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4.2 一次函数
素养目标
1.通过几个实例,理解一次函数的概念.
2.明确正比例函数的概念,知道正比例函数是一次函数的特殊形式.
3.理解一次函数的特征,能识别实际问题中的一次函数关系.
◎重点:一次函数的概念.
预习导学
知识点一 一次函数的概念
阅读课本本课时“动脑筋”至“说一说”后面两段文字,回答下列问题.
1.思考:(1)在“问题1”中,由于电费=单价×用电量,故y=　 　.
(2)在“问题2”中,当x=0时,弹簧原长为　 　cm;挂上x(kg)重物后,弹簧伸长　 　cm,故y与x的函数表达式为　 　.
2.(1)类比:回顾多项式的相关概念,形如7t-35,h-105,0.1x+22,-5x+50都是　 　次　 　项式.
(2)结论:上述两个函数表达式中,等号的右边都是关于x的　 　式.
3.揭示概念:一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做　 　.
学法指导　对于函数表达式中的多项式kx+b(k≠0),由于k与b代表的是常数,所以我们将kx+b看作是关于x的一次二项式.
4.讨论:当b=0时,一次函数y=kx(k是常数,k≠0),=　 　,这个比值　 　(填“发生”或“不发生”)变化.
【答案】1.(1)0.8x
(2)10　0.5x　y=10+0.5x
2.(1)一　二
(2)一次
3.一次函数
4.k　不发生
归纳总结　形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做　 　函数,其中　 　叫做比例系数.
【答案】正比例　k
学法指导　正比例函数　 　一次函数,一次函数　 　正比例函数.
【答案】一定是　不一定是
知识点二 一次函数的特征
阅读课本本课时所有内容,回答下列问题.
1.讨论:(1)在“动脑筋”第一个问题中,居民每多使用一度电,即用电量x(kW·h)每增加1 kW·h,则电费y(元)　 　元;
(2)在“动脑筋”第二个问题中,弹簧上所挂重物x(kg)每增加1 kg,则弹簧的长度y(cm)　 　cm;
(3)在“例”中,高出地面x(km)每升高1 km,则气温y(℃)　 　℃.
2.揭示概念:在实际问题中,一次函数模型的特征是因变量随自变量的变化是　 　.
【答案】1.(1)增加0.8
(2)增加0.5
(3)下降6
2.均匀的
对点自测　下列问题中,变量y与x一定成一次函数关系的是 ( )
A.路程一定,时间y与速度v的关系
B.单价为2元的签字笔,收入y元与销售数量x支的关系
C.圆的面积与它的半径x
D.学校操场一圈400米,小明跑步的路程s与所用时间t的关系
【答案】B
合作探究
任务驱动一 一次函数的概念
1.下列说法正确的是 ( )
A.正比例函数是一次函数
B.一次函数是正比例函数
C.正比例函数不是一次函数
D.不是正比例函数的就一定不是一次函数
【答案】1.A
变式训练　下列函数中,既是一次函数又是正比例函数的是 ( )
A.y=3x2 B.y=3x
C.y=3x-2 D.y=-
【答案】B
2.已知函数y=(m-2)x2-|m|+m+1.
(1)当m为何值时,y是x的正比例函数
(2)当m为何值时,y是x的一次函数 并求出函数表达式.
【答案】2.解:(1)m=-1.
(2)当m=1时,y=-x+2;当m=-1时,y=-3x.
任务驱动二 实际问题中的一次函数
3.已知等腰三角形的周长为12,设腰长为x,底边长为y.
(1)试写出y关于x的函数表达式,并直接写出自变量x的取值范围.
(2)y　　　(填“是”或“不是”)关于x的一次函数.
(3)当x=5时,求出y的值.
4.容积为800升的水池内已贮水200升,每分钟注入的水量是15升,设池内的水量为Q(升),注水时间为t(min).
(1)请写出Q与t的函数表达式.
(2)注水多长时间可以把水池注满
(3)当注水时间为0.2 h时,池中水量是多少
【答案】3.解:(1)由题意得12=2x+y,
∴y关于x的函数表达式为y=12-2x(3(2)是.
(3)由(1)得y=12-2x,
∴当x=5时,y=2.
4.解:(1)Q=200+15t.
(2)令200+15t=800,解得t=40,即注水40 min可以把水池注满.
(3)380升.
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