资源简介

专题2.2 等腰三角形的性质与判定【十大题型】
【题型1 根据等边对等角求角度】
【题型2 根据等边对等角证明】
【题型3 根据三线合一求解】
【题型4 根据三线合一证明】
【题型5 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】
【题型7 根据等角对等边证明边相等】
【题型8 根据等角对等边求边长】
【题型9 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】
【题型10 等腰三角形的判定与性质的综合运用】
【知识点 等腰三角形】
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°．
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）．
【题型1 根据等边对等角求角度】
【例1】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）
1．如图，在中，，以点B为旋转中心把按顺时针方向旋转得到，点恰好落在上，连接，则度数为（ ）

A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·广东梅州·八年级校考期末）
2．在中，，是边上的高，，则的度数为 ．
【变式1-2】（2023春·四川达州·八年级校考期中）
3．如图，在第1个中，；在边上任取一点D，延长到A2，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到A3，使，得到第3个；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ）

A． B． C． D．
【变式1-3】（2023春·海南海口·八年级校考期中）
4．如图，中，，点D在所在的直线上，点E在射线上，且，连接．
(1)如图①，，，求的度数．
(2)如图②，若，，求的度数．
(3)当点D在直线上运动时（不与点B、C重合），试探究与的数量关系，并说明理由．
【题型2 根据等边对等角证明】
【例2】（2023春·湖南·八年级期末）
5．如图，在中，，点D在边上，，，，垂足分别为E，F．
(1)求证；
(2)若，求证．
【变式2-1】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期中）
6．如图，在中，，作交的延长线于点，作，，且，相交于点，求证：．
【变式2-2】（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）
7．如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，，求证：．
【变式2-3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）
8．如图，已知为等腰三角形，，为线段延长线上一点，连接，平分交于点、，且．
(1)猜想与的数量关系，并证明；
(2)求证．
【题型3 根据三线合一求解】
【例3】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）
9．如图，中，，点D为延长线上一点，于点H点F为延长线上一点，连接交的延长线于点E，点E是的中点，若，则 ．

【变式3-1】（2023春·河北邢台·八年级校联考期末）
10．如图，在中，，是的中线，边的垂直平分线交于点，连接，交于点．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【变式3-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）
11．如图，在中，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，当的周长取最小值4时，则 ．
【变式3-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）
12．如图，在中，，，点为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，交于点，点为边上一点，连接，．
(1)若，则的度数为______；
(2)若点是的中点，判断与的数量关系，并说明理由．
【题型4 根据三线合一证明】
【例4】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）
13．如图，ABC中，，AD是BC边上的中线，
(1)求证：EB=ED．
(2)求证：AE=DE．
【变式4-1】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）
14．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，、相交于点，求证：

(1)；
(2)．
【变式4-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）
15．如图，已知中，，，点D为的中点，点、分别在直线上运动，且始终保持．
(1)如图①，若点分别在线段上，与相等且与垂直吗？请说明理由；
(2)如图②，若点分别在线段的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．
【变式4-3】（2023春·河北廊坊·八年级校考期中）
16．如图，在中，为中点，点是边上一动点（不含端点），连接，点为上一点，始终垂直于，交直线于点．

(1)点在线段上运动（如图1），当时，求证：；
(2)若点运动到线段上（如图2），当时，试猜想的数量关系是否发生变化，请写出你的结论并加以证明；
(3)过点作，垂足为点，并交的延长线于点（如图3），求证：．
【题型5 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】
【例5】（2023春·上海浦东新·八年级校联考期末）
17．已知，如图，在ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　 　个等腰三角形．
【变式5-1】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）
18．如图，在中，度，，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式5-2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）
19．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有 个．
【变式5-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）
20．如图1，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，若点E是的中点，连接、，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形．
【题型6 根据等角对等边证明等腰三角形】
【例6】（2023春·重庆江北·八年级校考期中）
21．如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点．

(1)求证：为等腰三角形；
(2)求证：．
【变式6-1】（2023春·吉林松原·八年级统考期中）
22．如图，，平分．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
【变式6-2】（2023春·广东广州·八年级校考期末）
23．如图，四边形中，，过点D作，与C交于点D，与交于点H．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若E为中点，猜想，与三者的数量关系．并证明之
【变式6-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）
24．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：
（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．
（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．

