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3.2.2 双曲线的简单几何性质【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.双曲线的几何性质，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养，如第1题、第2题、第5题、第8题、第12题；
2.由双曲线的几何性质求标准方程，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第9题、第13题；
3.求双曲线的离心率，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第3题、第6题、第11题；
4.直线与双曲线的位置关系，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第4题、第7题、第10题、第14题；
（2024·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期末）
1．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·四川宜宾·高二统考期末）
2．双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2024·北京平谷·高二统考期末）
3．已知双曲线的焦点分别为、，，双曲线上一点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中期中）
4．过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
（2024上·河南开封·高二统考期末）
5．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·广东江门·高二统考期末）
6．设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2024上·四川自贡·高二统考期末）
7．已知双曲线，则双曲线（ ）
A．焦点坐标为和
B．渐近线方程为和
C．离心率为
D．与直线有且仅有一个公共点
（2024上·江苏南京·高二统考期末）
8．已知曲线C的方程为（），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C为圆
B．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要且不充分条件
C．存在实数k使得曲线C为双曲线，且离心率为
D．当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
（2024上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末）
9．经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 .
（2024上·北京东城·高二统考期末）
10．已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 .
（2023·甘肃武威高二期中）
11．双曲线（，）的一条渐近线平分圆的周长，此双曲线的离心率等于 ．
（2024上·天津北辰·高二统考期末）
12．设双曲线：的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则的面积为 .
（2023上·陕西咸阳·高二校考期末）
13．已知双曲线C：的离心率为，右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若，求的面积．
（2024上·江苏盐城·高二统考期末）
14．已知双曲线：，点的坐标为 ．
(1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长；
(2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围．
【易错题目】第3题、第6题、第11题
【复盘要点】求椭圆的离心率是热点问题，解决问题以方程思想为主导，同时要关注图形的几何性质，建立关于基本量的齐次方程.
例1.（2024·河南·南阳高二期末）设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
【答案】D
【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与、有关齐次式即可得离心率.
【解析】
由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，
令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，，，
则，即，故，
则有，
即，即，则，由，故.
故选：D.
易错警示：求双曲线离心率的方法：
（1）利用a，b求.若已知a，b，则直接利用得解.
（2）利用a，c求.若可求得a，c，则直接利用得解.
（3）利用方程求.若得到的是关于a，c的齐次方程，即（p，q，r为常数，且），则转化为关于e的方程求解.
【复盘训练】
（2024上·广东·高三广东实验中学校联考期末）
15．若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·江苏连云港·高二统考期末）
16．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
（2024上·江西赣州·高二统考期末）
17．已知，为双曲线C：（，）的两个焦点，以为直径的圆与C在第一象限的交点为P，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·重庆·高二校联考期末）
18．已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且，双曲线的离心率是 ．
（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）
19．若双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是其右支上的动点，与其左支交于点Q.若存在P，使得，则C的离心率的取值范围为 .
（2024·云南昆明·高二期末）
20．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
【详解】由题得：其焦点坐标为渐近线方程为
所以焦点到其渐近线的距离．
故选：D．
2．B
【分析】由双曲线的定义结合，解得，又，可求的面积.
【详解】因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，
由，又有，所以．
由，为等腰三角形，则底边上的高，
.
故选：B
3．B
【分析】由双曲线的定义求出，由可得，然后由离心率的计算公式计算即可.
【详解】因为双曲线的焦点分别为、，，
所以，故，
又因为双曲线上一点满足，所以，故，
所以双曲线的离心率为.
故选：B.
4．C
【分析】设出直线方程，联立，结合判别式可得答案.
【详解】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点.
当直线的斜率存在时，设方程为，
与双曲线方程联立可得，
当时，即时，此时直线和双曲线的公共点只有1个，时，；时，.
当时，，
整理可得，因为，所以有两个不等的实数根，
又因为不是的根，所以此时直线和双曲线的公共点只有1个.
综上可知直线和双曲线的公共点只有1个时，直线有4条.
故选：C.
5．B
【分析】根据渐近线方程可设双曲线，代入运算，即可得双曲线方程，进而可得实轴长.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，
可设双曲线，
代入可得：，
则双曲线，即，
可知，所以C的实轴长为.
