设点为椭圆上任意一点，设关于直线的对称点为，则，
所以，又点在椭圆上，
所以，化简可得，
故选：A.
15．B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
16．B
【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
17．C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
18．C
【详解】由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2.
∴的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
19．C
【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解即可.
【详解】如图所示：，，
由椭圆定义得.①
在中，.②
由①②得，则，
所以椭圆C的方程为.
故选：C.

【点睛】本题考查椭圆方程的求解.
20．A
【解析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.
【详解】由＝1可知，，所以，
所以F1(－3，0)，F2(3，0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
∴可设P(3，b)，
把P(3，b)代入椭圆＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，进而可设P(3，b)是解题关键.
答案第1页，共2页
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