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八年级数学下册 预习篇
16.3 二次根式的加减
1.二次根式的加减法则：二次根式进行加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。
2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。
3.合并二次根式：只需把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变。
4.二次根式加减法的一般步骤：
（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式；
5.二次根式的加减混合运算
（1）二次根式的加减，就是合并同类二次根式；
（2）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变；
（3）进行二次根式的加减混合运算时，交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。
6.二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，要先算括号里面的。
（2）运算过程中一定要注意符合，运算结果一定要化为最简形式。
选择题
1.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【详解】解：不是同类二次根式，不能相加，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误；
故选：B
2.设的整数部分是m，小数部分是n，则n的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先根据二次根式的运算法则计算得出结果，然后估算取值范围即可得出其整数部分和小数部分．
【详解】解：，
∵，
即，
∴，
又∵
∴，
∴的整数部分是，小数部分是，
故选：D．
3.下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式的判断，关键是熟知同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、，故与不是同类二次根式，不符合题意；
B、，故与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，故与是同类二次根式，符合题意；
D、，故与不是同类二次根式，不符合题意，
故选：C．
4.下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误；
B、与不是同类二次根式，故B错误；
C、与不是同类二次根式，故C错误；
D、与是同类二次根式，故D正确；
故选：D．
5.已知，，则a，b的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则求解、，进而逐项判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，，，
故选项A、B、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意，
故选：D．
6.下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式的判断．先将各个二次根式化简，再根据同类二次根式的性质进行解答即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，符合题意；
B、，与是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，不符合题意；
D、，与是同类二次根式，不符合题意；
故选：A．
7.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，根据：“被开方数相同的最简二次根式，叫做同类二次根式”，进行判断即可．
【详解】解：A、不是同类二次根式，不符合题意；
B、，，是同类二次根式，符合题意；
C、，不是同类二次根式，不符合题意；
D、不是同类二次根式，不符合题意；
故选B．
8.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，根据“最简二次根式与是同类二次根式”可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握同类二次根式的概念是解此题的关键．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
它们的被开方数相等，
，
解得：，
故选：B．
填空题
1.计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查分母有理数，给分子、分母同乘以，利用平方差公式求解即可．掌握分母有理数的求解方法是解答的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
2.比较大小： ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解： ， ，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
3.已知 ，则代数式 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
4.已知，则化简的结果为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，偶次方和算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，分母有理化，根据二次根式有意义的条件得出，从而得到，根据非负数的性质得出，，最后代入式子中进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
5.若最简二次根式与可以合并，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，属于基础概念题型，熟知同类二次根式的概念是关键．令求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
故答案为：3
解答题
1.计算
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握混合运算的运算顺序是解本题的关键；
（1）先计算二次根式的乘法运算，再计算加减运算即可；
（2）先计算括号内的二次根式的减法运算，再计算二次根式的除法运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
2.先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】题主要考查二次根式的化简及求值的知识，先运到平方差公式和单项式乘以多项式运算，然后合并同类项，再代入数值计算是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
3.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但是根据的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以它的小数部分可以写成．请解答下面题目．
(1)的整数部分是________；
(2)如果的整数部分是，的小数部分是，求的值；
(3)如果，其中是整数，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的加减运算，估算无理数的整数部分和小数部分．
（1）估算的整数部分即可；
（2）求出a，b的值，再代入计算即可；
（3）求出x，y的值，再代入计算．
【详解】（1）解：∵，即，
的整数部分是2，
故答案为：2；
（2）∵，即，
的整数部分是3，小数部分为，
，，
；
的值为；
（3）解：∵，即，
，
是整数，且，，
∴，，
．
4.计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查二次根式的运算和零指数幂的运算，解题关键掌握运算法则．
（）先进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（）根据平方差和完全平方公式进行计算即可；
（）先进行算术平方根，立方根和化简绝对值运算，再进行加减即可；
（）先由二次根式的除法和零指数幂的运算法则计算，再进行加减即可；
【详解】（1）原式，
；
（2）原式，
；
（3）原式，
；
（4）原式，
，
．
5.观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
．
，
．
(1)用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律为_______．
(2)利用上面的结论，求下列式子的值：．
【答案】(1)
(2)1011
【分析】本题主要考查利用平方差公式分母有理化，二次根式的混合运算等知识点，
（1）数字找规律，进行计算即可解答；
（2）利用前边的规律，进行计算即可解答；
注意根据平方差公式的结构找到另一因式是求解的关键．
【详解】（1）总结规律可知：
，
故答案为：；
（2）
．
6.请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
∴，得：.
把作为整体代入：得
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)己知，求代数式的值；
(2)已知 ，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据完全平方公式求出，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键；
（2）根据完全平方公式计算可得，然后利用整体代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∴
．
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16.3 二次根式的加减
1.二次根式的加减法则：二次根式进行加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。
2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。
3.合并二次根式：只需把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变。
4.二次根式加减法的一般步骤：
（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式；
5.二次根式的加减混合运算
（1）二次根式的加减，就是合并同类二次根式；
（2）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变；
（3）进行二次根式的加减混合运算时，交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。
6.二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，要先算括号里面的。
（2）运算过程中一定要注意符合，运算结果一定要化为最简形式。
选择题
1.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.设的整数部分是m，小数部分是n，则n的值是（ ）
A． B． C． D．
3.下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4.下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（ ）
A． B． C． D．
5.已知，，则a，b的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6.下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
8.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．0
填空题
1.计算： ．
2.比较大小： ．（填“”、“”或“”）
3.已知 ，则代数式 ．
4.已知，则化简的结果为 ．
5.若最简二次根式与可以合并，则的值为 ．
解答题
1.计算
(1)
(2)
2.先化简，再求值：，其中．
3.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但是根据的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以它的小数部分可以写成．请解答下面题目．
(1)的整数部分是________；
(2)如果的整数部分是，的小数部分是，求的值；
(3)如果，其中是整数，且，求的值．
4.计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
5.观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
．
，
．
(1)用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律为_______．
(2)利用上面的结论，求下列式子的值：．
6.请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
∴，得：.
把作为整体代入：得
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)己知，求代数式的值；
(2)已知 ，求代数式的值．
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