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3.1.2 椭圆的简单几何性质【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的．
【目标分析】
1．有椭圆的几何性质与标准方程，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第1题、第2题、第3题、第5题、第11题、第12题；
2．求椭圆的离心率，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第4题、第8题、第13题、第14题；
3．直线与椭圆的位置关系，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第7题、第10题、第16题；
4．与椭圆有关的最值与范围问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第6题、第9题、第15题；
一、单选题
（2024·贵州黔南·高二统考期末）
1．曲线与曲线的（ ）
A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等
（2024·广西玉林·高二统考期末）
2．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·河南周口·高二统考期末）
3．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B．或
C． D．或
（2024·江西宜春·高二统考期末）
4．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若，则的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
6．已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北·高二湖北省红安县第一中期中）
7．已知点为椭圆（）的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
（2024·河北邯郸高二期末）
8．已知椭圆的左焦点为，过作圆的一条切线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2023·福建漳州·高二福建省华安县一中期中）
9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．椭圆的短轴长可能为
C．椭圆的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆的长轴长为
（2024·云南昭通·高二期末）
10．已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆的长轴长为2
C．若直线的方程为，则右焦点到的距离为
D．若直线过点，且与轴平行，则
三、填空题
（2024·江苏苏州·高二统考期末）
11．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为 ．
（2024·重庆·高二校联考期末）
12．如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .

（2023上·天津武清·高二校考期中）
13．设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆离心率等于 ．
（2023上·云南文山·高二校考期中）
14．已知椭圆的两个焦点分别为，.若椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为 ；若在轴上方的上存在两个不同的点，满足，则椭圆离心率的取值范围是 .
四、解答题
（2024·广西南宁·高二统考期末）
15．已知椭圆的短轴长为2.
（1）若椭圆经过点，求椭圆的方程；
（2）为椭圆的上顶点，，椭圆上存在点，使得.求椭圆的离心率的取值范围.
（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学期末）
16．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率为且过点，过定点C(－1,0)的动直线与该椭圆相交于A，B两点．
(1)若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；
(2)在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【易错题目】第6题、第9题、第15题
【复盘要点】椭圆中的最值问题，既要有几何视角借助椭圆的定义及其几何性质、也要有方程思想，处理问题．体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养．
典例（2023上·湖南长沙·高二雅礼中学校考期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设椭圆的标准方程为，不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设），与椭圆方程联立可得矩形的面积，变形利用基本不等式结合题意求解即可．
【详解】设椭圆的标准方程为，
不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设），
联立，则，解得：，，
所以矩形的面积为：，
当且仅当时取等，因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，
所以，则，即，
，即，
解得：，即．
易错提示：解决椭圆中最值问题基本思路：
（1）运用椭圆的定义，将问题转化为两点间距离最短；
（2）二次函数法：通过将椭圆问题转化为二次函数，借助二次函数的性质来求最值；
（3）均值不等式法：根据椭圆的方程构造关于某个变量的一元二次方程，然后利用均值不等式求最值．
【复盘训练】
17．已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆一中期中）
18．斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
（2024·安徽安庆高二期末）
19．已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆的离心率范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知点P是椭圆C： 上动点，点A是椭圆C的上顶点．当P为下顶点时，取到最大值，则椭圆C的离心率的取值范围为 ．
（2023·辽宁大连·高二期中）
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的范围是 ；当取得最大值时，设为椭圆上任意一点，，则的最小值为 ．
（2024·山东泰安·高二期中）
22．在平面直角坐标系中 ，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的范围是 ；当取得最大值时，椭圆的离心率为 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据，得到，再利用a，b，c的关系求解.
【详解】解：因为，
所以，
则，
，
所以两曲线长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，
故选：B
2．A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
3．D
【分析】根据椭圆的离心率求出的值，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，求出的值，即可求得椭圆的长轴长.
【详解】因为，所以，.
①若椭圆的焦点在轴上，则，可得，则，
此时，椭圆的长轴长为；
②若椭圆的焦点在轴上，则，可得，则，
此时，椭圆的长轴长为.
