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3.2.2 双曲线的简单几何性质【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.双曲线的几何性质与标准方程，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第1题、第2题、第3题、第7题、第10题；
2.求双曲线的离心率，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第6题、第8题、第12题、第14题；
3.直线与双曲线的位置关系，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第2题、第5题、第11题、第15题、第16题；
4.与双曲线有关的最值与范围问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第4题、第9题、第13题；
一、单选题
（2024上·吉林·高二吉林毓文中学校考期末）
1．已知双曲线C：的焦距为，点在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）
2．已知双曲线：，直线过．“直线平行于双曲线的渐近线”是“直线与双曲线恰有一个公共点”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）
3．双曲线：（，）的一条渐近线过点，，是的左右焦点，且焦点到渐近线的距离为，若双曲线上一点满足，则（ ）
A．3或7 B．7 C．5 D．3
（2024·湖北恩施·高二校联考期末）
4．双曲线的离心率最小时，双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·江苏南通·高二统考期中）
5．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为( )
A．3 B．6 C．8 D．12
（2024·福建三明高二期末）
6．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为为上一点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·北京房山·高二统考期末）
7．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
（20224·浙江台州·高二统考期末）
8．已知点在双曲线上，点，当最小时，点不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2024上·陕西汉中·高二统考期末）
9．已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线上的一个动点，下列结论正确的有（ ）
A．若的面积为20，则 B．双曲线的离心率为
C．的最小值为1 D．若为直角三角形，则
（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）
10．双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，则（ ）
A．双曲线的焦点到渐近线的距离为
B．若，则
C．当过点时，光线由所经过的路程为8
D．反射光线所在直线的斜率为，则
三、填空题
（2024·江西宜春高二期末）
11．已知斜率存在的直线与双曲线相交且仅有一个交点，则直线的方程可以为 ．
（2024上·山东济南·高二莱芜一中期末）
12．已知双曲线的两个焦点分别为，，，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若直线与圆E：相切，则双曲线的离心率是 ．
（2024·贵州毕节高二期末）
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为 .
（2024上·河北石家庄·高二统考期末）
14．已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 .
四、解答题
（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）
15．已知双曲线的左 右焦点分别为，点为双曲线上一点，且
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值.
（2024·吉林白山·高二期末）
16．已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值．
【易错题目】第4题、第9题、第13题
【复盘要点】双曲线中的最值问题，既要有几何视角借助双曲线的定义及其几何性质、也要有方程思想，处理问题。体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。
（2024上·北京房山·高二统考期末）
典例已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定最小时，点的位置，进而求出的关系即得.
【解析】双曲线C：的渐近线为，由对称性不妨令点在第二象限，
由双曲线定义得，当且仅当为线段与双曲线的交点时取等号，因此的最小值为的最小值与的和，显然当与渐近线垂直时，取得最小值，而平行于渐近线，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即，
则双曲线的渐近线方程为，显然选项ABD不满足，C满足，
所以双曲线C的方程可能是.故选：C
易错提示：解决双曲线中最值问题基本思路：
（1）运用双曲线的定义，将问题转化为两点间距离最短；
（2）二次函数法：通过将问题转化为二次函数，借助二次函数的性质来求最值；
（3）均值不等式法：根据方程构造关于某个变量的一元二次方程，然后利用均值不等式求最值。
【复盘训练】
（2023·江西赣州·高二期末）
17．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
（2024上·辽宁葫芦岛·高二统考期末）
18．已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
（2024上·云南曲靖·高二校联考期末）
19．已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·河北·高二雄县第一高级中学校联考期末）
20．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）
21．已知椭圆与双曲线有相同的焦点为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2022上·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）
22．设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线的渐近线的方程是 ．
（2024上·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考期末）
23．在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】由题意可得，即有，由点在渐近线上，可得，解方程可得，进而得到所求双曲线方程.
【详解】因为双曲线C：的焦距为，
所以，即，所以，①
又因为双曲线的渐近线方程为：，且在C的渐近线上，
所以，②
由①②可得，，
所以双曲线C的方程为.
故选：B
2．A
【分析】设出直线方程，联立双曲线方程，得到关于的一元二次方程，根据方程解的情况，即可判断充分性和必要性.
【详解】根据题意，直线的斜率显然存在，故设直线方程为：，
联立可得：，即；
直线平行于双曲线的渐近线，即或，此时，
方程为关于的一次方程，只有一个解，
此时直线与双曲线只有一个交点，满足充分性；
若直线与双曲线恰有一个公共点：
则，即；
或当时，，即，即；
故必要性不满足.
综上，“直线平行于双曲线的渐近线”是“直线与双曲线恰有一个公共点”
的充分不必要条件.
故选：A.
