资源简介

3.2.2 双曲线的简单几何性质【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的．
【目标分析】
1．双曲线的几何性质，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养，如第1题、第2题、第3题、第8题、第10题、第11题；
2．由双曲线的几何性质求标准方程，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第4题、第6题、第7题、第9题、第15题；
3．求双曲线的离心率，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第5题、第12题、第13题；
4．直线与双曲线的位置关系，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第14题、第16题；
一、填空题
（2024·广西玉林·高二统考期末）
1．双曲线焦点坐标为 .
（2024上·广东深圳·高二校考期末）
2．已知双曲线，则它的渐近线方程为 .
（2024上·北京昌平·高二统考期末）
3．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为 ；若，则 .
（2023上·辽宁葫芦岛·高二统考期末）
4．旅行者号探测器（Vogager2）于年月日在肯尼迪航天中心发射升空，迄今为止已经造访四颗气态巨行星（木星、土星、天王星、海王星）及其卫星，它的运行轨道为双曲线，假设其方程为，请写出一个与此双曲线的渐近线相同的双曲线标准方程 ．
（2024上·北京海淀·高三统考期末）
5．已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率为 .
（2024上·江苏南通·高二统考期末）
6．写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 .
①实轴长为4；②渐近线方程为
（2024上·北京顺义·高二统考期末）
7．已知双曲线C经过点，其渐近线方程为，则双曲线C的方程为 ．
（2024上·北京西城·高二北京师大附中校考期末）
8．已知双曲线，则双曲线的右焦点到其渐近线的距离是 ．
（2024上·江苏常州·高二常州高级中学校考期末）
9．以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程为 ．
（2023上·山西大同·高二统考期中）
10．已知双曲线是等轴双曲线，则C的焦距为 ．
（2023上·重庆·高二重庆市育才中学校考期中）
11．张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有四位同学分别给出了一个结论：
甲：该双曲线的实轴长为6
乙：该双曲线的虚轴长为8
丙：该双曲线的焦距长为5
丁：该双曲线的一条渐近线可以为
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是 .
（2023下·陕西商洛·高二统考期末）
12．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则的离心率为 ．
（2023上·山东泰安高二期中）
13．如果双曲线右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是 ．
（2024上·天津河西·高二统考期末）
14．过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．
二、解答题
（2023上·河南鹤壁·高二鹤壁高中校考期中）
15．求适合下列条件的曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，长轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程；
(2)经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．
（2023·河北邯郸·高二校联考期中）
16．已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.
【易错题目】第7题、第9题、第15题
【复盘要点】解决与双曲线渐近线的问题思路不清，运算失策
【典例】（2024·四川南充·高二期末）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，求该双曲线的渐近线方程．
【思路分析】求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率，也就是求a，b间的关系．本题利用双曲线的定义和直角三角形边角之间的关系求a，b间的关系．
【解析】设（），，则，解得，
所以．在中，，
所以，即①．
将代入①式，解得或（舍去），故，
所以该双曲线的渐近线方程为．
易错警示：根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为（）；若已知双曲线的渐近线方程为或，则双曲线方程可设为（）．当时，焦点在x轴上；当时，焦点在y轴上．
【复盘训练】
（2024上·广东佛山·高二校联考期末）
17．已知为双曲线的一条渐近线，则（ ）
A． B．1 C． D．27
（2024·陕西榆林·高二期末）
18．已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·重庆·高二重庆市育才中学校联考期中）
19．双曲线（，）的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·北京海淀·高二期中）
20．已知双曲线，则双曲线的离心率是 ，渐近线方程是 ．
（2023下·上海青浦·高二统考期末）
21．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ．
（2023上·广东·高二广东两阳中学校联考期中）
22．与双曲线的渐近线相同的双曲线方程可以为 ．（只写出一个符合条件的即可）
（2023上·黑龙江鸡西·高二校考期中）
23．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是 ．
（2023上·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）
24．若双曲线的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出焦点坐标即得.
【详解】双曲线化为，因此双曲线半焦距，
所以双曲线焦点坐标为.