综上所述，椭圆的长轴长为或.
故选：D.
4．D
【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率.
【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为，
令，即，解得，依题意可得，
所以，所以，所以．
故选：D．
5．C
【分析】四边形是矩形，设，，由椭圆的定义及勾股定理可求得，则的面积是，又的面积与的面积相等，即可得出答案.
【详解】据题意，四边形是矩形，设，，
则有，，由此可得，
所以的面积是，
又的面积与的面积相等，所以的面积等于9.
故选：C．
6．A
【分析】设，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为，
设，则，可得，
又由点，
可得，
因为，所以，所以.
故选：A.
7．D
【分析】先求出直线的斜率为，设，，再利用点差法求出直线的斜率为，利用斜率相等可得的值，从而得到椭圆方程.
【详解】
因为，，
所以直线的斜率为，
设，，则①，②，
①-②得：，
即，
因为是的中点，所以，，
所以，所以，
因为，所以，即，所以，
所以，所以，所以椭圆的方程为，
故选：D.
8．B
【分析】设出直线，与椭圆联立然后根据几何关系，结合根与系数关系即可求解.
【详解】设直线，与椭圆联立，化简得，
设，，则由根与系数的关系得①，
又，所以，代入①得②，
又直线与圆相切，所以，即，代入②整理得，
得，因此椭圆的离心率，故B正确.
故选：B．
【点睛】将直线与椭圆联立后结合根与系数的关系及几何关系，从而求解.
9．AD
【分析】由题意可得轴，利用椭圆的定义得，当，，三点共线时取到最小值可判断A；因为在椭圆内可得可判断B；由在椭圆内可得长轴长，结合离心率公式可判断C；由已知条件求出点的坐标，再由两点间的距离求出长轴长的值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
由可得，因为，所以轴，
对于A：，当且仅当，，三点共线时取到最小值为，故选项A正确；
对于B：因为在椭圆内所以，所以短轴长，故选项B不正确；
对于C：因为在椭圆内，所以长轴长，所以离心率，所以，故选项C不正确；
对于D：因为，所以为的中点，而，，，所以，所以长轴长，故选项D正确；
故选：AD.
10．AC
【分析】求出的值后，可直接计算出离心率和长轴长，从而判断出A,B；利用点到直线的距离公式计算可判断C；根据通径公式进行计算，或者联立直线和椭圆方程，利用弦长公式进行求解可判断D.
【详解】由题意知，
对于A选项：,则A正确；
对于B选项：长轴为：,故B错误；
对于选项：的方程为，
所以右焦点到的距离为，故C正确；
对于选项：方法过且与轴平行，
为通径，.
方法过且与轴平行，
的方程为，由，故D错误，
故选：AC.
11．
【分析】首先将椭圆方程化为标准式，即可得到、，根据焦距求出.
【详解】椭圆即，焦点在轴上，所以，
所以，又椭圆的焦距为4，所以，解得．
故答案为：
12．或
【分析】设切点为，与圆柱面相交于，由题意即为椭圆的长轴，椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，分析即得解.
【详解】对圆柱沿底面直径进行纵切，如图所示:切点为，与圆柱面相交于，
此时可知即为椭圆的长轴，在直角三角形中，
,又，
所以，
由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即，
所以椭圆的标准方程为或，
故答案为：或.

13．
【详解】设到位于轴上方，坐标为，
∵为等腰直角三角形，
∴，即，
即，
∵，
∴，，
∴．
14．
【分析】由短轴一个端点到右焦点的距离为可得的值，结合离心率计算即可得第一空；在轴上方的上存在两个不同的点，满足，即上顶点与两焦点组成的三角形中，上顶点所在的角需大于，结合余弦定理计算即可得.
【详解】由，短轴一个端点到右焦点的距离为4，即，故，
，即椭圆方程为；
在轴上方的上存在两个不同的点，满足，
则有，即，解得，
故，即离心率的取值范围为.
