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2.6.2 菱形的判定
素养目标
1.会用菱形的定义来判定一个四边形为菱形.
2.探究菱形的判定定理,会判定一个四边形为菱形.
3.能解决与菱形相关的简单几何问题.
◎重点:菱形的判定定理.
预习导学
知识点一 菱形的判定定理1
阅读课本本课时“例2”及其前面的内容,回答下列问题.
1.回顾菱形的定义:有一组　 　相等的　 　是菱形.
2.思考:(1)四条边都相等的四边形是不是平行四边形 理由是什么
(2)四条边相等的四边形是不是有一组邻边相等的平行四边形
3.揭示概念:四条边都相等的四边形是　 　.
【答案】1.邻边　平行四边形
2.(1)是的.两组对边相等的四边形是平行四边形. (2)是的.
3.菱形
学法指导　根据菱形的定义,可以判定一个四边形是菱形.
知识点二 菱形的判定定理2
阅读课本本课时第二个“动脑筋”至“练习”间的内容,回答下列问题.
1.如图,若四边形ABCD为平行四边形,且对角线AC⊥BD,
(1)思考:由平行四边形对角线相互平分可知OB=OD,则AB与AD相等吗 为什么
(2)讨论:对角线相互垂直的平行四边形是不是有一组邻边相等的平行四边形 能不能满足菱形的定义呢
2.揭示概念:对角线互相垂直的平行四边形是　 　.
3.思考:(1)在课本“例3”中,如何证明四边形ABCD为菱形
(2)为何要先证明四边形ABCD为菱形
【答案】1.(1)由勾股定理可知AB2=OA2+OB2,AD2=OA2+OD2,所以AB=AD.
(2)是的,满足.
2.菱形
3.(1)证明平行四边形ABCD对角线互相垂直.即满足菱形的判定条件.
(2)证明四边形ABCD为菱形,才能运用菱形的性质求AB的长.
合作探究
任务驱动一 菱形的判定
1.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,要使它成为菱形,那么需要添加的条件可以是
( )
A.AC⊥BD
B.AB=AC
C.∠ABC=90°
D.AC=BD
2.(过程性学习与菱形的判定)小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流.
小惠:证明:∵AC⊥BD,OB=OD, ∴AC垂直平分BD,∴AB=AD,CB=CD, ∴四边形ABCD是菱形. 小洁: 这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.
若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.
3.如图,在△ABC中,D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:
①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC.
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是哪一个
【答案】1.A
2.解:(条件不唯一)赞成小洁的说法,补充条件:OA=OC.
证明如下:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
3.解:由题意得BD=CD,ED=FD,
∴四边形EBFC是平行四边形.
∵邻边相等或对角线垂直的平行四边形是菱形,要使得AD⊥BC,
∴选择AB=AC,
∴选择条件③,使四边形BECF是菱形.
任务驱动二 菱形的判定与性质
4.如图,△ABC与△CDE都是等边三角形,E,F分别为AC,BC的中点.
(1)求证:四边形EFCD是菱形.
(2)若AD=8,则求D,F两点之间的距离.
【答案】4.解:(1)证明:∵E,F分别为AC,BC的中点,
∴EF=AB,CE=AC,CF=BC.
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∴EF=CE=CF.
∵△CDE为等边三角形,
∴CD=DE=CE,
∴CD=DE=EF=CF,故四边形EFCD是菱形.
(2)如图,连接AD,DF.
∵AE=EF,∠AED=∠FED=120°,DE=ED,
∴△AED≌△FED,∴DF=AD=8.
方法归纳交流　判定四边形EFCD是菱形后,就可以运用菱形具有的所有性质,推理并计算DF的长.
2

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