故答案为：
2．
【分析】根据双曲线的方程，求出的值，由焦点在轴上，求出渐近线方程.
【详解】双曲线，焦点在轴上，，，则，，
所以渐近线方程为.
故答案为：.
3．
【分析】求得，由此求得双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义求得
【详解】依题意，所以双曲线的渐近线方程为，
由于，所以在双曲线的左支，所以.
故答案为：；
4．（的方程均可）
【分析】根据同渐近线的双曲线方程可得结果.
【详解】与双曲线渐近线相同的双曲线的方程为.
故答案为：（的方程均可）.
5．2
【分析】由双曲线方程可得其渐近线方程,从而得关于的方程,再结合离心率公式求解即可.
【详解】由题意得，易知双曲线，即的渐近线方程为得
所以该双曲线的离心率
故答案为：.
6．或
【分析】根据题意可求出a，然后在根据渐近线方程求出b，由于题目没有告诉双曲线的焦点在x轴上还是y轴上，所以需要分类讨论.
【详解】当双曲线焦点在x轴上时，由题意可知:，此时双曲线标准方程为.
当双曲线焦点在y轴上时，由题意可知：，此时双曲线标准方程为.
故答案为：或
7．
【分析】由渐近线方程可设双曲线为且，再将点代入求参数m，即可得双曲线方程．
【详解】由题设，可设双曲线为且，又在双曲线上，
所以，则双曲线的方程是．
故答案为：
8．2
【分析】根据双曲线的标准方程写出右焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线距离公式求解即可．
【详解】的右焦点坐标为，渐近线方程为．
到即的距离为．
由对称性知到的距离为．
故答案为：2．
9．
【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程．
【详解】因为椭圆的长轴顶点为，焦点为，
所以双曲线的焦点为，顶点为，
故双曲线的，
所以双曲线方程为．
故答案为：
10．
【分析】由等轴双曲线的定义，结合求解可得.
【详解】因为双曲线是等轴双曲线，
所以，
所以，得，
故双曲线C的焦距．
故答案为：
11．丙
【分析】根据双曲线方程中的大小关系，判断并验证即可.
【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，有，即有，
显然甲乙丙3人的结论中至少有两个正确，由于焦距比实轴、虚轴都长，因此丙的结论是错误的，
此时，则该双曲线的一条渐近线可以为，丁的结论也正确，符合题意，
所以结论错误的同学是丙.
故答案为：丙
12．##
【分析】由E的渐近线斜率，代入离心率求解.
【详解】因为的一条渐近线的倾斜角为，
所以，则的离心率．
故答案为：.
13．
【分析】根据双曲线的对称性即可得，由离心率的公式即可求解.
【详解】如图，因为，F点坐标为，
所以，又A在右支上且不在顶点处，
所以，所以.
故答案为：
14．
【分析】根据直线与双曲线相交，由韦达定理以及弦长公式即可求解.
【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，
所以．
故答案为：
【点睛】若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的长轴、离心率的定义求解；
（2）利用等轴双曲线的定义求解.
【详解】（1）因为长轴长等于，离心率等于，
所以，，，
又因为焦点在轴上，
所以椭圆标准方程；
（2）设双曲线方程为，
代入点，得，
双曲线方程为．
16．(1)
(2)
【分析】(1)根据题意建立的方程组即可求解;
(2)利用韦达定理确定的取值范围，再建立之间的等量关系即可求解.
【详解】（1）由离心率又,所以，
又右顶点为，所以，所以，
故双曲线的标准方程为.
（2）设直线的方程为，设，
则由得，
因为直线与双曲线一支交于、两点，
所以 ，解得，
因此
，
因为，所以，
所以，所以，
故.
17．A
【分析】根据双曲线的渐近线方程即可得解.
【详解】因为双曲线的渐近线为，
所以，解得.
故选：A.
18．D
【分析】根据渐近线方程得到，再代入离心率公式即可.
【详解】由题意可知，所以.
故选：D.
19．B
【分析】根据双曲线的离心率得出，即可得出，即渐近线的斜率，由斜率得出倾斜角即可判断选项.