3．B
【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用给定条件求出，再利用双曲线定义求解即得.
【详解】双曲线：的渐近线方程为，由在其中一条渐近线上得，
因为焦点到渐近线的距离为，由对称性，则右焦点到一条渐近线距离，
因此，由双曲线定义得，而，解得或，
显然，双曲线：上的点到焦点距离的最小值为，所以.
故选：B
4．D
【分析】先求出，然后利用基本不等式研究最值及等号成立的条件即可求出m的值进而求出双曲线的渐近线方程.
【详解】依题，，∴，
设离心率为，则，
∵，∴，当且仅当即时取“”.
此时双曲线方程是，渐近线方程是.
故选D.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线的概念及基本不等式的应用，属中等难度题.
5．B
【分析】利用点差法计算即可.
【详解】设，
则有，
化简得，
即.
故选：B
6．C
【分析】记的左焦点为，利用余弦定理求出，再根据双曲线的定义及离心率的定义分析求解.
【详解】由题意可得：，
在中，由余弦定理得，
且，所以，
记的左焦点为，连接，
在中，由余弦定理得，
故，由双曲线的定义得，
即，可得．
故选：C.
7．C
【分析】根据椭圆的和双曲线的定义结合焦点三角形的性质求解即可.
【详解】设双曲线的方程为，
在椭圆中，
则，因为是以为底边的等腰三角形，
所以，由椭圆的定义可知，，
所以，再由双曲线的定义可得，
所以，因为双曲线与椭圆有公共焦点，
所以，
故双曲线的标准方程为.
故选：C.
8．C
【解析】把的坐标表示出来，转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围．
【详解】设，
则，
又∵点在双曲线上，
∴即
∴
．
当最小时，．
又点不在顶点位置，
∴，∴，∴．
∵双曲线离心率，∴．
故选：C．
【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．
9．BC
【分析】根据双曲线的性质、两点距离公式及三角形面积公式计算一一判定选项即可.
【详解】由题意可知，即，
若的面积为20，则，故A错误；
根据双曲线方程可知的离心率，故B正确；
易知，
则，
又或，所以时有，或时，
故，时取得等号，故C正确；
若为直角三角形，易知当时，此时，
则，故D错误.
故选：BC
10．ABD
【分析】对于A，求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式即可判断；对于B，判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于C，利用双曲线的定义直接求得；对于D，先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；
【详解】对于A，由双曲线C的方程为知双曲线的渐近线方程为：，
焦点到渐近线的距离为：，故A正确；
对于B，若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：，
二者联立解得：.故B正确；
对于C，光由所经过的路程为，
故C不正确；

对于D，双曲线的渐近线方程为.
设左、右顶点分别为A、B.如图示：

当与同向共线时，的方向为，此时，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.故D正确.
故选：ABD.
11．（答案不唯一）
【分析】由直线与双曲线相交，且有且仅有1个交点可得直线与渐近线平行，得解.
【详解】因为斜率存在的直线与双曲线相交且仅有一个交点，双曲线的渐近线方程为，
故不妨设直线的方程为，易知当时，满足题意．
故答案为：（答案不唯一）.
12．##
【分析】根据相切以及圆的性质可得，即可根据相似求解长度，由勾股定理以及双曲线的定义即可求解.
【详解】设直线与圆E：相切于点，
因为以为直径的圆过点，所以，
又圆与直线的切点为，所以，从而．
由△△，得，所以．
又，所以，解得，
因此离心率为
故答案为：
13．32
【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得的最小值为，，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】题意得，故，如图所示，
则，
当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立，
所以的最小值为，所以，即，
当且仅当时，等号成立，
而到渐近线的距离，
又，故，
所以，
即面积的最大值为32.
故答案为：32.
14．
【分析】利用点差法得到，根据题意和渐近线方程得到，故，从而求出离心率的取值范围.
【详解】设，
则，两式相减得，
若，则的中点在轴上，不合要求，
若，则的中点在轴上，不合要求，
所以，
因为为的中点，所以，
故，
因为的渐近线方程为，
要想直线与双曲线：交于A、B两点，则，
即，解得，
所以离心率.
故答案为：
【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）根据已知条件及双曲线的定义即可求解；
（2）将直线与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理及点到直线的距离公式，结合弦长公式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由及双曲线的定义知，，即，
所以双曲线的方程为：.
（2）由题意可知，作出图形如图所示

设，由题可知，
联立，
所以，
点到直线的距离，
所以
，
令，化简得：，解得：或，
所以或.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，根据以及整体代换法求得结果；
（2）设直线,与椭圆方程联立得出韦达定理，再表示，结合韦达定理求出结果.