故选：B.
6．B
【分析】由，结合，求的取值范围.
【详解】依题意，有，即，由，
得，所以，即的取值范围是.
故选：B
7．CD
【分析】A：计算出的值，则焦点坐标可知；B：求出的值，则渐近线方程可知；C：根据可知离心率；D：分析直线与渐近线的关系可知结果.
【详解】A：因为，所以，所以焦点坐标为，故A错误；
B：因为，所以渐近线方程为，即，故B错误；
C：因为，所以，故C正确；
D：因为与渐近线平行，所以与双曲线有且仅有一个交点，故D正确；
故选：CD.
8．ABD
【分析】根据圆锥曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，曲线C的方程为（）
对于A中，当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，所以是A正确的；
对于B中，当曲线C的方程为（），表示焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要且不充分条件，所以B正确；
对于C中，当曲线C的方程为（）表示离心率为的双曲线时，则满足， 无解，所以C不正确；
对于D中，当时，曲线C的方程为（），可得，此时双曲线C渐近线方程为，所以D是正确的.
故选：ABD.
9．
【分析】根据题意，得双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，所求双曲线为等轴双曲线，可得双曲线的方程为，
因为所求双曲线过点，可得，解得，
所以，所求双曲线的方程为.
故答案为：.
10．
【分析】由已知可判断双曲线为焦点在轴上的双曲线，可知，，表示渐近线方程即可；由可求的值，从而得到交点坐标，即可得到距离.
【详解】由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，，
即，，所以双曲线的渐近线方程为；
当时，，
设，则，所以.
故答案为：；.
11．
【分析】由渐近线平分圆知渐近线经过圆心,可求得渐近线的斜率即为,从而求得离心率.
【详解】依题意得，双曲线的渐近线过圆心(1，2)，于是有，
∴双曲线的离心率为．
故答案为:
12．
【分析】根据两点间距离公式，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】设点P坐标为，则有，
由，
因为，所以，或舍去，
因此的面积为，
故答案为：
13．(1)
(2)．
【分析】（1）由题意列出关于的方程，求出它们的值，即得答案；
（2）由题意可确定P点坐标，根据三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意可得：，据此可得，
故双曲线的标准方程为．
（2）由双曲线的标准方程可得，由于，则，
双曲线的渐近线方程为，
不妨设点P在双曲线的渐近线上，则，
则△PFO的面积．
14．(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解，
（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）直线的方程为．
由方程组得．
设,则，
．
（2）设点，则点的坐标为．
，，
．
因为，所以．
15．A
【分析】通过椭圆的离心率得出之间的关系，即可求出双曲线的离心率.
【详解】由题意，
在椭圆中，离心率，
∴，即，
在双曲线中，
∴双曲线的离心率.
故选：A.
16．A
【分析】设双曲线的方程为，根据已知条件列方程，确定双曲线的方程，利用计算即可.
【详解】设双曲线的方程为，根据已知条件可得，
解得，，所以双曲线方程为，，，，
.
故选：A.
17．A
【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，结合，利用勾股定理，得到，再结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由双曲线的定义，可得，
因为，可得，
又由以为直径的圆与C在第一象限的交点为，可得，
则满足，可得，即，可得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
18．##
【分析】根据求出，进而可得的值，再根据的关系求出，则离心率可求.
【详解】，
，则，
即，，
又，
，
.
故答案为：.
19．
【分析】根据双曲线的定义，结合即可求解.
【详解】因为，且，所以，
所以，由于，所以，解得，所以.
故答案为：
20．##
【分析】利用点到直线的距离公式求出的长，再利用双曲线的定义结合等腰三角形列式计算即得.
【详解】双曲线的半焦距为c，渐近线方程为，
点到渐近线距离为，由双曲线定义得，
由为等腰三角形，得，即，因此，
则，所以的离心率为.
