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2.6.1 菱形的性质
素养目标
1.明确菱形的定义,知道菱形是特殊的平行四边形.
2.知道菱形具有平行四边形的所有性质;探究菱形的特殊性质.
3.知道菱形的对称性,能根据对角线计算菱形的边长、周长、面积.
◎重点:菱形的性质.
预习导学
知识点一 菱形的定义与性质
阅读课本本课时“做一做”及其前面的内容,回答下列问题.
1.明晰概念:有一组邻边　 　的　 　叫做菱形.
2.(1)思考:平行四边形一定是菱形吗 菱形一定是平行四边形吗
(2)结论:菱形　 　(填“具有”或“不具有”)平行四边形的所有性质.
3.探究:如图, ABCD的一组邻边AD=AB,
(1)由 ABCD对边相等可知AD=　 　,AB=　 　,故平行四边形的四条边都　 　;
(2)由AB=AD可知点A在线段BD的 　线上,由BC=CD可知点C在线段BD的　 　线上,即AC　 　BD,同理,BD　 　AC;
(3)由(2)可知在等腰△ABD中,∠DAO等于∠BAO吗 还有几个类似的等腰三角形呢
【答案】1.相等　平行四边形
2.(1)不一定,一定.
(2)具有
3.(1)BC　CD　相等
(2)垂直平分　垂直平分　垂直平分　垂直平分
(3)由三线合一可知相等.还有三个类似的等腰三角形.
归纳总结　(1)菱形具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的特殊性质:四条边都　 　,对角线互相　 　,且每一条对角线　 　.
【答案】相等　垂直　平分一组对角
4.(1)思考:菱形是中心对称图形吗 为什么
(2)课堂操作:沿一个菱形的对角线对折,左右两边的图形能完全重合吗 以其他直线为折痕将菱形对折,能使得折痕左右两边的图形完全重合吗
【答案】4.(1)是的,因为菱形具有平行四边形的所有性质.
(2)能.不能.
归纳总结　菱形　 　中心对称图形,对称中心为　 　;　 　轴对称图形,对称轴有　 　条,即　 　所在的直线.
【答案】是　对角线的交点　也是　2　两条对角线
知识点二 菱形的相关计算
阅读课本本课时第二个“动脑筋”与“例1”中的内容,回答下列问题.
1.讨论:(1)菱形的对角线将菱形分成了四个小三角形,它们的面积相等吗 试根据知识点一中菱形的对角线的性质说一说理由.
(2)如图,若已知菱形的对角线AC与BD的长,则S菱形ABCD=4S△AOB=　 　.
【答案】1.(1)相等.由菱形的对角线互相垂直且平分,可得这四个小三角形的面积相等.
(2)4××OA×OB=AC×BD
归纳总结　菱形的面积等于乘以　 　.
【答案】两条对角线长度的乘积
2.思考:在“例1”中,已知菱形的对角线的长,可运用　 　计算菱形的边长,从而得到菱形的周长.
【答案】2.勾股定理
合作探究
任务驱动一 菱形的性质
1.下列命题中,错误的是 ( )
A.平行四边形的对角线互相平分
B.菱形的对角线互相垂直平分
C.菱形的对角线相等且互相平分
D.菱形的对角线是内角的平分线
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=10,则菱形ABCD的面积为　 　.
【答案】1.C
2.30
任务驱动二 菱形中的几何问题
3.如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,求∠OBC的度数.
4.如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.
(1)求证:△ABE≌△ADF.
(2)若AE=4,CF=2,求菱形的边长.
【答案】3.解:由菱形ABCD可知,AB∥CD,AD∥BC,
∴∠MAO=∠NCO.
∵AM=CN,∠AOM=∠CON,
∴△AOM≌△CON,
∴AO=OC,故点O为菱形ABCD对角线的交点,
∴BO⊥AC.
∵∠DAC=28°,AD∥BC,
∴∠BCO=∠DAC=28°,
∴∠OBC=90°-28°=62°.
4.解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(AAS).
(2)设菱形的边长为x.
∵AB=CD=x,CF=2,∴DF=x-2.
∵△ABE≌△ADF,∴BE=DF=x-2.
在Rt△ABE中,根据勾股定理得,AE2+BE2=AB2,
即42+(x-2)2=x2,解得x=5,
∴菱形的边长是5.
方法归纳交流　在解决与菱形相关的几何问题时,应注意菱形特有的性质(邻边相等,对角线垂直,对角线平分一组内角)的应用,菱形与平行四边形共有的性质往往不是考查的重点.
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