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等差数列的前n项和公式及相关性质
【知识点梳理】
一、等差数列的前n项和公式
(1)等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 Sn＝ Sn＝na1＋
(2)两个公式的关系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d.
温馨提醒　Sn＝与Sn＝na1＋d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择、应用.当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋d.
二、等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.
(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
(4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，
S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0).
(5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝－an＋1，＝(S奇≠0).
(6)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).
【典例分析】
例1 在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
解　(1)法一　由已知条件得
解得
∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210.
法二　由已知条件得
∴a1＋a10＝42，
∴S10＝＝5×42＝210.
(2)S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6.
∴Sn＝＝
＝＝510.
∴n＝20.
训练1 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2 021，S6－2S3＝18，则S2 023＝(　　)
A.－2 021 B.2 021
C.2 022 D.2 023
(2)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(　　)
A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
答案　(1)D　(2)BC
解析　(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵a1＝－2 021，S6－2S3＝18，
∴6a1＋·d－6a1－2×·d＝18，
整理可得9d＝18，解得d＝2.
则S2 023＝2 023×(－2 021)＋×2＝2 023.故选D.
(2)由a1＋a15＝2a8，得a1＋a8＋a15＝3a8是定值，可得a8是定值，
S15＝×15×(a1＋a15)＝15a8，
故S15为定值，故选BC.
例2 (1)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于(　　)
A.10 B.100 C.110 D.120
答案　B
解析　∵{an}是等差数列，a1＝1，
∴也是等差数列且首项为＝1.
又－＝2，
∴的公差是1，
∴＝1＋(10－1)×1＝10，
∴S10＝100.
(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
解　法一　在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
法二　在等差数列中，，，成等差数列，
所以＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(3)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值.
解　＝＝＝＝＝.
训练2 (1)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则下列数列为等差数列的是(　　)
A.Sn，S2n，S3n
B.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n
C.，，
D.，，
答案　BC
解析　由于Sn＝na1＋，S2n＝2na1＋，S3n＝3na1＋，
S2n－Sn＝na1＋－，
S3n－S2n＝na1＋－，
显然Sn，S2n，S3n不成等差数列，
且2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)＝2na1＋n(3n－1)d，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等差数列.
由Sn＝na1＋，
得＝a1＋，
所以，，成等差数列.
(2)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果＝(n∈N*)，则的值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由等差数列前n项和的性质，得
＝＝＝
＝＝＝.
(3)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________.
答案　10
解析　因为等差数列共有2n＋1项，
所以S奇－S偶＝an＋1＝，
即132－120＝，解得n＝10.
例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)
＝56＋2n2－15n.
∴Tn＝
训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2＝16，S4＝24，得
即　解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N*).
由an≥0，解得n≤5，则
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an
＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)
＝n2－10n＋50，
故Tn＝
【针对性训练】
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝(　　)
A.16 B.24 C.36 D.48
答案　D
解析　设数列{an}的公差为d，则Sn＝＋d，所以S4＝2＋6d＝20，
解得d＝3，所以S6＝3＋15d＝48.
2.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(　　)
A.138 B.135 C.95 D.23
答案　C
解析　由a2＋a4＝2a3＝4，得a3＝2，
由a3＋a5＝2a4＝10，得a4＝5，故公差d＝3，
所以a1＝－4，
则S10＝10×(－4)＋×10×9×3＝95.
3.在等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两个根，则数列{an}的前11项的和为(　　)
A.22 B.－33
C.－11 D.11
答案　D
解析　由题意a5＋a7＝2，
又S11＝，a5＋a7＝a1＋a11，
∴S11＝11.
4.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　＝＝＝＝＝＝.
5.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案　B
解析　由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，
∴4(a1＋an)＝280，
∴a1＋an＝70.
又Sn＝＝·70＝210，∴n＝6.
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2，n∈N*，则a1＝________，d＝________.
答案　1　2
解析　因为等差数列{an}中，Sn＝n2，
所以a1＝S1＝1，
因为a1＋a2＝4，
所以a2＝3，d＝2.
7.《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算).
答案　
解析　由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，
设其公差为d，则S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.
故该女子织布每天增加尺.
8.等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________.
答案　75
解析　因为an＝2n＋1，所以a1＝3，
所以Sn＝＝n2＋2n，
所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋×1＝75.
9.等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
解　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2
＝2n＋10.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，
d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，
即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去).
故n＝11.
10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
解　法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
∴
解得
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝－110.
法二　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，
设公差为d，
∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，
解得d＝－22，
∴前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110.
法三　直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可得S110＝－110.
11.把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是________.
答案　35
解析　设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，
则由解得
12.已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7∶6，则中间项为________.
答案　29
解析　因为n为奇数，
所以＝＝，解得n＝13，
所以S13＝13a7＝377，所以a7＝29.
故中间项为29.
13.已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解　a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*).
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
(1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝Sn＝－n2＋n；
(2)当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2－
＝n2－n＋3 502.
故Tn＝
14.若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则an＝________，＋＋…＋＝________.
答案　4(n＋1)2　2n2＋6n
解析　令n＝1，得＝4，故a1＝16.
当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1).
与已知式相减，得＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2.
∴an＝4(n＋1)2.
又∵n＝1时，a1满足上式，
∴an＝4(n＋1)2(n∈N*).
∴＝4n＋4，
∴＋＋…＋＝
＝2n2＋6n.等差数列的前n项和公式及相关性质
【知识点梳理】
一、等差数列的前n项和公式
(1)等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 Sn＝ Sn＝na1＋
(2)两个公式的关系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d.
温馨提醒　Sn＝与Sn＝na1＋d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择、应用.当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋d.
二、等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.
(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
(4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，
S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0).
(5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝－an＋1，＝(S奇≠0).
(6)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).
【典例分析】
例1 在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
变式训练1 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2 021，S6－2S3＝18，则S2 023＝(　　)
A.－2 021 B.2 021
C.2 022 D.2 023
(2)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(　　)
A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
例2 (1)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于(　　)
A.10 B.100 C.110 D.120
变式训练2 (1)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则下列数列为等差数列的是(　　)
A.Sn，S2n，S3n
B.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n
C.，，
D.，，
(2)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果＝(n∈N*)，则的值是(　　)
A. B. C. D.
(3)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________.
例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
变式训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
【针对性训练】
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝(　　)
A.16 B.24 C.36 D.48
2.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(　　)
A.138 B.135 C.95 D.23
3.在等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两个根，则数列{an}的前11项的和为(　　)
A.22 B.－33
C.－11 D.11
4.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝(　　)
A. B. C. D.
5.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2，n∈N*，则a1＝________，d＝________.
7.《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算).
8.等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________.
9.等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.
10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
11.把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是________.
12.已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7∶6，则中间项为________.
13.已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
14.若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则an＝________，＋＋…＋＝________.

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