【详解】双曲线（，）的离心率为2，
，
，
此双曲线的渐近线的斜率为，
此双曲线的渐近线的倾斜角为或，
故选：B.
20．
【分析】根据双曲线方程判断焦点位置，求出的值，即可求出离心率和渐近线方程.
【详解】由可得，双曲线焦点在轴上，且，则，
于是离心率为：渐近线方程为：.
故答案为：；.
21．
【分析】根据双曲线的渐近线为求解即可.
【详解】双曲线的渐近线为，
又因为双曲线的一条渐近线与直线平行，
所以.
故答案为：.
22．（答案不唯一）
【分析】利用双曲线的性质即可写出.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
而双曲线的渐近线方程也为．
故答案为:．
【点睛】与具有相同的渐近线.
23．2
【分析】求出双曲线的渐近线方程，根据与平行可得，再利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
又因为双曲线的一条渐近线与直线平行，
所以，
则双曲线的方程为，右焦点坐标为，
其中一条渐近线方程为，
则双曲线的右焦点到直线的距离是.
故答案为：.
24．
【分析】根据双曲线的渐近线相互垂直求得的关系式，结合求得.
【详解】依题意，
由于双曲线两条渐近线互相垂直，所以，
由于，所以.
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页3.2.2 双曲线的简单几何性质【第一课】
[课标要求]
1.掌握双曲线的简单几何性质.
2.了解双曲线的渐近线及渐近线的概念，会利用几何性质求双曲线的标准方程.
3.理解判断直线与双曲线位置关系的方法.
4.会求解有关弦长问题.，会解决直线与双曲线的综合问题.
[明确任务]
1.用坐标法解决一些与双曲线有关的简单几何性质.（数学运算、直观想象）
2.与渐近线及离心率有关的一些问题.（数学运算）
1.双曲线的定义及其标准方程
2.一元二次函数、方程及不等式
核心知识点1双曲线的简单几何性质
（1）双曲线的几何性质
标准方程 -＝1(a>0，b>0) -＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤-a y≥a或y≤-a
对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点 ， ，
实轴和虚轴 实轴：线段A1A2，长：2a虚轴：线段B1B2，长：2b 实半轴长：a，虚半轴长：b
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2c
渐近线 y＝ y＝
离心率 ，e∈(1，＋∞)
a，b，c关系 c2＝a2＋b2 c2＝a2＋b2
（2）等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.
提示　（1）等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.
（2）焦点到渐近线的距离为b.
（3）双曲线上的点到焦点的距离最小值：同侧时，最小值为c-a；异侧时，最小值为c＋a.
例1.求双曲线9y2-4x2＝-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
【解析】双曲线的方程化为标准方程是-＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(-3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(，0)，(-，0)
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
思维升华　
归纳总结　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
（1）把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键.
（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
（3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
【举一反三】
（2024上·浙江宁波·高二统考期末）
1．双曲线的一个焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·四川南充·高二统考期末）
2．已知双曲线：，则其渐近线方程为（ ）．
A． B． C． D．
3．求以椭圆的两个焦点为顶点、两个顶点为焦点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
核心知识点2 由双曲线几何性质求标准方程
例2.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）一个焦点为(0，13)，且离心率为；
（2）渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，-3)；
（3）过(3，-1)且实轴与虚轴长度相等.
【解析】　（1）依题意，可知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故其标准方程为-＝1.
（2）法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为-＝1(a>0，b>0)，
则＝.①
∵A(2，-3)在双曲线上，∴-＝1.②
联立①②，无解.
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为-＝1(a>0，b>0)，
则＝.③
∵A(2，-3)在双曲线上，∴-＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为-＝1.
法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为-y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，-3)在双曲线上，
∴-(-3)2＝λ，即λ＝-8.
∴所求双曲线的标准方程为-＝1.
（3）可设方程为x2-y2＝λ(λ≠0)，则将(3，-1)代入，有λ＝9-1＝8，
于是双曲线方程为-＝1.
归纳总结 巧设双曲线方程的方法
（1）当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论；为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2-ny2＝1(mn>0).
（2）常见双曲线方程的设法如下.
①渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为-＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0).