故答案为：；.
15．（1）
（2）
【解析】（1）由已知，将点代入椭圆方程，求出，即可求出椭圆方程；
（2）设，求出满足的轨迹方程为，问题转化为椭圆与圆有交点，联立椭圆与圆方程可得，，根据椭圆的范围，可求出，由椭圆中的关系，，即可求出结论.
【详解】解：（1）由题意可得，即.
因为椭圆经过点，所以，
所以，解得.
故椭圆的方程为.
（2）由（1）可知，设，则①
因为，所以，
所以，即.②
联立①②，解得.
因为，所以，
所以，解得，
于是，即，
则，即，即.
故椭圆的离心率的取值范围是.
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程以及简单几何性质，考查轨迹方程的求法，以及椭圆与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题.
16．（1）；（2）在x轴上存在点，使为常数.
【分析】（1）先求出椭圆方程，设直线的点斜式方程，联立方程，结合中点横坐标，求得k的值，进而得直线AB的方程；
（2）假设存在点M，使为常数．分别讨论两种情况：当直线AB与x轴不垂直时和当直线AB与x轴垂直时；求出点M的坐标，综合两种情况得出结论
【详解】(1)由题意可设椭圆的标准方程为
，∴，，
解得，，.
∴椭圆的方程为
直线斜率不存在时显然不成立，设直线AB：．
将AB：代入椭圆的方程，消去y整理得
.
设，，
则
∵线段AB的中点的横坐标为，
解得，经检验△>0,
∴直线AB的方程为.
(2)假设在x轴上存在点M(m,0)，使得为常数．
①当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知
，.
∴
∵是与k无关的常数，∴，即，此时.
②当直线AB与x轴垂直时，此时结论成立．
综上可知，在x轴上存在点，使为常数．
【点睛】本题考查了直线的一般方程以及直线与椭圆的关系．通过“设而不求”，应用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示即可解答本题．考查对知识的综合运用.
17．B
【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解.
【详解】设，则，
因为P点在椭圆上，则，记，
所以，
又因为开口向上，对称轴，
且，所以当时，取到最小值.
故选：B.
18．C
【分析】由点在椭圆内有求m范围，设直线方程联立椭圆整理为一元二次方程形式，则必有，，结合韦达定理有，即可求的范围.
【详解】由题设，在椭圆内，则，
设直线代入椭圆，

整理得且，则，
由图知：直线斜率不可能为0，所以，故或.
故选：C
19．A
【分析】先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，由求出的范围，设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），然后利用点到直线的距离公式求出点P到直线的距离，利用三角函数的性质可求得的最值， 从而可得当直线与椭圆相切或相离时满足题意，再由可求出离心率的范围
【详解】解：联立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0，
因为直线l与椭圆C相离或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0，
∴1设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），则点到直线l的距离
，其中，
d的最小值 最大值分别为：，，
满足最大值与最小值之和为，
∴1.
故选：A.
20．
【分析】设 ，则 可化为 ，由 时， 取得最大值，可得 ，化简可得结果.
【详解】由题意， ，设 ，因为 ， ，
所以 ，
，因为当 时， 取得最大值，所以 ，
可得 ，即 .
故答案为： .
21．
【分析】计算椭圆焦点，根据得到，结合点是椭圆内一点，得到范围，根据椭圆定义得到，根据均值不等式计算得到最值.
【详解】，故焦点为和，，
，，解得，
点是椭圆内一点，故，解得或（舍去），
故.
当时，椭圆方程为：，，
，当时等号成立.
故答案为：；.
22．
【分析】先根据在椭圆内部得到的取值范围，再求出的取值范围，根据得到关于的不等式组，两者结合可求的取值范围，当取得最大值时，可根据公式计算其离心率.
【详解】因为点是椭圆内一点，故，
由可得.
为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则，
而，当且仅当三点共线时等号成立，
故，所以，
所以，故.
的最大值为，此时椭圆方程为，故其离心率为，
故分别填：，.
