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2.7 第2课时 正方形的判定
素养目标
1.理解正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系.
2.掌握正方形不同的判定方法,能根据已知条件选择正确的方法判定正方形.
3.能利用特殊平行四边形的性质与判定解决相关的几何问题.
◎重点:正方形的判定方法.
预习导学
知识点一 平行四边形与特殊平行四边形的关系
1.思考:特殊的平行四边形有哪些
2.操作:与小组内同学讨论四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系,试完成下面的关系图.
【答案】1.矩形、菱形、正方形.
知识点二 正方形的判定
阅读课本本课时“说一说”与“例2”中的内容,回答下列问题.
1.思考:(1)如果一个四边形不是平行四边形,这个四边形会是正方形吗
(2)如果一个平行四边形不是矩形,有可能是正方形吗
(3)如果一个平行四边形不是菱形,有可能是正方形吗
学法指导　正方形是所有平行四边形中性质最多的.因此,要判定一个四边形是正方形,需要的条件也是最多的.我们可以尝试先判定一个四边形是矩形或者菱形,再去判定这个四边形是正方形.
2.(1)讨论:一个矩形要同时满足哪个特殊平行四边形的条件才能是正方形
(2)结论:有一组　 　相等的矩形是正方形;　 　的矩形是正方形.
3.(1)讨论:一个菱形要同时满足哪个特殊平行四边形的条件才能是正方形
(2)结论:有一个角是　 　的菱形是正方形;对角线　 　的菱形是正方形.
学法指导　要判定一个四边形是正方形,根据不同的已知条件可以产生很多种不同的判定方法,比较难记忆.事实上,我们只需要抓住同时满足矩形与菱形的判定条件的四边形是正方形即可.
【答案】1.(1)不是.
(2)不可能.
(3)不可能.
2.(1)菱形.
(2)邻边　对角线垂直
3.(1)矩形.
(2)直角　相等
合作探究
任务驱动一 正方形的判定
1.下列命题中,正确的是 ( )
A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.一组邻边相等的菱形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形
2.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是 ( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
3.在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AB,CA上,且DE∥AC,DF∥AB,连接EF,则下列三种说法:
①如果EF=AD,那么四边形AEDF是矩形;
②如果EF⊥AD,那么四边形AEDF是菱形;
③如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是正方形.
其中正确的有 ( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
4.如图,在矩形ABCD中,点E在对角线AC上,点F在边CD上(点F与点C,D不重合),BE⊥EF,∠ABE+∠CEF=45°.
(1)求∠1+∠2的度数.
(2)求证:四边形ABCD是正方形.
【答案】1.D　2.D　3.B
4.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,∴∠ABE+∠1=90°.
∵BE⊥EF,∴∠CEF+∠2=90°.
∵∠ABE+∠CEF=45°,
∴∠1+∠2=90°+90°-45°=135°.
(2)证明:∵∠1+∠2+∠ACB=180°,
∴∠ACB=180°-(∠1+∠2)=180°-135°=45°.
∵∠ABC=90°,∠BAC+∠ACB=90°,
∴∠BAC=90°-∠ACB=90°-45°=45°,
∴∠ACB=∠BAC,∴AB=BC,∴矩形ABCD是正方形.
任务驱动二 正方形的性质与判定
5.如图,Rt△ABC两条外角平分线交于点D,∠B=90°,过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F.
(1)求证:四边形BFDE是正方形.
(2)若BF=6,C为BF的中点,求AE的长.
【答案】5.解:(1)证明:如图,过点D作DH⊥AC交AC于点H.
∵DE⊥BA,DF⊥BC,
∴∠E=∠F=∠B=90°,
∴四边形BFDE是矩形.
∵AD平分∠EAC,DE⊥BA,∴DE=DH.
∵CD平分∠ACF,DF⊥BC,DH⊥AC,
∴DH=DF,∴DE=DF,
∴矩形BFDE是正方形.
(2)∵DH⊥AC,
∴∠AHD=∠DHC=90°.
由(1)得∠E=∠F=90°,DE=DH,DH=DF,
∴∠AHD=∠DHC=∠E=∠F=90°.
在Rt△AED和Rt△AHD中,
∴Rt△AED≌Rt△AHD(HL),
∴AE=AH.
同理可以证明Rt△DHC≌Rt△DFC(HL),
∴CH=CF.
∵BF=6,C为BF的中点,
∴BC=CF=CH=3.
∵四边形BFDE是正方形,
∴BE=BF=6.
设AE=x,则AB=BE-AE=6-x,AC=AH+CH=x+3.
由勾股定理得AB2+BC2=AC2,
∴(6-x)2+32=(x+3)2,
解得x=2,∴AE的长为2.
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