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2.5.2 矩形的判定
素养目标
1.会用矩形的定义来判定一个四边形为矩形.
2.探究两个矩形的判定定理,会证明一个四边形为矩形.
3.能解决与矩形相关的几何问题.
◎重点:矩形的判定定理.
预习导学
知识点一 矩形的判定定理1
阅读课本本课时第一个“动脑筋”,回答下列问题.
1.思考:(1)一个四边形有三个角都是直角,那么第四个角是什么角 为什么
(2)如图,四边形ABCD四个内角都为直角,则有∠A+∠B=　 　°,∠A+∠D=　 　°,则四边形ABCD的两组对边有什么位置关系 四边形ABCD是什么四边形.
2.回顾矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是　 　.
3.结论:有三个角是直角的四边形　 　矩形的定义.(填“满足”或“不满足”)
【答案】1.(1)根据四边形的内角和为360°,可知第四个角也是直角.
(2)180　180
分别平行.平行四边形.
2.矩形
3.满足
学法指导　此处,我们可以发现该判定定理的前提条件与矩形定义的条件是可以相互推理转化的.但是,运用该判定定理可以直接证明一个满足条件的四边形是矩形,不必先说明它满足矩形的定义,再说明它是矩形.
归纳总结　矩形的判定定理:有　 　的四边形是矩形.
【答案】三个角是直角
知识点二 矩形的判定定理2
阅读课本本课时第二个“动脑筋”至“例2”中的内容,回答下列问题.
1.如图,若 ABCD的对角线AC=BD,思考:
(1)△ABC与△ABD全等吗 为什么
(2)由(1)可知∠DAB=　 　,由AD∥BC可知∠DAB+　 　=　 　,于是,这两个角都是　 　.
(3)结论:对角线相等的平行四边形,一定有一个内角是　 　,即满足矩形的定义.
2.揭示概念:对角线相等的平行四边形是　 　.
【答案】1.(1)全等,根据AD=BC,AB=BA,AC=BD,再由SSS可判定这两个三角形全等.
(2)∠CBA　∠CBA　180°　直角
(3)直角
2.矩形
合作探究
任务驱动一 矩形的判定
1.(过程性学习与矩形的判定)证明:有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°,
∴AD∥BC,AB∥DC(①),
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠B=90°,
∴四边形ABCD是矩形(②).
在证明过程中,依据①、②分别表示 ( )
A.①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示对角线相等的平行四边形是矩形
B.①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
C.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
D.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示对角线相等的平行四边形是矩形
2.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是 ( )
A.AB=BE B.BE⊥DC
C.∠ADB=90° D.CE⊥DE
【答案】1.B 2.B
任务驱动二 矩形的判定与证明
3.如图,在 ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,求证:四边形BEDF是矩形.
4.如图,将 ABCD的边AB延长至点E,使AB=BE,连接DE,EC,DE交BC于点O.
(1)求证:△ABD≌△BEC.
(2)连接BD,若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形.
【答案】3.证明:由 ABCD可知,AB∥CD,
∵DF=BE,
∴四边形BEDF为平行四边形.
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,
∴四边形BEDF为矩形.
4.证明:(1)在平行四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,AB∥CD,则BE∥CD.
又∵AB=BE,
∴BE=DC,
∴四边形BECD为平行四边形,
∴BD=EC.
∴在△ABD与△BEC中,
∴△ABD≌△BEC(SSS).
(2)由(1)知,四边形BECD为平行四边形,则OD=OE,OC=OB.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.
又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,
∴∠OCD=∠ODC,
∴OC=OD,
∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,
∴平行四边形BECD为矩形.
方法归纳交流　要获取足够证明一个四边形为矩形的条件,往往需要结合图形中其他的条件,进行相关地推理.应根据已知条件,猜测最可能获取到的条件,从而选择合适的判定方法.
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