【详解】（1）设，，，
∵，∴，
∴，
又∵焦距为，可得，则，
结合，∴，，
∴双曲线的标准方程为：．
（2）如图，
由（1）知，，设，．
因为不与重合，所以可设直线．
联立，
消得：，
故，，
，，，
∴．
17．C
【分析】利用双曲线的定义可以得出=，当三点共线时最小.
【详解】由双曲线得到,,，左焦点，
设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故选：C.
18．B
【分析】设右焦点为，根据双曲线的定义可得，再根据三角形性质结合点到线的距离求解即可.
【详解】设右焦点为，又由对称性，不妨设在渐近线上.
根据双曲线的定义可得，当且仅当三点共线时取等号.
又当与渐近线垂直时取最小值，为，故最小值为5.
故选：B
19．C
【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围．
【详解】，是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，
则，即，
代入得，
当且仅当时取等号，即，
又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，解得，
所以双曲线离心率e的取值范围是.
故选：C．
20．A
【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义得：，
，设，
则在中，由余弦定理得，，
化简得，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的离心率的相关计算，涉及到焦点三角形、基本不等式求最值等问题，对学生的计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键点有两个：（1）运用两个曲线的定义，找到离心率之间的关系；（2）在已知条件等式的情况下，活用“1”的妙用求最值.
21．D
【分析】设P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义结合勾股定理化简得到，再利用柯西不等式即可得解.
【详解】依题意，不妨设P为第一象限的交点，，则，

因为在中，，所以，即，
则，即，
所以，即，
由柯西不等式得，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
此时满足，所以的最大值为.
故选：D.
22．
【分析】设，在中，由余弦定理可得，再利用椭圆和双曲线的几何性质列方程求解即可.
【详解】设，不妨设，
由椭圆和双曲线的性质可得，解得，
又椭圆的离心率，双曲线的离心率，，
在中，由余弦定理得，
解得，即，
根据均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，
即当两条曲线的离心率之积最小时，，
所以由双曲线性质解得，
即双曲线的渐近线方程为，
根据椭圆和双曲线的对称性，当仍成立，
故答案为：.
23．
【分析】根据为双曲线的左、右顶点可设,,,由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程.由为双曲线的左、右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大,根据面积最大值求得.当位于圆的最左端时的面积最小,结合最小面积可求得,即可求得双曲线的离心率.
【详解】设,,,
依题意,得,
即,
两边平方化简得,则圆心为,半径,
当位于圆的最高点时的面积最大,最大面积为,
解得；
当位于圆的最左端时的面积最小,最小面积为,
解得,
故双曲线的离心率为.
故答案为:
【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页3.2.2 双曲线的简单几何性质【第三课】
扩展1 求双曲线的离心率问题
求双曲线的离心率是热点问题，解决问题的基本思想是方程思想，需要结合图形的几何性质，建立的基齐次关系式求解．体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养．
例1（2024·河南·高二伊川县第一高中期末）已知双曲线分别为的左焦点和右顶点，点是上的点，若的面积为，则的离心率为（ ）
A． B． C.2 D．
【答案】C
【分析】根据题意得到和，进而化简求得，即可得到答案．
【解析】设双曲线的焦距为，
由题设知，，则，
所以，且，易知，
又因为点在上，所以，所以，
因为，所以，
则，
化简得，
解得或（舍去）．
所以，，故C的离心率为．故选：C
【方法总结】求双曲线离心率的常用方法：
（1）利用a，b求．若已知a，b，则直接利用得解．
（2）利用a，c求．若可求得a，c，则直接利用得解．
（3）利用方程求．若得到的是关于a，c的齐次方程，即（p，q，r为常数，且），则转化为关于e的方程求解．
【举一反三1-1】（2024·山东泰安·高二期末）
1．已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三1-2】（2024上·吉林四平高二校联考期末）
2．已知双曲线：（，）的右焦点为F，右顶点为A，过点F作x轴的垂线，垂线与双曲线E的一个交点为P，的中点为Q，直线与直线（O为坐标原点）的交点在双曲线E上，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．2
【举一反三1-3】（2023·安徽蚌埠·高二蚌埠二中期中）
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【举一反三1-4】（2024·陕西安康高二期末）
4．已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
扩展2 双曲线的中点弦问题
双曲线的中点弦问题，涉及直线与双曲线的位置关系，运算量较大．解决问题需掌握一定的技巧，体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养．
例2（2023·湖北黄石高二期中）已知双曲线C：（，）与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程及渐近线方程；
（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．
【解】（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线C的焦点坐标也为．
又因为点在双曲线C上，所以所以，
所以双曲线C的标准方程为，渐近线方程为．
（2）方法一：由题知直线AB的斜率存在，故设其方程为，点，．
联立得，
所以．
由直线AB与双曲线有两个交点可得且，
解得且，
