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2024年广东省深圳市中考数学高频易错题精选练习（一）
一、单选题
1．下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．2020和-2020 B．-2020与 C．2020与 D．2020与
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，这是一个带“矮”圆柱形底的半球形的碗，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．某班九名同学在篮球场进行定点投篮测试，每人投篮五次，投中的次数统计如下：4，3，2，4，4，1，5，0，3，则这组数据的中位数，众数分别为( )
A．3，4 B．4，3 C．3，3 D．4，4
5．据招商引资网消息，为加快新区经济发展，新区政府拟新区现代高效农业示范园区，共计划投入资金亿元，精确到千万位可表示为
A． B． C． D．
6．下列运算中结果正确的是（　　）
A．3a+2b=5ab B．﹣4xy+2xy=﹣2xy
C．3y2﹣2y2=1 D．3x2+2x=5x3
7．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
B．对角线相等的四边形一定是矩形
C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D．对角线相等的四边形一定是正方形
9．不考虑优惠，买1本笔记本和3支水笔共需14元，买3本笔记本和5支水笔共需30元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（　　）
A．3元 B．5元 C．8元 D．13元
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足关系式（　　）
A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12
二、填空题
11．若，，那么式子 .
12．若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则 ．
13．已知两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ．
14．（2016福建省莆田市）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小红在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，估计该校学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为 人．
15．如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是 ．
三、解答题
16．先化简，再求值：，其中．
17．（1）计算：.
（2）化简：
18．如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别于CD、AB相交于点E、F．∠1与∠2有怎样的数量关系？为什么？
19．南京到上海铁路长300 km，为了适应两市经济的发展，客车的速度比原来每小时增加了40 km，因此从南京到上海的时间缩短了一半，求客车原来的速度.
20．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲，乙两种图书．经调查，购进甲种图书的费用（元）与本数（本）之间的函数关系如图所示，乙种图书每本元．

(1)求线段和射线的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)若学校准备购买甲种图书本，乙种图书本，求购买两种图书所需的费用．
21．在与中，，，，连接，点为的中点，连接，绕着点旋转．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，与的数量关系是：__________；
（2）如图2，当旋转到点落在的延长线上时，与是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；
（3）旋转过程中，若当时，直接写出的值．
22．某市今年前120天空气质量指数（均为整数）的统计图表（不完整）如下：
空气质量指数
空气质量状况 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染
频数 14 46 40 m 5
(1)求统计表中m的值，并将统计图补充完整．
(2)求该市这120天中空气质量状况达到良以上（含良）的天数占被调查天数的百分比．
(3)已知该市这120天中空气质量状况为优的14天的空气质量指数如下表：
空气质量指数 10 20 30 40 50
天数 1 2 4 5 2
请直接写出这14天的空气质量指数的中位数和众数．
参考答案
1．D
【分析】根据倒数的概念来进行判断即可．
【详解】解：乘积是1的两个数互为倒数，
故选：D．
【点睛】本题考查的是倒数的概念，注意记忆：乘积为1的两个数互为倒数．
2．B
【分析】先分别解出不等式的解，然后求出不等式组的解集，然后对照选项即可得出答案．
【详解】不等式组
解不等式①得， ,
解不等式②得， ,
∴不等式组的解集为 ,用数轴表示为
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴表示不等式组的解集，掌握数轴的相关知识和正确的解不等式组是解题的关键．
3．C
【分析】从上面看，“碗口”是可以看到“圆形”的轮廓线，而“圆柱形底座”是看不见的，用虚线表示，因此选项C中的图形符合题意．
【详解】A项为主视图或左视图，
B项是从下方观察的图案，
C项是俯视图，
D项虚线使用不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识点，着重考查学生的空间想象思维．
4．A
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】从大到小排列此数据为：5、4、4、4、3、3、2、1、0，数据4出现了三次最多为众数；
3处在第5位，所以3为中位数．
所以本题这组数据的中位数是3，众数是4.
故选A.
【点睛】本题考查了数据的收集和处理，掌握中位数和众数的概念是解题的关键
5．B
【分析】用科学记数法保留有效数字，要在标准形式中的部分保留，从左边第一个不为的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍即可．
【详解】解：亿元，精确到千万位可表示为．
故选择：．
【点睛】本题考查科学记数法中精确数问题，关键要在标准形式中进行，从左边第一个不为的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入取舍．
6．B
【分析】根据同类项的概念与合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】A、3a+2b，无法合并，故此选项错误；
B、﹣4xy+2xy=﹣2xy，正确；
C、3y2﹣2y2=y2，故此选项错误；
D、3x2+2x，无法合并，故此选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了同类项和合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同及合并同类项法则．
7．D
【分析】依据，，即可得到，再根据，即可得出.
【详解】，，
，
，
.
故选.
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等.
8．A
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．故选A．
考点： 命题与定理．
9．C
【分析】设每个笔记本x元，每支钢笔y元，根据题意列出方程组求解即可
【详解】设购买1本笔记本需要x元，购买1支水笔需要y元，
根据题意，得 ．
解得 ．
所以x+y＝5+3＝8（元）
故选C．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，难度不大，关键在于列出方程组
10．C
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=4，求出CM=QM=2，解直角三角形求出EM=2y，AQ=4y，在Rt△DEM中，根据勾股定理即可得．
【详解】解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=8，tan∠ACB=y，
∴=y，BQ=CQ=4，
∴AQ=4y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQEM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM=CQ=2，
∴EM=2y，
∴DM=8-2-x=6-x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（2y）2+（6-x）2，
即3x-y2=9，
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的运用，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的运用，垂直平分线的性质．
11．-36.