【题型7 根据等角对等边证明边相等】
【例7】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）
25．如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．

(1)求证：；
(2)设与交于点，求证：．
【变式7-1】（2023春·天津·八年级期中）
26．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．
【变式7-2】（2023春·湖北孝感·八年级统考期末）
27．如图，中，，点D在的延长线上，连接平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求和的度数；
(3)求证：．
【变式7-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）
28．已知：在锐角△ABC中，AD为BC边上的高，∠ABD＝2∠CAD．
(1)如图1，求证：AB＝BC；
(2)如图2，点E为AB上一点，且BE＝CD，连接DE，∠AED+∠BDE＝90°，求证∠ABC＝45°；
(3)如图3，在（2）的条件下，过B作BF⊥AC于点F，BF交AD于点G，连接CG，若S△CDG＝2，求△ABG的面积．
【题型8 根据等角对等边求边长】
【例8】（2023春·山东聊城·八年级校考期末）
29．如图，为的角平分线．
(1)如图 1 ，若于点 F，交于点 E ， ，．求 的长．
(2)如图 2 ，若，点 E 在上，且， ， ，求的长；（用含 a 、b 的式子表示）
【变式8-1】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市稠江中学校联考期中）
30．如图，上午8时，一艘船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达处，从两点望灯塔，测得，则处到灯塔的距离为（ ）
A．45海里 B．30海里 C．20海里 D．15海里
【变式8-2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）
31．如图，将一张长方形纸片按图中那样折叠，若，，则重叠部分（阴影）的面积是 ．
【变式8-3】（2023春·辽宁盘锦·八年级校考期中）
32．如图，平分且于，，又知，的周长为，则的长为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【题型9 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】
【例9】（2023春·河北邢台·八年级校考期末）
33．题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）

A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【变式9-1】（2023春·浙江·八年级期中）
34．如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式9-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）
35．如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．

【变式9-3】（2016秋·江苏无锡·八年级统考期中）
36．如图，在中，，点P为所在平面内一点，且点P与的任意两个顶点构成，，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为 个．

【题型10 等腰三角形的判定与性质的综合运用】
【例10】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）
37．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝42°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是CD上一点，将△ACE沿着AE翻折得到△AFE，连接CF，若E，F，B三点恰好在同一条直线上，则∠CFA的度数是（　　）
A．75° B．78° C．80° D．84°
【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期中）
38．如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度．
【变式10-2】（2023春·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期末）
39．如图，在中，D是的中点，，，延长至点M，使得，连接并延长，交的延长线于点N，现给出以下结论：

①；
②；
③；
④.
其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
【变式10-3】（2023春·四川达州·八年级校考期中）
40．如图，中，，，，垂足是D，平分，交于点E．在外有一点F，使，．

(1)求证：；
(2)在上取一点M，使，连接，交于点N，连接．
求证：①；②平分．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由旋转知，，，由等边对等角及三角形内角和定理可求，，，，从而求得．
【详解】解：由旋转知，，，，
∴，，
∴，，
∵中，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形等边对等角，三角形内角和定理，由定理得到角之间数量关系是解题的关键．
2．或
【分析】①如图，当顶角为锐角三角形时：，②如图，当顶角为钝角三角形时：，再结合等腰三角形的性质可得答案．
【详解】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：，

∵，
∴；
②如图，当顶角为钝角三角形时：
∵，，
∴，

∵，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解本题的关键．
3．C
【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数．
【详解】解：在中，，，
，
，是△的外角，
；
同理可得，，
第个三角形中以为顶点的底角度数是．
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到，于是得到结论；
（3）设，，，①如图1，当点在点的左侧时，②如图2，当点在线段上时，③如图3，当点在点右侧时，，根据题意列方程组即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，
；
（3）设，，，
①如图1，当点在点的左侧时，，
，
解得，，
；
②如图2，当点在线段上时，，
，
，
；
③如图3，当点在点右侧时，，
，
解得，，
．
综上所述，与的数量关系是．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
5．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先证明，再根据可证；
（2）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，，再证明，根据角平分线的性质可知，进一步即可得证．
【详解】（1）证明： ，，
，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作于点，如图所示：
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6．见解析
【分析】根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明．
【详解】证明：∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型．
7．见解析
【分析】由平行线的性质可得出，结合题意可由“”证明，即得出，进而由等边对等角即可证明．
【详解】解：，
．
在和中，，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
8．(1)，证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等边对等角得，再由三角形内角和定理和已知等量代换即可得出结论；
（2）延长至点，使，易得，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）．
证明如下：，
，
，
，
又，
，
化简，得：．
（2）证明：延长至点，使．
，
，
，
又，
，
又平分，
，
在与中，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确构造辅助线使三角形全等是解题的关键．
9．12
【分析】以中点E构造全等三角形，根据全等三角形的性质结合平行线的性质得到，可进一步求解．
【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点N，

∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等．掌握相关几何结论是解题关键．
10．C
【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解： ∵，是的中线，，，
∴，，即，
∴，
∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
11．2或6##6或2
【分析】连接，由于，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据直线l是线段的垂直平分线可知，点C关于直线l的对称点为点B，故BD的长为的最小值，得，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，
∵，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵直线l是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线l的对称点为点B，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短，
∴，
∴，
解得或6．
故答案为：2或6．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
12．(1)10
(2)CF=2DE，理由见解析
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到∠CAF=∠CBA = ，∠BCG=∠ACG=，求出∠BCG =∠CAF= ，进而求出∠ACF得到∠CBG的度数，根据三角形内角和求出答案；
（2）证明△BCG≌△CAF (ASA)，推出BG = CF，再证△ADE≌△CGE (AAS)，推出DE= GE，即DG = 2DE，即可得到结论．
【详解】（1）∵∠ACB= 9， AC= BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA = ，∠BCG=∠ACG=，
∴∠BCG =∠CAF= ，
∵，
∴∠ACF=∠ACM-∠FCM=-1= ，
∴∠CBG =∠ACF= ，
∴∠BGC=18-∠BCG-∠CBG=18- - = 10，
故答案为：10 ；
（2）CF= 2DE，
理由：连接AG，
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，∠BCG =∠CAF，
∴△BCG≌△CAF (ASA)，
∴BG = CF，
∵CG平分∠ACB， AC= BC，
∴CM⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴ADCG，
∴∠D=∠EGC，
∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE= CE，
∴△ADE≌△CGE (AAS)，
∴DE= GE，即DG = 2DE，
又∵点G是BD的中点，
∴DG = BG，
∴CF= 2DE．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
13．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)根据，，进而得出结论；(2)由等腰三角形的性质得，再由平行线的性质得，则，即可得出结论．
【详解】（1）∵，AD是BC边上的中线，
∴AD平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴E是AB中点即，
∴．
（2）证明：∵，AD是BC边上的中线，
∴AD平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．
14．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）分别利用证即可；
（2）由得，利用等腰三角形的性质即可得．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴（）．

（2）证明：由（1）得，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理．
15．(1)且，见解析
(2)成立，见解析
【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到和，再证明，利用全等三角形的性质即可求解；
（2）利用等腰直角三角形的性质得到和，再证明，利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）且，理由是：
如图①，连接，
∵，，D为中点，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）若点分别在线段，的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接，理由如下：
∵，，点D为的中点，
∴，
∴，
在和中，
∴；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．
16．(1)见解析
(2)不变，见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，再证明，即可求证；
（2）用和（1）同样的方法证明，即可得出结论；
（3）根据等腰三角形性质得出，则，根据，则，即可得出，再推出，则，即可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点D为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：的数量关系不发生变化，证明如下：
证明：∵，
∴，
∵点D为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵点D为中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形那个的性质，解题的关键是掌握全等三角形是判定方法，以及等腰三角形“三线合一”．
17．（1）见解析；（2）5
【分析】（1）证明△EBC≌△DCB（SAS），可得结论．
（2）根据等腰三角形的定义，判断即可．
【详解】（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△EBC和△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴BE＝CD．
（2）图中共有5个等腰三角形．
∵∠BAC＝108°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝36°，
∵∠D＝∠E＝36°，
∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，
∴∠DAB＝∠EAC＝72°，
∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找．
18．D
【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论．
【详解】解：如下图，
作垂直平分线与相交于点P，可得，
以A为圆心，为半径画圆，交有两个交点，可得，
以B为圆心，为半径画圆，交有一个交点，可得，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质 ，解题的关键是正确作图，分情况讨论．
19．3
【分析】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，从而判断等腰三角形的个数．
【详解】∵中，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
由题图可知，平分，
∴，
∴，，
∴,，
∴是等腰三角形，，
∴是等腰三角形．
综上可知，题图中的等腰三角形有，，，共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、尺规作图——角平分线，掌握“等角对等边”是解决此题的关键．
20．(1)见解析
(2)，，，
【分析】（1）先证明，根据全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据等腰三角形的判定方法判断即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴（），
∴．
（2）如图：
由（1）可知，
∴是等腰三角形；
∵点E是的中点，，
∴，
∴是等腰三角形；
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
故等腰三角形有，，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得出答案；
（2）在上取，连接，首先利用证明，得，再说明，利用证明，得，进而证明结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（2）在上取，连接，