【点睛】点与椭圆的位置关系可通过与的大小关系来判断，若，则在椭圆的内部；若，则在椭圆上；若，则在椭圆的外部．椭圆中与一个焦点有关的线段和、差的最值问题，可以利用定义转化到另一个焦点来考虑．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页3.1.2 椭圆的简单几何性质【第三课】
扩展1 求椭圆的离心率问题
求椭圆的离心率是热点问题，解决问题的基本思想是方程思想，需要结合图形的几何性质，建立的基齐次关系式求解.体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
例1.（2024·湖南益阳·高二期末）
已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据直线与圆相切的位置关系可构造的齐次方程，结合椭圆关系可求得离心率.
【解析】由题意知：，则直线，即，
与圆相切，，即，
，，椭圆的离心率.
故选：A.
【方法总结】求椭圆离心率的方法：
（1）直接求出a和c，再利用求解；也可利用求解.
（2）若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程或不等式，进而求解.
【举一反三1-1】（2024·山东泰安·高二期末）
1．若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三1-2】（2024·河北邯郸高二期末）
2．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【举一反三1-3】（2024·江西宜春高二期末）
3．，是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为 .
【举一反三1-4】
4．（1）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则k的值为 .
（2）设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 .
扩展2 求椭圆的中点弦问题
椭圆中的中点弦问题，涉及直线与圆的位置关系，运算量较大.解决问题需掌握一定的技巧，体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
例2.（2023·湖北黄石高二期中）
已知椭圆.
（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
（2）过点的直线与椭圆相交，求所得弦的中点的轨迹；
（3）求过点且被点P平分的弦所在的直线方程.
【方法总结】解椭圆的中点弦问题，一般有三种方法.
（1）根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
（2）点差法：利用端点在椭圆上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.
（3）共线法：利用中点坐标公式，如果椭圆（，）的一条弦的中点为，设其中一个交点为，则另一个交点为，则
两式作差即得所求直线方程.
【举一反三2-1】（2024·江苏南通·高二统考期末）
5．已知椭圆，直线经过点与交于两点.若是线段的中点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三2-2】（2024·河北邢台高二期末）
6．已知中心在原点,焦点在轴上,焦距为4的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为-2,则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三2-3】（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）
7．直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于 两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三2-4】（2024·四川成都简阳阳安中学·高二期末）
8．已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率．
（全国·统考高考真题）
9．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
（山东·高考真题）
10．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（北京·高考真题）
11．椭圆的焦点为，两条准线与x轴的交点分别为M，N．若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（湖南·高考真题）
12．设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（全国·统考高考真题）
13．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（全国·统考高考真题）
14．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（福建·高考真题）
15．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
（湖南·高考真题）
16．设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
（全国·高考真题）
17．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为
A． B． C． D．
（全国·高考真题）
18．已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
（江西·高考真题）
19．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
（全国·高考真题）
20．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B． C． D．
（全国·高考真题）
21．已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A． B． C． D．
（上海·高考真题）
22．已知椭圆的焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为 .
（·江苏·高考真题）
23．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据条件设出到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果.
【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离之分别，
所以，得到，
又，所以，得到，故.
故选：C.
2．C
【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C．
【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．再由点M在椭圆的内部，可得，因为 ．所以由得，由关系求离心率的范围．
3．
【分析】根据，得到，且是的角平分线，再结合和角平分线定理得到，然后在中，利用勾股定理求解.
【详解】解：因为，
所以，则是的角平分线，
所以，
又因为，
所以，设，
由椭圆定义得，
即，解得，
则，
则，
所以，则，
故答案为：
4． ##
【分析】（1）根据椭圆的离心率列方程，化简求得的值.
（2）利用直角三角形的性质列方程，化简求得椭圆的离心率.
【详解】（1）依题意，，解得，
又椭圆离心率为，则有，解得，
所以k的值为.
（2）如图所示，
由图知，
所以，，
又因为，，
所以，
所以在中，由得，
解得：，所以椭圆的离心率为.
