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9.1.2 三角形的内角和与外角和 第2课时
素养目标
1.探索并能说明三角形外角的两条性质.
2.经历探索三角形外角和定理的过程,能说明三角形的外角和等于360°.
3.能利用三角形的外角性质解决实际问题.
◎重点:探索并能说明三角形外角的两条性质及外角和定理.
预习导学
知识点一 三角形外角的性质
请你阅读课本“现在我们讨论”至“与它不相邻的内角”,思考:三角形的外角与内角之间有什么关系
1.观察图形:三角形的外角和它相邻的内角有什么关系呢
∠1+∠BAC=　 　;∠2+∠ABC=　 　;∠3+∠ACB=　 　.
三角形的外角和它相邻的内角是　 　的关系.
2.观察图形:如上图,外角∠1与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢
∵∠1+∠BAC=　 　,∠ABC+∠BAC+∠ACB=　 　.
∴(1)∠1　 　∠ACB+∠ABC;(2)∠1　 　∠ACB,∠1　 　∠ABC.(填“>”“<”或“=”)
3.总结规律:三角形的一个外角等于　 　的和;三角形的一个外角大于　 　的内角.
【答案】1.180°　180°　180°　互补
2.180°　180°
(1)=　(2)>　>
3.和它不相邻的两个内角　任何一个与它不相邻
知识点二 三角形外角和定理
请你阅读课本“与三角形的每个内角”至“练习”上面的内容,思考:三角形的外角和是多少度 如何进行证明
1.三角形的每个内角有几个外角 它们之间有什么关系 一共有几个外角
2.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的　 　.
3.完成课本本节的“做一做”,写出你得到的结论.
4.填写下列解题过程中的推理根据.
如图,在△ABC中,∠A=40°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,∠BDC=70°,求∠C的度数.
对于上述问题,在以下解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式).
解:∵∠BDC=∠A+∠ABD(　 　),
∠A=40°,∠BDC=70°(已知),
∴∠ABD=30°(　 　).
∵BD平分∠ABC(已知),
∴∠ABC=2∠ABD(　 　),
∴∠ABC=60°(　 　).
∵∠A+∠ABC+∠C=180°(　 　),
∠A=40°(已知),∠ABC=60°(已求),
∴∠C=80°(　 　).
【答案】1.三角形的每个内角有两个外角,它们是对顶角;相等;一共有6个外角.
2.外角和
3.∠BCA、∠BAC、∠ABC;
2∠BCA、2∠BAC、2∠ABC;360°;
∠1+∠2+∠3=360°.
由此可以得出:三角形的外角和是360°.
4.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
等式的性质　角平分线的定义　等式的性质　三角形的内角和是180°　等式的性质
合作探究
任务驱动一 1.如图,A、B、C在同一条直线上,B、D、E在同一条直线上,你能说出∠2>∠1的道理吗
变式演练　如图,∠A、∠1、∠2的大小关系是( )
A.∠A>∠1>∠2
B.∠2>∠1>∠A
C.∠A>∠2>∠1
D.∠2>∠A>∠1
方法归纳交流　判断角的大小关系主要根据三角形的外角大于任何与它　 　的内角.
【答案】1.解:∵∠2是△ADB的一个外角,
∴∠2>∠ADB,
又∵∠ADB是△DEF的一个外角,
∴∠ADB>∠1,
∴∠2>∠1.
变式演练　B
方法归纳交流　不相邻
任务驱动二 2.将一副三角板按如图所示的方式摆放,图中角α的度数是 ( )
A.75°
B.90°
C.105°
D.120°
变式演练　将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起,则∠1的度数是 ( )
A.55°
B.65°
C.75°
D.85°
方法归纳交流　三角尺中的角度是固定的,有30°、45°、60°和90°,在以不同的方式摆放时,要注意它们的角度始终不变.
【答案】2.C
变式演练　C
任务驱动三 3.如图,D是BC延长线上一点,∠ABC、∠ACD的平分线交于点E,试探究∠E与∠A有何关系 并证明.
变式演练　如图,在△ABC中,∠A=78°,∠ACD是△ABC的一个外角,∠EBC=∠ABC,∠ECD=∠ACD,则∠E为 ( )
A.22° B.26° C.28° D.30°
【答案】3.解:∠E=∠A.
证明:因为∠ABC、∠ACD的平分线交于点E,
所以∠ECD=∠ACD,∠EBC=∠ABC.
因为∠E=∠ECD-∠EBC,∠A=∠ACD-∠ABC,
所以∠E=(∠ACD-∠ABC)=∠A.
变式演练　B
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