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CH2 一维随机变量及其分布
4 随机变量函数的分布
PART 1
2.1 随机变量及其分布函数
2.1.1 随机变量的概念
在上一章讨论随机事件及其概率中发现，在一些随机试验中，随机试验的结果本身就是一个数值，在另一些随机试验中，随机试验的结果并不是直接表现为数值。对随机试验的结果不是数值的情况，我们可使其数量化。
例2.1.1 抛一枚匀称的骰子一次，观察出现的点数。
例2.1.2 抛一个硬币，观察掷出的是正面还是反面。
例2.1.3 考察某个公交车站上乘客来到和离开的数量。
例2.1.4 测试某电子元件的寿命。
例2.1.5 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现在连续射击30次。
例2.1.6 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现在连续射击，直到第一次击中目标停止。
从上面的例子可以看到，不论哪一种情况，变量的取值都与随机试验的结果相对应，也就是说的取值都随着随机试验结果的不同而取不同的值，又由于随机试验的结果具有随机性，因此变量的取值也具有一定的随机性，所以称这样的变量为随机变量。用通俗的话来说，随机变量就是因随机试验结果的不同而随机地取各种不同值的变量。试验结果与随机变量之间的对应关系，也就是样本点与实数之间的对应关系。所以，随机变量可以用数学语言表示为：
设 是某随机试验的样本空间, 若
则称 为 上的 随机变量,简记 r.v. .
r.v.一般用大写字母 或小写希腊字母 表示.
定义2.1.1
实数
按一定法则
2.1.1 随机变量的概念
而表示随机变量所取的值时,
一般采用小写字母等.
随机变量通常用大写字母
或希腊字母等表示
2.1.1 随机变量的概念
随机变量是上的映射,此映射具有如下特点
定义域 ;
随机性 r.v. 的可能取值不止一个,试验前只能预知它的
可能的取值，但不能预知取哪个值。
概率特性 以一定的概率取某个值。
2.1.1 随机变量的概念
在同一个样本空间可以同时定义多个r.v.,例如
— 身高
— 体重
— 头围
各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系——即相互独立
2.1.1 随机变量的概念
2.1.2 随机变量的分布函数
引入随机变量后，可以用随机变量表示事件，我们关心的是这些概率如何求解。
由随机变量的定义可知，对于每个实数，是一个事件，因此有一个确定的概率与相对应，所以概率是的函数。这个函数确定了，我们可以求解其它任何事件的概率，而且这个函数在理论中也是很重要的，为此有下面的定义：
定义2.1.2 设为一随机变量，对任何实数，记函数
则称是随机变量的分布函数。
有了分布函数，我们可以利用分布函数计算事件的概率。对任意的实数有：
(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
(5) .
2.1.2 随机变量的分布函数
例2.1.7 已知随机变量的分布函数为
试求，，，。
解
2.1.2 随机变量的分布函数
例2.1.8 设随机变量在区间上取值，且在内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，与子区间的位置无关，求的分布函数。
解的分布函数为
2.1.2 随机变量的分布函数
分布函数具有以下性质：
性质1 (单调不减性) 是的单调不减函数。
性质2 (有界性) ，对一切成立，且
，
性质3 (右连续性) 是右连续的函数，即对任意的，有
2.1.2 随机变量的分布函数
例2.1.9 判断下列函数是否为分布函数
(1) 。
(2) 。
解 (1) 当时，，所以是单调递减的函数，因此不是分布函数。
(2)因为，所以。，而，因此在零点不是右连续的，所以不是分布函数。
2.1.2 随机变量的分布函数
解 (1) 由分布函数的有界性有
，，
故有，。
(2) 。
例2.1.10 设随机变量的分布函数为
求 (1) 常数，；(2) 。
2.1.2 随机变量的分布函数
例2.1.11 设随机变量的分布函数为
求 (1) 常数；(2) 。
解 (1) 由于分布函数在是右连续的，所以有
故。
(2)
2.1.2 随机变量的分布函数
PART 2
2.2离散型随机变量
定义2.2.1 如果随机变量的所有可能取值只有有限个或可列无穷多个，即它的取值可以表示为一个（有限或无穷）数列，则称这种类型的随机变量为离散型随机变量。
为了完整的描述随机变量，只知道它可能的取值是远远不够的，更重要的是要知道它取各个值的概率。为此，我们引入离散型随机变量分布律的概念。
定义2.2.2 设为离散型随机变量的所有可能取值，是取相应值的概率，即
，