平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据平角的定义得出，则，再利用平行线的性质证明即可；
（2）首先得出，再由角平分线的定义得出，最后利用平行线的性质可得答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
平分，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
23．(1)见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）由题意可知，利用其性质可得，根据进而可得，从而可得为等腰三角形；
（2）如图，延长，使得，可证明，可得，即，再利用线段和差关系即可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2），理由如下：
如图，延长，使得，
∵为的中点，
∴
在与中，
，
∴（SAS），
∴，
又∵，
∴，
∴，即：
即：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用中点倍长中线构造全等三角形是解决问题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°
【分析】（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.
【详解】解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：

（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：
①当分割的直线过顶点B时，
【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点

此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；
【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点

此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；
【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况
△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，
∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；

△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，
∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；

△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°
∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；

②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；
③当分割三角形的直线过点A时，

此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，
最大角的值为132°；
综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°.
【点睛】本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.
25．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和得出，再用等腰三角形的判定证明即可；
（2）根据等腰三角形的判定证明，即可．
【详解】（1）证明：∵平分，，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，
∴，
∵
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和和等腰三角形的判定，解题关键是熟练运用三角形内角和求出角的度数．
26．见解析
【分析】过D作DG∥CE，交BC于点G，证明△DGF≌△ECF，可得DG＝CE，根据平行线的性质以及等角对等边可得BD＝DG，等量代换即可证明BD＝CE．
【详解】证明：过D作DG∥CE，交BC于点G，
则∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB，
在△DGF和△ECF中，
，
∴△DGF≌△ECF（ASA），
∴DG＝CE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠DGB，
∴BD＝DG
BD＝CE．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等角对等边，正确的添加辅助线是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据等边对等角得出，再由等角的余角相等得出，利用等角对等边即可证明；
（2）根据角平分析及等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可求解；
（3）根据三角形内角和定理得出，，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
在中，．
在中，．
（3）证明：在中，．
在中，．
∴．
【点睛】题目主要考查角平分线的计算及三角形内角和定理，等角对等边，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
28．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】(1)令∠CAD=α，则∠ABD=2α，由直角三角形的性质得出∠C=90° α，证出∠BAC=90° α=∠C，则可得出结论；
(2)由直角三角形的性质得出∠AED=∠ADE，则AE=AD，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
(3)过点D作DH⊥CG于点H，证明△BDG≌△ADC(ASA)，由全等三角形的性质得出DG=DC，证出CH=DH=GH，令DH=m，CD=n，则CG=2m，DG=n，由三角形CDG的面积可得出m，n的值，根据三角形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）证明：令，则，
为BC边上的高，
，
，
，
又，
，
；
（2）证明： ，，
，
，
，，
，
即，
，
，
又，
；
（3）解：过点D作于点H，
，，
，
又，BD=AD，
，
，
，
又，
，
， ，
，
，
令DH=m，CD=n，则CG=2m，DG=n，
，
，，
，，
，，
，n=2，
，DG=2，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BDG≌△ADC是解题的关键．
29．(1)
(2)
【分析】（1）利用证明，得，得出答案；
（2）利用证明，得，，再证明，得出，即可得到结论．
【详解】（1）解：（1）∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵为的角平分线，
∴，
在和中
∴
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
30．B
【分析】先根据航行速度和时间可得海里，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定即可得．
【详解】由题意得：（海里），
，
，
，
海里，
即处到灯塔的距离为30海里，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
31．
【分析】首先根据勾股定理，可求得的长，再根据折叠的性质及平行线的性质，可证得，据此即可求得结果．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
在中，，，
将一张长方形纸片按图中那样折叠，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等角对等边，证得是解决本题的关键．
32．A
【分析】利用角平分线与垂直证明，从而可得，再利用等角对等边证明，将的周长转化为与的和，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，注意结合图形分析各边之间的关系是解题的关键．
33．B
【分析】根据等腰三角形的性质，画出满足条件的三角形，即可．
【详解】当时，点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，
当，为等腰三角形；
当，为等腰三角形；
当，为等腰三角形；
∴，，满足题意；