故答案为：；
5．D
【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，则，
因为，两式作差得，即，
即，所以，
因此直线的方程为，即.
故选：D.
6．C
【分析】因为是弦中点问题,可以用点差法,找到长半轴长和短半轴长之间关系,再根据焦距求出椭圆方程即可.
【详解】解:由题设,若椭圆方程为,
令直线与椭圆交点分别为,,
则有①,②,
两式作差可得：,
即,
易知,弦的中点,所以,,
因为直线：,所以,
故,所以,
又,,
解得,,
故的方程为.
故选:C
7．C
【分析】根据得到，结合点差法相关知识计算求得，进而求得离心率.
【详解】如图所示，
因为，所以，
所以，
设，
则，两式相减得，
则，
因为直线，为线段中点，，
所以，，
代入上式得，则，
所以椭圆的离心率.
故选：C.
8．（1）；（2）.
【分析】（1）利用点在椭圆上求解基本量得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程,代入椭圆的方程,利用韦达定理、中点坐标公式以及斜率公式建立方程求解.
【详解】解：（1）将代入,
得,.
故椭圆方程为.
（2）当直线斜率不存在时不合题意,
故设直线,,的中点为,
由得,
,,
直线经过弦的中点,则,,
,,即直线的斜率为.
【点睛】本题考查直线方程、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系.
9．A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
10．B
【分析】根据垂直于长轴的弦长得到，根据焦点到相应准线的距离得到，结合，求出，求出离心率.
【详解】不妨设椭圆方程为，
则焦点坐标为，
不妨令，则，解得：，
故，即，
焦点到相应准线的距离为，即
又，所以，
故，离心率为，
当椭圆焦点在轴上时，同理可得：.
故选：B
11．D
【分析】根据准线方程公式，由椭圆的方程可得，表示出的长，又，所以把和的长度分别代入，化简即可求出离心率的取值范围，再根据椭圆的离心率小于1，取交集即可.
【详解】因为椭圆的准线方程为，所以，又因为，
则由，得到，所以，又因为，所以，
故，
故选：D.
12．D
【分析】先设出点的坐标，再由题目条件得到，利用两点间的距离公式列出式子，借助化简式子，得到关于离心率的式子，结合离心率的范围解出不等式即可.
【详解】设点，
因为线段的中垂线过点，所以，即，
化简得，
因为，所以，即，
所以，
又因为，所以，解得.
故选：D.
13．A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
14．C
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
15．A
【分析】由正三角形特点用表示，结合椭圆的定义，即可求得离心率.
【详解】是正三角形，，
.
故选：.
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，涉及到椭圆的椭圆的定义；关键是能够利用正三角形的特点求出.
16．D
【分析】根据椭圆右准线方程得到点P的坐标，进而根据题中线段的等量关系结合两点间距离公式得到关于a，c的齐次方程，化简方程求解椭圆得离心率．
【详解】椭圆的右准线为，
则点P的坐标为，
则由得，
化简得a2-2c2=0，则椭圆的离心率e=.
故选：D．
17．A
【详解】若△AF1B的周长为4,
由椭圆的定义可知,,
,,
，
所以方程为，故选A.
考点：椭圆方程及性质
18．D
【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.
19．C
【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C．
【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．再由点M在椭圆的内部，可得，因为 ．所以由得，由关系求离心率的范围．
20．D
【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得,
所以，故选D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
21．A
【详解】试题分析：如图取与重合，则由直线同理由,故选A.
考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.
【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.
22．
【分析】由已知条件可得椭圆的标准方程是，再将直线与椭圆方程联立方程组，消去后，利用根与系数的关系结中点坐标公式可得答案
【详解】由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而，
∴其标准方程是：，
联立方程组，消去得，.
设、，线段的中点为，则，，
∴，即线段中点坐标为.
故答案为：
23．
【详解】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等,以及直线的方程.
直线的方程为：；
直线的方程为：.二者联立解得：，则在椭圆上，
，解得：.
答案第1页，共2页
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