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1.2 第3课时 勾股定理的逆定理
素养目标
1.通过实践操作活动,让学生认识勾股定理的逆定理.
2.利用三角形三边平方的等量关系去判定三角形的形状.
3.勾股数的记忆与应用.
◎重点:1.勾股定理的逆定理及其应用.
2.利用直角三角形的勾股数解决实际的计算问题.
预习导学
知识点一 勾股定理的逆定理及证明
阅读课本本课时“例3”之前的所有内容,回答下列问题.
1.每个命题都有　 　命题,只要把一个命题的条件和结论 ,就可以得出它的　 　命题.
2.勾股定理的条件:在直角三角形中,两直角边分别是　 　,斜边是c,结论:　 　.
3.“探究”中已知三边长分别为a,b,c,而且知道三边长满足关系　 　,所以最长边是　 　,三个角都是　 　,结论:三角形是　 　三角形.
4.“探究”的证明构造了一个直角三角形,而且两直角边分别是　 　,利用勾股定理得出斜边为　 　,根据　 　得出构造的三角形与已知三角形　 　,所以∠C=　 　.
【答案】1.逆　互换　逆
2.a,b　a2+b2=c2
3.a2+b2=c2　c　未知的　直角
4.a,b　c　SSS　全等　90°
归纳总结　勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a,b,c满足关系:　 　,那么这个三角形是　 　三角形.
【答案】a2+b2=c2　直角
温馨提示　(1)2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n是自然数)是直角三角形的三条边长.
(2)m2-n2,m2+n2,2mn(m>n,m、n是自然数)是直角三角形的三条边长.
对点自测　(1)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.a2=c2-b2
D.a∶b∶c=3∶4∶6
(2)下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是直角三角形的是 ( )
A.a=1.5,b=2,c=3
B.a=7,b=24,c=25
C.a=6,b=8,c=10
D.a=3,b=4,c=5
【答案】(1)D (2)A
知识点二 勾股数、勾股定理的逆定理的应用
阅读课本本课时“例3”和“例4”的内容,回答下列问题.
1.两条较短边长的　 　等于　 　的平方的三角形是直角三角形.
2.一组勾股数含有　 　个数,且都是　 　数,且满足a2+b2=c2.
3.“例4”中利用 可得△ABD是直角三角形,于是DC的长就可在Rt△ADC中利用 求出结果.
【答案】1.平方和　最长边
2.3　正整
3.勾股定理的逆定理　勾股定理
归纳总结　满足　 　的三个　 　数叫做勾股数.
【答案】a2+b2=c2　正整
对点自测　下列各组数中不是勾股数的是 ( )
A.3,4,5
B.4,5,6
C.5,12,13
D.6,8,10
【答案】B
合作探究
任务驱动一 网格中勾股定理的逆定理的应用
1.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,小明以格点为顶点画出了△ABC.
(1)小华看了看说,△ABC是直角三角形,你同意他的观点吗 说明理由.
(2)求△ABC的面积.
【答案】1.解:(1)我同意他的观点.
理由:由图可得,AB==,BC==,AC===2,
∴AB2+BC2=20=AC2,
∴△ABC是直角三角形.
(2)由(1)知,△ABC是直角三角形,AB=,BC=,∠ABC=90°,
∴△ABC的面积为AB·BC=××=5,
即△ABC的面积为5.
任务驱动二 勾股定理的逆定理的应用
2.如图,已知△ABC的周长为4+2,AB=4,AC=+.
(1)判断△ABC的形状.
(2)若CD为边AB上的中线,DE⊥AB,∠ACB的平分线交DE于点E,交AB于点F,连接BE.求证:DC=DE.
【答案】2.解:(1)△ABC是直角三角形.理由如下:∵△ABC的周长是4+2,AB=4,AC=+,∴BC=4+2-4-(+)=-,
∵(+)2+(-)2=42,
∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.
(2)证明:过点C作CM⊥AB于点M,∵DE⊥AB,∴CM∥DE,∴∠DEF=∠MCF.又∵AD=CD,∴∠A=∠ACD.∵∠BCM=∠A,∴∠ACD=∠BCM.∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE,∴∠DCF=∠MCF,∴∠DCF=∠DEF,∴DC=DE.
方法归纳交流　先根据勾股定理的逆定理判定出　 　三角形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的　 　,并结合等腰三角形的性质将线段进行转移,从而证明线段　 　,主要学习解题的转移思想,将证明线段相等转移到证　 　相等.
【答案】直角　一半　相等　角
任务驱动三 勾股定理的逆定理与面积
3.如图,这是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案,现在有五种正方形纸片,面积分别是2,3,4,5,6,选取其中三块(可重复选取),按如图所示的方式组成图案,使所围成的三角形是直角三角形,则选取的三块纸片的面积不可以是 ( )
A.3,4,5　　　B.2,2,4
C.3,3,6 D.2,4,6
4.如图,在△ABC中,AC=8,BC=6.在△ABE中,DE为AB边上的高,DE=12,△ABE的面积S=60.
(1)求AB边的长.
(2)你能求出∠C的度数吗 请试一试.
【答案】3.A
4.解:(1)∵DE=12,S△ABE=DE·AB=60,∴AB=10.(2)∵AC=8,BC=6,62+82=102,∴AC2+BC2=AB2,由勾股定理逆定理得∠C=90°.
方法归纳交流　本题实现知识转移,将△ABE利用共边的性质转移到　 　,将三角形的面积公式和勾股定理的逆定理综合应用求解.
【答案】△ABC
2

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