【分析】根据平方差公式解出即可.
【详解】.
故答案为:-36.
【点睛】本题考查平方差公式的运用,关键在于熟练掌握平方差运算.
12．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
13．
【分析】将两点分别代入双曲线，求出，，再根据，列不等式求解即可．
【详解】解：将两点分别代入双曲线，
得：，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式．
14．480．
【详解】试题分析：总人数是：10÷20%=50（人），第四小组的人数是：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4=10，所以该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是：×1200=480，故答案为480．
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．
15．
【分析】过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，
，
，，
，
，
，，
在和中，
，
，，
，
设，，
，
，
则，
，即．
直线，
，
点
，
在中，由勾股定理得：，
则的坐标是，
设直线的解析式是，
把代入得：，
即直线的解析式是，
组成方程组
解得：
点，，
故答案为：，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
16．，
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，正确计算是解题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义得到原式= ，然后合并即可；
（2）将分子分为两部分，再将式子拆分为两个二次根式，分母有理化即可．
【详解】(1)原式==3+1；
（2）原式= .
【点睛】此题考查负整数指数幂，二次根式的混合运算，零指数幂，解题关键在于掌握运算法则.
18．∠1+∠2=90°；理由见详解.
【分析】根据题意利用四边形的内角和为360°以及角平分线性质和互补的定义进行综合分析求解.
【详解】解：∠1+∠2=90°；理由如下：
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A+∠C=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠2=∠ABC，∠1=∠ADC，
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°．
【点睛】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义，熟练掌握角平分线性质和四边形的内角和以及弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键．
19．客车原来的速度为40km/h.
【分析】由“从南京到上海的时间缩短了一半”，等量关系为：原来用的时间＝现在用的时间，把相关数值代入，然后解方程即可．
【详解】设客车原来的速度是xkm/h，现在的速度是（x+40）km/h，由题意得：
．
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解且符合题意．
答：客车原来的速度是40km/h．
【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，根据减少的时间得到相应的等量关系是解答本题的关键．
20．(1)线段的解析式为，的取值范围；射线的解析式为，的取值范围
(2)元
【分析】（1）利用待定系数法求解即可得解；
（2）根据总费用等于甲图书的费用加乙图书的费用求解即可．
【详解】（1）解：当时，设的解析式为,
将代入函数式得，
，
解得，
∴的解析式为，的取值范围，
当时，设的解析式为,
将，，分别代入函数式
，
解得，
∴的解析式为，
的取值范围．
（2）解：若学校准备购买甲种图书本，乙种图书本，乙种图书每本元，设购进两种图书的总费用为元
∵购买甲种图书本，
∴（元）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及求函数值，熟练求解一次函数解析式是解题的关键．
21．（1）；（2）具有，证明见解析；（3）14或．
【分析】（1）；当点落在的延长线上时，∠ADE=90 ，点为的中点，直角三角形斜边中线的性质，再证△ACE≌△BCE（SAS）利用性质得AE=BE即可；
（2）成立（具有）延长到点，使，连接，由点为的中点，可知是的中位线，有结论，先证，再证，即可；
（3）分两种情况∠BCD再BC的左边与右边，构造Rt△ECH，∠HCE =60 或Rt△CGE，∠GCE=30 ，CH=，CG=，利用勾股定理求BE2，再用（1）结论即可．
【详解】（1）当点落在的延长线上时，∠ADE=90 ，
∵点为的中点，
∴AF=EF=FD，
∴，
∵BC=AC，∠ACB=90 ，CD=DE，∠CDE=90 ，
∴∠DCE=∠DEC=45 ，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90 +45 =135 ，
∴∠ACE=360 -∠ACB-∠BCE=360 -90 -135 =135 =∠BCE，
∵CE=CE，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE，
∴，
故答案为：；
（2）成立（具有）
证明：
延长到点，使，连接，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）14或．
过E作EH⊥BC于H，
∴在Rt△ECD中，CE=2，
∵∠BCD=105 ，
∴∠HCE=105 -∠DCE=60 ，
∴CH=，EH=，
∵BC=，
∴BH=BC-CH=-，
∴FD2=；
延长BC，过E作EG⊥BC于G，
∵∠BCD=105 ，∠DCE=45 ，
∴∠GCE=180 -∠ACD-∠DCE=30 ，
∴GE=，
∴CG=，
∴
∴FD2=．
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，三角形的旋转变换，三角形中位线，解直角三角形，勾股定理的应用，涉及的知识多，习题难度大，关键是利用数形结合的思想画出准确的图形，画图时应注意分类来画是解题关键．
22．(1)，图见解析
(2)
(3)中位数是35，众数是40
【分析】（1）先用总数120减去频数求出m的值，再补充统计图；
（2）用空气质量状况达到良以上（含良）的天数除以总数再乘以即可；
（3）根据中位数和众数的定义作答即可．
【详解】（1）．统计图补充完整如图所示．
（2）空气质量状况达到良以上（含良）的天数所占百分比为
（3）将数据从小到大表示出来为：
10，20，20，30，30，30，30，40，40，40，40，40，50，50，
∴中位数是，众数是40．
【点睛】本题考查了补充统计数据和求中位数和众数，众数是一组数据中出现次数最多的那个数．当有奇数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置的数；当有偶数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置两个数的平均数．

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