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页3.2.2 双曲线的简单几何性质【第二课】
题型一 由双曲线的几何性质求标准方程
例1 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）一个焦点为，且离心率为；
（2）渐近线方程为，且经过点．
【解析】（1）由题意知双曲线的焦点在y轴上，且，因为，
所以，．
故所求双曲线的标准方程为．
（2）方法一：因为双曲线的渐近线方程为，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为（，），则①．
因为点在双曲线上，所以②．联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为（，），则③．
因为点在双曲线上，所以④．
联立③④，解得，．
故所求双曲线的标准方程为．
方法二：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为（）．
因为点在双曲线上，所以，即．
故所求双曲线的标准方程为．
【方法技巧与总结】根据双曲线的几何性质求标准方程，可利用双曲线的焦点、对称轴、对称中心等确定双曲线的位置，再利用双曲线的离心率、渐近线方程等条件列方程（组）求解与的值．
若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为“”的形式，为简单起见，常标明条件“”．
【变式训练1-1】
（2024·山西师大附中·高二期末）
1．若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式训练1-2】
（2024·河南周口·高二校联考期末）
2．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线的标准方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】
（2024·四川成都·高二统考期末）
3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】
（2024·四川绵阳·高二校联考期末）
4．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为 .
题型二 求双曲线的离心率及其取值范围
例2.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为______．
【分析】分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，把看作一个整体进行求解．
【解析】方法一：由，得当时，；当时，．
综上，双曲线的离心率为或．
方法二：当焦点在x轴上时，其渐近线方程为，依题意得，
∴，，故离心率；
当焦点在y轴上时，其渐近线方程为，依题意得，
∴，，即离心率．
综上，双曲线的离心率为或．
【答案】或
【方法技巧与总结】求双曲线离心率的常用方法：
（1）利用a，b求．若已知a，b，则直接利用得解．
（2）利用a，c求．若可求得a，c，则直接利用得解．
（3）利用方程求．若得到的是关于a，c的齐次方程，即（p，q，r为常数，且），则转化为关于e的方程求解．
【变式训练2-1】
（2024·河南平顶山高二期末）
5．已知点是双曲线右支上一点，为坐标原点，为虚轴的上端点，若为等腰直角三角形，点为直角顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】
（2024·吉林实验中学·高二统考期末）
6．已知双曲线的焦点在轴上，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】
（2024·湖北襄樊·高二统考期末）
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
题型三 直线与双曲线位置关系的判断
例3． 已知双曲线，直线，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．
（1）直线l与双曲线有两个公共点；
（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点；
（3）直线l与双曲线没有公共点．
【分析】要研究直线与双曲线的公共点个数，通常需联立直线与双曲线的方程，并对方程组解的个数进行讨论．
【解析】由得①．
（1）直线l与双曲线有两个公共点，则方程①有两个不相等的实数根．
∴解得且，
∴实数k的取值范围为．
（2）直线l与双曲线只有一个公共点，则方程①只有一解．
当，即时，方程①只有一解；
当时，应满足，
解得，故k的值为或．
（3）直线l与双曲线没有公共点，则方程①无解．
∴解得或，
∴实数k的取值范围为．
【方法总结】（1）直线与双曲线位置关系的判断方法：
①方程思想的应用
判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线方程与双曲线方程联立，消去y（或x），则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行（或重合），直线与双曲线只有一个公共点（或无公共点）；二次项系数不为0时，若，则直线与双曲线有两个公共点，若，则只有一个公共点，若，则无公共点．
②数形结合思想的应用
a．直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
b．直线斜率一定时，通过平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
（2）求直线与双曲线相交弦长，一般将两方程联立，消元化为一元二次方程，结合根与系数的关系求解．
【变式训练3-1】
（2024·福建三明高二期末）
8．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】
（2023·黑龙江哈尔滨三中高二期中）
9．过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式训练3-3】
（2023·重庆一中高二期中）
10．已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-4】
（2023·江西宜春高二期中）
11．斜率为2的直线在双曲线上截得的弦长为，求的方程．
易错点1 忽视焦点所在坐标轴致错
【典例】焦距为10，虚轴长为8，中心在坐标原点的双曲线的标准方程为______．
【答案】或
【解析】（1）因为焦距为10，虚轴长为8，所以，，所以，
所以双曲线的标准方程为或．
易错警示：错解中忽视了双曲线的焦点位置的不确定性，应分焦点在x轴上和y轴上两种情况进行讨论．在解双曲线的有关问题时，注意“先定位，再定量”的原则，否则极易犯以偏概全的错误，如当字母的取值范围不能确定时，需要分类讨论．
针对训练1-1
（2024·广东深圳·高三红岭中学校考期末）
12．已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线的方程为，则双曲线E的标准方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
针对训练1-2
（2024·山东济南三中·高二期末）
13．与双曲线有公共的渐近线，且焦距为8的双曲线的标准方程为 ．
针对训练1-3
（2024·山东菏泽·高二期末）
14．已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则双曲线的标准方程是 .