因为为弦AB的中点，所以，解得，
所以弦AB所在直线的方程为，即．
方法二：设，，
所以两式相减得，
所以．
又因为，，
所以，
所以弦AB所在直线的方程为，即．
由得，，符合题意，
即所求直线方程为．
【方法总结】（1）直线与双曲线相交，求弦的中点坐标，其方法有两种：
①将直线方程与双曲线方程联立，整理得到关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系求出中点坐标；
②应用“点差法”求得中点横坐标的关系式，然后和直线方程联立方程组求解．
（2）已知弦中点坐标，求直线方程时，也是上述两种方法，“点差法”虽然是优解，特点是设而不求，但需要解后检验．
（3）求平行弦中点轨迹，必须知道该组弦的斜率；求相交弦中点轨迹，必须知道该组弦的交点坐标．
【举一反三2-1】（2024·江苏盐城·高二统考期末）
5．已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【举一反三2-2】（2024·河北邢台高二期末）
6．过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程．
【举一反三2-3】（2024·陕西渭南·高二期末）
7．已知双曲线上两个不同的点A，B关于直线对称，求实数k的取值范围．
（江苏·高考真题）
8．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
（全国·统考高考真题）
9．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（福建·高考真题）
10．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
（全国·高考真题）
11．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
（全国·统考高考真题）
12．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
（湖南·高考真题）
13．双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（全国·统考高考真题）
14．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（北京·统考高考真题）
15．已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
（全国·统考高考真题）
16．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线垂直求出，进而求出离心率.
【详解】双曲线：的渐近线方程为，
双曲线的一条渐近线与直线垂直，
双曲线一条渐近线的斜率为，所以，即，
因此双曲线C的离心率.
故选：C.
2．B
【分析】利用双曲线通径的知识明确点P，Q的坐标，根据双曲线的对称性就可以得到B点坐标，再结合Q，A，B三点共线，用向量方法可求，的关系，得到离心率.
【详解】易知，，不妨设，则．设直线与直线的交点为B，
因为B在双曲线E上，所以B，P关于原点对称，即．
因为Q，A，B三点共线，所以．
因为，，
所以，所以，．
故选：B
3．A
【分析】由向量的关系求出线段之间的关系，设，则，，再由双曲线的定义可得，，再由数量积为可得直线的垂直，分别在两个直角三角形中由余弦定理可得，的关系，可求出离心率．
【详解】，设，则，，
由双曲线的定义可得，，
因为，
在中，由余弦定理有，
即，①
在中，由余弦定理有，
即，②
由②可得，代入①可得，即.
所以C的离心率为：，
故选：A.
4．A
【分析】设出根据题意有，利用余弦定理表示出，，结合，求出离心率的取值范围.
【详解】
设，显然，
则，
所以的离心率．由于，
所以，所以的取值范围是；
故选：A
5．B
【分析】由点差法得出，进而由离心率公式求解即可.
【详解】设，，由的中点为，则，
由，两式相减得：=，
则==，
由直线的斜率，∴，则，
双曲线的离心率，
∴双曲线的离心率为，
故选：B．
6．
【分析】由“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可.
【详解】解：设，，则，，
两式相减得．
∵P为线段AB的中点，∴，．
∴，即所求直线l的斜率为1，
∴直线l的方程为，即．经检验符合题意．
7．
【分析】设AB所在的直线方程为，联立方程，结合判别式可得，根据韦达定理结合中点可得，代入运算求解即可.
【详解】设A，B的坐标分别为，，线段AB的中点为，
依题意直线AB的斜率存在且不为0，不妨设AB所在的直线方程为，
联立方程，消去y得．
由得①．
则，可得，代入，得．
且中点在直线上，
则，且，可得，
将代入①可得，解得或，
即或，且，
可得实数k的取值范围是．
8．A
【分析】由一条渐近线的斜率为，得到求解.
【详解】因为一条渐近线的斜率为，即，
所以．
故选：A
9．A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
10．D
【分析】由题意有可得坐标，进而求得的中点坐标，代入双曲线方程得到参数的齐次方程，即可求离心率.
【详解】依题意知，若双曲线焦点为，，
∴，则△的高为，即，
∴，代入双曲线方程：，整理得：，
∵，
∴，整理得，得，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：利用双曲线、等边三角形、中点的性质求点坐标，由点在双曲线上可得双曲线参数的齐次方程.
11．A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
12．D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线为，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
13．C
【分析】根据右支上存在一点到右焦点及左准线的距离相等，通过得到关于的不等式，最后根据，综合可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
而双曲线的离心率，，
故选：C．
14．AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
15．
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
16．##
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
答案第1页，共2页
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