则称其为离散型随机变量的分布律(或分布列)。
2.2.1 离散型随机变量的分布律
(1) 分布律还可以用如下的表格来表示
(2) 由离散型随机变量的分布律，可得的分布函数为
(3) 由离散型随机变量的分布函数，可得的分布律。假设离散型随机变量的取值为则
关于离散型随机变量的分布律，做如下说明：
2.2.1 离散型随机变量的分布律
分布律具有以下性质：
性质1（非负性） ，；
性质2（规范性）
例2.2.1 设有一批产品共10件，其中3件次品，从中任意抽取2件，令表示抽取所得的次品数，计算的分布律。
解 的可能取值为0，1，2，即没有抽到次品，抽到1件次品，抽到2件次品，且
，，
因此，的分布律为
2.2.1 离散型随机变量的分布律
例2.2.2 盒中有3个红球，2个白球，从中一个一个地任意取球，且不放回，直到取到一个红球为止，令表示总取球次数，计算的分布律。
解 由于只有2个白球，所以第3次一定能够取到红球，因为的取值为1，2，3，即第1次就取到红球，第2次才取到红球，第3次才取到红球，且
，，
因此，的分布律为
2.2.1 离散型随机变量的分布律
例2.2.3 若离散型随机变量的分布律为，计算常数。
解 由分布律的规范性有
,
所以，。
2.2.1 离散型随机变量的分布律
例2.2.4 设离散型随机变量的分布律为
求(1)；(2)的分布函数；(3)。
解 (1) 由分布律的规范性有，所以。
(2) 由于只能取0，1，3，所以
当：；
当：；
当：；
当：.
所以的分布函数
(3)
2.2.1 离散型随机变量的分布律
例2.2.5 设离散型随机变量的分布函数为
求的分布律。
解 由题意的取值为，1，3。
,
,
,
所以的分布律为
2.2.1 离散型随机变量的分布律
2.2.2 常见离散型随机变量的分布
1. 0-1分布
如果随机变量的分布律为
，，
则称服从0-1分布或两点分布。
0-1分布的分布律也可用统一的式子表示为。
应用
场合
凡试验只有两个结果, 常用0 – 1分布描述, 如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等.
例2.2.6 100件产品中，95件为正品，5件次品，现从中随机抽取一件，若抽得每件的机会相同，表示取得产品，令表示取得正品，表示取得次品，且，，即服从0-1分布。
2.2.2 常见离散型随机变量的分布
2. 二项分布
二项分布的背景是重伯努利试验。若试验只有两个试验结果和，，，把试验独立重复进行次，这种试验称为重伯努利试验。
用表示重伯努利试验中事件发生的次数，则的所有可能取值为，可得到的分布律为
，
如果随机变量的分布律为
，，
其中为正整数，为在每次试验中事件发生的概率，则称服从参数为，的二项分布，记为。
2.2.2 常见离散型随机变量的分布
解 抽取产品要么合格，要么是不合格品，只有两种可能，所以抽取一个产品可以看作是一次伯努利试验，抽取10个产品可以看作是10次独立的伯努利试验，即。所以分布律为
至少有3件不合格品的概率为
例2.2.7 一批产品中有5%的产品不合格，从中任意抽取10件，计算不合格产品数的分布律以及至少有3件不合格产品的概率。
2.2.2 常见离散型随机变量的分布
3. 泊松分布
如果随机变量的概率分布为
，
其中为常数，则称服从参数为的泊松分布，记为。
现实中许多问题中的随机变量都可以被认为是服从泊松分布。例如，观察某电台在单位时间内收到用户的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来到车站乘车的乘客数，单位长度上布匹的疵点数，一本书中每一页面上印刷错误的次数，某交通路口每年发生车祸的次数，容器内的细菌数等等。此外，在生物学、医学、工业及公用事业的排队等问题中，一般都是服从泊松分布。
2.2.2 常见离散型随机变量的分布
泊松,法国数学家，1781年6月21日生于法国卢瓦雷省皮蒂维耶，1840年 4月25日卒于法国索镇。泊松在青年时期曾学过医学，后因喜好数学，于1798年入巴黎综合工科学校深造。毕业时，因研究论文优秀而被指定为讲师，1806年任该校教授，1809年任巴黎理学院力学教授，1812年当选为巴黎科学院院士。
泊松的科学生捱开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是应用数学方法研究各类物理问题，并由此得到数学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。他一生共发表300多篇论著。
数学家：泊松（Poisson）
例2.2.9 某商店某种高级组合音响的月销售量服从参数为9的泊松分布，试计算：
(1) 该种组合音响的月销售量在10套以上的概率；
(2) 如果要以95%以上的把握程度保障该种组合音响不脱销，则该商店在月初至少应进此种组合音响多少套。
解 (1) 令表示该种组合音响的月销售量，则
.