易错点2 易错点忽视斜率不存在的情况致错
例2．（2024·广西南宁高二期末）求经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线的方程．
【错解】设所求直线方程为，
由得．
由题意得，即，解得．
故所求直线的方程为．
【正解】当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则所求直线方程为．
由
将①代入②整理，得．③
当直线与双曲线相切时，仅有一个公共点，所以有
即，且，解得．
故所求直线的方程为．
当时，方程③变为一次方程，且有唯一解，因而直线和双曲线仅有一个公共点，
故所求直线的方程为．
当时，同理可得所求直线的方程为．
当直线的斜率不存在时，因为点在直线上，且直线与双曲线只有一个公共点，
故所求直线方程为．
综上所述，符合题意的直线有四条，直线方程分别为，，和．
易错警示：错解中既忽视了直线斜率不存在的情况，也忽视了联立后所得方程为一次方程（即）的情况．解决直线与圆锥曲线的问题时要注意直线的斜率不存在这种特殊的情况．
针对训练2-1
（2023上·广西北海·高二统考期末）
15．若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有 条．
针对训练2-2
（2023·四川绵阳高二期中）
16．已知双曲线，过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率.
针对训练2-3
（2024·江苏南京·高二南京师大附中校期末）
17．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】讨论焦点的位置，设出方程，由渐近线、虚轴的性质求出方程.
【详解】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为
由，解得，此时双曲线的方程为
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为
由，解得，此时双曲线的方程为
故选：C
2．A
【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可.
【详解】解：由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为，
又因为过点，所以，解得，
所以，双曲线的标准方程是．
故选：A．
3．A
【分析】利用椭圆性质以及双曲线的性质即可求解.
【详解】由题知，椭圆焦点为，
设该双曲线方程为，半焦距为，
则，，即，
又，解得，，
所以双曲线方程为.
故选：A
4．
【分析】根据渐近线方程，得到，再由焦点到渐近线距离求出，得到双曲线方程.
【详解】因为渐近线方程为，所以，一个焦点到一条渐近线的距离为，所以，
故双曲线标准方程为.
故答案为：
5．A
【分析】根据已知作出图形，利用勾股定理及锐角三角函数求出点的坐标，结合点在双曲线上及双曲线的离心率公式即可求解.
【详解】由题意可知，，如图所示
因为为等腰直角三角形，点为直角顶点，
所以,即，解得，
在中，
所以.
因为点是双曲线右支上一点，
所以，解得，
所以该双曲线的离心率为.
故选：A.
6．A
【分析】由题知，再解不等式，结合离心力公式求解即可.
【详解】解：因为双曲线的焦点在轴上，
所以，，解得．
因为，
所以．
故选：A
7．B
【分析】由题意可得为直角三角形，再结合A为线段的中点，可得AO垂直平分，可表示出直线，再联立渐近线方程可以得到，，的关系，进而得到双曲线离心率
【详解】由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，
A为线段的中点，当交点在轴上方或轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.
根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，
，为的中点，
，又A为线段BF1的中点，垂直平分，
可设直线为①，直线为②，直线为③，
由②③得，交点坐标，点还在直线上，，可得，
，所以双曲线C的离心率，
故选：B
8．D
【分析】把直线与双曲线方程联立消去，利用和 联立，即可求得的范围.
【详解】联立方程组，整理得，
设方程的两根为，
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，
则满足，解得，
又由，解得,
所以的取值范围是.
故选：D.
9．D
【分析】利用直线与双曲线联立组成的方程组仅有一组解，即可求得满足条件的直线共有4条.