②与双曲线-＝1或-＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为-＝λ或-＝λ(λ≠0).
③与双曲线-＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线方程可设为-＝λ(λ>0)或-＝λ(λ>0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置.
④与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为-＝1(b2<λ【举一反三】
4．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
（2024·广东江门·高二统考期末）
5．写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为 .
6．根据条件分别求双曲线的标准方程：
(1)与双曲线有共同渐近线，且过点；
(2)与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线为直线.
核心知识点3 求双曲线的渐近线和离心率
例3. （1）已知双曲线C：-＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则双曲线的渐近线方程为________.
【答案】y＝±x
【解析】由＝＝＝＝＝，故渐近线为y＝±x.
（2）如果双曲线-＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________.
【答案】(2，＋∞)
【解析】如图，因为|AO|＝|AF|，F(c，0)，
所以xA＝.又因为A在右支上且不在顶点处，
所以>a，所以e＝>2.
故双曲线离心率的取值范围为(2，＋∞).
归纳总结：求双曲线渐近线和离心率的方法：
1.求渐近线的方法：（1）计算a，b值代入渐近线方程.
（2）利用＝或＝进行转化.
2.求双曲线离心率的三种方法：
（1）若可求得a，c，则直接利用e＝求解.
（2）若已知a，b，可直接利用e＝求解.
（3）若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，
则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
【举一反三】
7．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为
A． B． C．2 D．
9．设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为 ．
核心知识点4 直线与双曲线位置关系
例4 已知双曲线x2-y2＝4，直线l：y＝k(x-1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围.
（1）直线l与双曲线有两个不同的公共点；
（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点；
（3）直线l与双曲线没有公共点.
【解析】联立消去y，
得(1-k2)x2＋2k2x-k2-4＝0.(*)
当1-k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)＝4(4-3k2).
（1）由
得-此时方程(*)有两个不同的实数解，
即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
（2）由得k＝±，
此时方程(*)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1-k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(*)化为2x＝5，
故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，
有且只有一个公共点.
故当k＝±或±1时，
直线l与双曲线有且只有一个公共点.
（3）由得k<-或k>，
此时方程(*)无实数解，
即直线l与双曲线无公共点.
归纳总结：
（1）解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
（2）双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
（3）注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
【举一反三】
10．直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
11．已知双曲线，过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率.
12．双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x，则双曲线方程为（ ）
A．x2－y2=96 B．y2－x2=160 C．x2－y2=80 D．y2－x2=24
13．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B． C． D．
14．若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
15．渐近线方程为的双曲线的离心率为 .
16．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为 .
17．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
18．已知双曲线C：的焦距为4，且过点．
(1)求双曲线方程和其渐近线方程；
(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据标准方程即可求解.
【详解】双曲线转化为标准方程为，
故，
故焦点为和，
故选：A
2．D
【分析】可直接写出双曲线的渐近线.
【详解】所求双曲线的渐近线为：即.
故选：D
3．，实轴长为2，虚轴长为6，离心率为，渐近线方程为
【分析】根据条件求出双曲线方程为，即可求出结果.
【详解】因为椭圆的两个焦点为，即为双曲线的顶点，
因为双曲线的顶点和焦点在同一直线上，
所以双曲线的焦点应为椭圆长轴端点，
故，所以，
得到双曲线的方程为，
故该双曲线的实轴长为，虚轴长为，
离心率为，渐近线方程为.
4．B
【分析】先设出双曲线的标准方程，然后根据双曲线的焦距和离心率以及a，b，c的关系式即可求解．
【详解】由题意可设双曲线的标准方程为，
因为双曲线的焦距为8，则2c＝8，所以c＝4，
又双曲线的离心率为，
所以a＝2，则，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B．
5．（答案不唯一）
【分析】设所求双曲线的方程为，再根据焦点在轴上，可得，即可得解.
【详解】设所求双曲线的方程为，
因为所求双曲线的焦点在轴上，所以，
则可取，
所以所求双曲线的方程为.
故答案为：.（答案不唯一）
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求出结果；
（2）先利用椭圆的方程得出双曲线的焦点，得出，再利用条件得到，即可求出结果.