当时，存在满足条件的点只有一个；
∴；

当，存在满足条件的点只有个；
当，为等腰三角形；
当，为等腰三角形；

当时，存在满足条件的有三个点；
当，为等腰三角形；
当，为等腰三角形；
当，为等腰三角形；

当时，不存在满足条件的点，
∴甲、丙答案合在一起才完整，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，画出满足题意的图形．
34．D
【分析】分别以点为顶点的等腰三角形有种情况，分别为，，，从这三方面考虑点的位置即可；
【详解】解：当时；
以点为圆心，的长为半径作圆，与直线在点两侧各有一个交点，此时点有个；
当时；
以点为圆心，的长为半径作圆，与直线有一个交点，此时点有个；
当时；
作的垂直平分线，与直线有一个交点，此时点有个；
∴满足条件的点总共有个；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点是解题的关键．
35．或或或
【分析】画出图形，分四种情况分别求解．
【详解】解：若，
则；

若，
则，
∴；

若，且三角形是锐角三角形，
则；

若，且三角形是钝角三角形，
则．

综上：的度数为或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论．
36．6
【分析】作出的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和圆的半径相等即可得解．
【详解】解：如图所示，作的垂直平分线，
①作的垂直平分线交的垂直平分线于点，为满足条件的点，
②以点C为圆心，以长为半径画圆，交的垂直平分线于点、，、为满足条件的点，
③分别以点A、B为圆心，以长为半径画圆，交的垂直平分线于点，为满足条件的点，
④分别以点A、B为圆心，以长为半径画圆，交的垂直平分线于点、，、为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．
故答案为6．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键．
37．B
【分析】根据等腰三角形的判定与性质证得CD是AB的垂直平分线，则有AE=BE，∠AED=∠BED，进而得到∠AEC=∠BEC，由翻折性质可得∠AEC=∠AEB=∠BEC=120°，∠ACE=∠AFE，CE=EF，进而求解即可解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝42°，
∴AC=BC，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，∠ACE=90°-∠BAC=48°，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠AED=∠BED，则∠AEC=∠BEC，
由翻折性质可得∠AEC=∠AEB，∠ACE=∠AFE，CE=EF，
∴∠AEC=∠AEB=∠BEC=120°，∠AFE=48°，
∴∠CFE=∠FCE=（180°－∠BEC）÷2=30°，
∴∠CFB=∠AFE+∠CFE=48°+30°=78°，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、翻折性质、直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握翻折性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
38．
【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，证明，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．
【详解】解：如图，连接、，
为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
点在的垂直平分线上，
，
，
将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，，
故答案为：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
39．①③##③①
【分析】证明垂直平分，得出，即可证明，即可判断①；
设，则，得出，求出，得出，证明，即可判断③；
求出，，得出，得出与不一定全等，即可判断②；
根据，得出，从而得出，即可判断④．
【详解】解：∵在中，D是的中点，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴与不一定全等，故②错误；
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的有①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形面积的计算，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
40．(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）两次运用同角的余角相等证明，得；
（2）①过E作于H，分别证明和是等腰直角三角形即可；②根据题意得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可．
【详解】（1）证明：
，即，
又，
在和中，
，
；
（2）①如图，过点E作于H，则是等腰直角三角形，

∵平分
∴是等腰直角三角形，
②∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
又∵，，
∴平分．
【点睛】本题考查了三角形全等、等腰直角三角形的性质和判定，角平分线的判定，证明边和角相等时，一般就证明边和角所在的三角形全等即可．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