【详解】当过点的直线斜率不存在时，其方程为，
直线与双曲线有且仅有一个公共点，满足要求；
当过点的直线斜率存在时，其方程可设为，
由，整理得
当时，方程可化为，方程仅有一根，
直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意；
当时，方程可化为，方程仅有一根，
直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意；
当时，若方程仅有一组解，
则，解之得
此时方程为，整理得，则
此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意
综上，满足条件的直线共有4条
故选：D
10．C
【分析】根据双曲线渐近线与之间的位置关系，即可容易判断.
【详解】的斜率分别是；
对A：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，
又，故曲线与有两个公共点，不满足题意，A错误；
对B：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，
又，故双曲线与有两个公共点，不满足题意，B错误；
对C：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，
又，故双曲线与都没有公共点，满足题意，C正确；
对D：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，
又，故双曲线与没有公共点，与有两个公共点，不满足题意，D错误.
故选：C.
11．
【分析】设直线的方程为和双曲线的两交点为，将直线方程代入双曲线方程可得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可用表示,然后求弦长等于，可得关于的方程，解方程即得的值，从而便求出直线的方程.
【详解】设直线的方程为，
由，得，(*)
设直线与双曲线交于两点，由根与系数的关系，
得．
∴
，
由，得，
解得，由(*)式得，
把代入上式，得，∴的值为，
∴所求直线的方程为.
12．CD
【分析】分焦点在、轴两种情况讨论，依题意可得，结合渐近线求出，即可得解.
【详解】当焦点在轴上时，
设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
因为双曲线的虚轴长为2，所以，即，
因为为双曲线的一条渐近线，所以，即，
所以此时双曲线的标准方程为；
当焦点在轴上时，
设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
因为双曲线的虚轴长为2，所以，即，
因为为双曲线的一条渐近线，所以，即，
所以此时双曲线的标准方程为；
故选：CD.
13．或．
【分析】分别讨论焦点位置，待定系数法求解即可.
【详解】①当双曲线焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为（），即，则有，，双曲线的标准方程为；
②当双曲线焦点在y轴上时，设所求双曲线方程为（），即，则有，，双曲线的标准方程为．
综上，双曲线的标准方程为或．
故答案为：或
14．或
【分析】分焦点在轴和轴上时，分别列方程求解计算即可.
【详解】点到双曲线的一条渐近线的距离为
当焦点在轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
点到双曲线的一条渐近线的距离为1，即，则，
所以此时双曲线的标准方程为；
当焦点在轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
点到双曲线的一条渐近线的距离为1，即，则，
所以此时双曲线的标准方程为.
综上，双曲线的标准方程为或.
故答案为：或
15．4
【分析】分情况讨论直线有斜率和无斜率，联立直线与双曲线的方程，根据方程根的个数即可求解直线的条数.
【详解】当直线l的斜率不存在时，直线为，与曲线有且只有一个公共点．
当直线l的斜率存在时，可设直线为，代入曲线方程整理得，若，则，此时有两条分别平行于双曲线的两条渐近线的直线，与曲线有且只有一个公共点；
当时，则由，得，此时有一条直线与曲线相切，有且只有一个公共点．综上，这样的直线共有4条．
故答案为：4
16．或或k不存在
【分析】设直线方程，分斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，与双曲线相切，满足题意，当斜率存在时，设的方程为，与双曲线联立，消得到，转化为方程只有一个根，此时要考虑到二次项系数为和不为两种情况，分别解得的值即可求出结果.
【详解】当直线的斜率不存在时，与双曲线相切，符合题意，
当直线的斜率存在时，设的方程为，
由，消得到，
当，即时，
与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个公共点，满足题意，
当时，由，整理得到，解得，
综上，或或k不存在.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）依题意设所求的双曲线方程为，则，再根据离心率求出，即可求出，从而得到双曲线方程；
（2）依题意可得直线的斜率存在，设，即可得到的坐标，依题意可得或，分两种情况分别求出的坐标，再根据的双曲线上，代入曲线方程，即可求出，即可得解；
【详解】（1）解：设所求的双曲线方程为（，），则，，
∴，又则，∴所求的双曲线方程为．
（2）解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点，
∴l的斜率一定存在，则设．令得，
∵且M、Q、F共线于l，∴或
当时，，，∴，
∵Q在双曲线上，∴，∴，
当时，，代入双曲线可得：
，∴．
综上所求直线l的方程为：或．
答案第1页，共2页
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