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2.2.1 第2课时 平行四边形对角线的性质
素养目标
1.通过推理证明理解平行四边形对角线的性质.
2.能运用平行四边形对角线的性质解决相关几何问题.
◎重点:平行四边形对角线互相平分.
预习导学
知识点 平行四边形对角线的性质
阅读课本本课时所有内容,解决下列问题.
1.旧知回顾:平行四边形对角　 　,对边　 　且　 　.
2.课堂活动:下图是一个平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,试用直尺分别量一量线段OA,OB,OC,OD的长度,并写出一个结论.
3.思考:(1)若已知平行四边形ABCD,则AB　 　CD,且AB　 　CD,△AOB与△COD有什么关系呢 请简要说明理由.
(2)若已知平行四边形ABCD,则AD　 　BC,且AD　 　BC,△AOD与△BOC有什么关系呢
(3)由(1)与(2)可知AO　 　OC,OB　 　OD.
4.揭示概念:平行四边形的对角线互相　 .
学法指导　现在,我们知道平行四边形对角相等,对边相等,对角线相互平分三条性质.平行四边形的定义,对边相互平行,也可以作为性质使用.在解决相关的几何问题时,若已知一个四边形为平行四边形,我们常常需要综合考虑和运用这些性质.
5.讨论:(1)课本“例3”中,为了计算△COD的周长,哪几条边需要根据 ABCD的对角线的长度求得
(2)课本“例4”中,为了证明两个三角形全等,运用平行四边形对角线的性质获得了什么条件 其他条件是如何获得的
【答案】1.相等　平行　相等
2.OA=OC,OB=OD.
3.(1)=　∥
全等.由AB平行CD可知∠ABO=∠CDO,又因为∠AOB=∠COD,AB=CD,所以△AOB≌△COD(AAS).
(2)=　∥ 全等.
(3)=　=
4.平分
5.(1)OC与OD,它们都是 ABCD对角线长的一半.
(2)OB=OD,其他条件是根据平行四边形ABCD对边相互平行以及对顶角相等获得的.
合作探究
任务驱动一 求线段的长
1.如图,在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=12,BD=10,AB=m,那么m的取值范围是 ( )
A.10B.2C.1D.52.如图, ABCD的周长为60 cm,对角线AC,BD相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长多8 cm,求这个平行四边形各边的长.
【答案】1.C
2.解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,AO=OC.
∵AB+CD+AD+BC=60 cm,∴AB+BC=30 cm.
AO+AB+OB-(OB+BC+OC)=8 cm,
∴AB-BC=8 cm.
∴AB=CD=19 cm,BC=AD=11 cm.
方法归纳交流　(1)平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半.(2)平行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.
任务驱动二 相关的证明
3.(平分土地与平行四边形)如图1,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:AE=CF.
(2)如图2,若四边形ABCD是老张家的一块平行四边形田地.P为水井,现要把这块田地平均分给两个儿子,为了用水方便,要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻.请你帮老张家设计一下.画出图形,不需要说明理由.
【答案】3.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,OA=OC,∴∠DAC=∠BCA.
在△AOE 和△COF中,∠DAC=∠BCA,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA),∴AE=CF.
(2)设计图形如下:
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