【详解】（1）由题可设所求双曲线方程为，
由题意可知，解得,
故所求双曲线的标准方程为.
（2）由椭圆，可得椭圆两焦点为，
设双曲线方程为，
所以双曲线的两焦点为，得到，
又为双曲线的一条渐近线，所以，即，
又，解得，
所以双曲线C的方程为.
7．A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
8．A
【详解】双曲线两条渐近线互相垂直, ,计算得出.即为等轴双曲线. 因此，本题正确答案是.
9．；
【详解】不妨设，则，所以，因为，所以，所以
10．A
【分析】由双曲线，求得其渐近线方程为，根据直线与双曲线的一条渐近线平行，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得其渐近线方程为，
因为直线与双曲线的一条渐近线平行，
所以它与双曲线只有1个交点．
故选：A.
【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系及其应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
11．或或k不存在
【分析】设直线方程，分斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，与双曲线相切，满足题意，当斜率存在时，设的方程为，与双曲线联立，消得到，转化为方程只有一个根，此时要考虑到二次项系数为和不为两种情况，分别解得的值即可求出结果.
【详解】当直线的斜率不存在时，与双曲线相切，符合题意，
当直线的斜率存在时，设的方程为，
由，消得到，
当，即时，
与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个公共点，满足题意，
当时，由，整理得到，解得，
综上，或或k不存在.
12．D
【分析】求出椭圆焦点可得双曲线焦点，根据渐近线可得，即可建立关系求出，得出方程.
【详解】由椭圆=1得其焦点坐标为，∴双曲线的焦点在y轴上，
∵双曲线的一条渐近线为y=－x，∴a=b，而，，，
，∴双曲线的方程为y2－x2=24.
故选：D.
13．D
【详解】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．
详解：
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选D
点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．
14．AD
【分析】利用双曲线的性质结合条件即可求出结果.
【详解】因为在双曲线中，或，又与双曲线有两个交点，
则或，所以选项A和D符合题意，
故选：AD.
15．或2
【分析】根据给定条件，按焦点位置分类计算离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为，设此双曲线方程为，
当，即双曲线焦点在x轴上时，，令双曲线的实、虚半轴长分别为，
则，离心率；
当，即双曲线焦点在y轴上时，，令双曲线的实、虚半轴长分别为，
则，离心率，
所以渐近线方程为的双曲线的离心率为或2.
故答案为：或2
16．
【分析】根据双曲线的离心率为，化简求得，进而求得双曲线的渐近线方程，得到答案.
【详解】由题意，社区向的中心在坐标原点，离心率为，且焦点在y轴上，
可得＝，则＝＝，整理得＝，解得＝，
所以，所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
17．
【详解】试题分析：根据PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，可得|PF1|=|F1F2|，从而可得e的方程，即可求得双曲线的离心率．
试题解析：
设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，
∴＝2c，∴b2＝2ac.
由a2＋b2＝c2，
得c2－2ac－a2＝0，
∴2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.
∴e＝1＋或e＝1－ (舍去)．
所以所求双曲线的离心率为1＋.
点睛：求双曲线离心率的常用方法
（1）根据题意直接求出，由求解；
（2）根据条件求得间的关系，由求解；
（3）根据条件得到间的二次关系式，然后利用化为关于的二次方程求解．
18．(1) 双曲线方程为，其渐近线方程为;（2）或
【分析】(1) 由题意得 ,解方程组即得双曲线的方程，再写出其渐近线方程.(2) 由 ,得(3－k2)x2－4kx－7＝0得 ,解之即得实数的值，再利用数形结合分析得到实数k的取值范围.
【详解】(1)由题意得 ,解得
∴双曲线方程为，其渐近线方程为.
(2)由 ,得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
由题意得 ,
∴k2＝7，∴k＝ .
当3－k2=0时，直线l与双曲线C的渐近线平行，即时，直线l与双曲线C只有一个公共点，∴或.
【点睛】(1)本题主要考查双曲线方程的求法，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是得到(3－k2)x2－4kx－7＝0后，要对3－k2分类讨论，否则漏解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