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5.1.2数列中的递推
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
例如右图是钢管堆放示意图，请问第n层的钢管数与第n-1层钢管数之间满足怎样的关系式呢？由此，你能说出第n层的钢管数吗？
这运用到数列中哪些知识点呢？本节课我们来学习一下吧.
1.了解递推公式是给出数列的一种方法.
2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前n项
（重点）
3.掌握由数列的前n项求数列的通项公式的方法.（难点）
探究点1：数列的递推关系
问题1：如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？
观察
1，3， 6，10，15，…
中数字出现的规律，写出第8个数.
1
3
6
10
15
+2
+3
+4
+5
+6

【提示】将数列记作，那么相当于是给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项.
问题1：用数列怎么描述这种规律？
根据观察可知
追问1：你能得出数列的第项与第项之间的关系式吗？
追问2：前面数列的每一项可以由关系式确定吗？
【提示】若已知，则该数列可确定.
数列的递推关系
如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）.
数列的递推关系是表示数列的另一种方法.
例1.分别出下列数列{}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项.
（1） 1,2,4,7,11，…；
（2） -1,2,5,8,11，…；
（3） 1,-2,4,-8,16，….
【解析】(1)因为 ，
，
，
，
观察相邻项之间的关系.
所以，，
即
易知 ，
【解析】(2)因为 ，
所以
即
易知
（2） -1,2,5,8,11，…；
【解析】(3)因为 ，
所以
易知
（3） 1,-2,4,-8,16，….
跟踪训练：
1.数列{}对任意n∈N+满足，且，
则等于（　　）
A.24 B .27 C.30 D.32
2.已知{}满足,,则=_____,由前5项猜想=______.
63
2n+1-1
B
例 2：意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长大成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡.由1对新生小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}，试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列{Fn}的递推关系.
【解析】将题意转化为右图
根据题意可知，前2个月内，小兔子(小1)长成大兔子(大1)，因此
第3个月时，第1个月的那对小兔子(大1)会生1对小兔子(小2)，因此
第4个月时，第1个月的那对小兔子(大1)会再生1对小兔子(小3) ，因此
第5个月时，除了第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子外，第3个月出生的那对小兔子(大2)也会生1对小兔子(小5) ，因此
第6个月时，第1个月的那对小兔子(大1) 、第3个月出生的小兔子(大2)以及第4个月出生的小兔子(大3) ，都会生1对小兔子(小6、小7、小8) ，因此
一般地，当时，第个月的兔子对数，应该等于第个月的兔子对数加上新生的兔子对数，又又因为第个月的兔子对到了第个月都能生1对兔子，因此有
.
这个数列通常称为斐波那契数列： 1，1，2，3，5，8，…
通项公式为
因为，恰好是黄金分割比，所以斐波那契数列也称为黄金数列.
1.在数列{}中，，，且(n∈N*），则为（　　）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
跟踪训练：
2.观察下列各式；
， ，4 ，7 ，11 ，…，
则_________.
D
123
探究点2：数列的前项和
问题1：已知某电子书，今年上半年每个月的销售量构成数列，
220，530，950，1360，1820，2350
假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列，除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？
【提示】作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即
220+530+950+1360+1820+2350=7230
数列求和
数列的前 项和
一般地，给定数列{}，称
为数列{}的前项和.
例如，对于问题1中的数列220，530，950，1360，1820，2350来说，
，
，
.
问题2：已知数列{}，的前项和为
=2+1.
你能写出，，吗？
【提示】∵==3，又∵ =，∴=3.
∵ ==5，又∵ =+， ∴ =
∵ ==7，又∵ =++=+， ∴ = =7-5=2.
追问：你发现规律了吗？如何来求呢？
一般地，如果数列{}的前项和为，那么当时，有
=
=
通项与前项和的关系
由此可得，
【解析】因为时，
=，
又因为
所以
下面我们来求问题2中的数列的通项公式.
例3.已知数列的前项和为，求数列的通项公式.
【解析】当时，
当时，
=，
又因为也满足上式
所以.
(1)当时，；
(2)当时，根据写出，化简；
(3)如果满足通项公式，那么数列{}的通项公式为；
如果不满足通项公式，那么数列{}的通项公式要分段表示为
总结
已知前项和求通项公式的步骤
本节我们主要学习了：
1.数列的递推公式
2.数列的前项和
通项与前项和的关系

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