(2) 设月初该种组合音响的进货量为，则当时，才能保证该种组合音响不脱销，因此有，即，又由于
，.
所以，该商店在月初至少应进此种组合音响14套，才能保证以95%以上的把握程度销售该种组合音响不脱销。
2.2.2 常见离散型随机变量的分布
4. 几何分布
在独立试验序列中，设每次试验时事件发生的概率为，只要事件不发生，试验就不断地重复进行下去，直到事件发生为止。设表示直到事件发生为止所进行的试验次数，即时，表示在前试验中，事件没有发生，在第次试验中，事件首次发生，考虑到每次试验结果的相互独立，所以
，
称此概率分布为几何分布，记为。
2.2.2 常见离散型随机变量的分布
例2.2.10 口袋中有3个红球，2个白球，从中一个一个地任意取球，每次取出后看过颜色又立即放回，这样不停地取，直到取到一个红球为止，设表示取到红球为止所发生的取球次数，试计算的概率分布以及至少需要次才能取到红球的概率。
解 由于是放回取球，所以每次取到红球的概率为0.6，显然取到红球为止所发生的取球次数服从的几何分布，即，所以的分布律为
.
至少需要次才能取到红球的概率为
当然也可以直接计算。因为至少需要次才能取到红球的概率即为前次都取到白球的概率，即。
2.2.2 常见离散型随机变量的分布
2.2.3 几种常见分布之间的关系
1. 0-1分布与二项分布的关系
在二项分布中当试验次数时，二项分布变为0-1分布，即
.
因此，随机变量服从参数为的0-1分布可记作.
注：在应用中，当较大且很小时(一般)，有以下的泊松近似公式
2.二项分布与泊松分布的关系
定理 设随机变量服从参数为的二项分布，，其中与有关且满足，则
2.2.3 几种常见分布之间的关系
例2.2.11某地方有2500人参加某种物品保险，每人年初向保险公司交保费12元，若在这一年内该物品损坏,则可从保险公司领取2000元。该物品损坏的概率为0.002。求保险公司获利不少于20000元的概率。
解 设表示“投保人中物品损坏的件数”，则服从参数为的二项分布。事件“保险公司获利不小于20000元”可以表示为，即，所以所求概率为
2.2.3 几种常见分布之间的关系
已知运载火箭在飞行中进入其仪器舱的宇宙粒子数服从参数为 2 的泊松分布. 而进入仪器舱的粒子随机落到仪器重要部位的概率为 0.1, 求落到仪器重要部位的粒子数的概率分布 .
思考题：实际问题
关于0-1分布的说法正确的是
连续性随机变量
只有一个取值
是特殊的两点分布
是特殊的二项分布
A
B
C
D
提交
多选题
10分
关于二项分布的说法正确的是
可表示为
连续型随机变量
仅有两个取值
是特殊的Poisson分布
A
B
C
D
提交
单选题
10分
PART 3
2.3 连续型随机变量
2.3.1 连续型随机变量的概率密度函数
定义2.3.1 设随机变量X 的分布函数为，若存在一个非负可积函数 , 使得对任意实数，有
则称是连续型随机变量，并称为的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。
由上述定义不难得到下列结论：
(1) 连续型随机变量的分布函数是连续函数；
(2) 连续型随机变量取值为任一实数的概率为零，即；
(3)
(4) 如果在点处连续，则。
2.3.1 连续型随机变量的概率密度函数
连续型随机变量的概率密度函数具有以下性质：
性质1 （非负性） ，
性质2 （规范性）
例2.3.1 设连续型随机变量的概率密度为，，试求
(1) 常数；(2) 的分布函数；(3)
2.3.1 连续型随机变量的概率密度函数
解 (1) 利用密度函数的规范性 有
得。
(2) 当时，
当时，
故的分布函数为
(3)
.
或者也可利用分布函数的性质有
2.3.1 连续型随机变量的概率密度函数
例2.3.2 设连续型随机变量的分布函数为
试求的概率密度。
解 当或时，；当时，
令，则为非负函数，且可以验证对任意实数，有
从而的概率密度为。显然，满足此式的不唯一。
2.3.1 连续型随机变量的概率密度函数
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义2.3.2 设连续型随机变量具有概率密度函数
称服从区间上的均匀分布，记为。
容易验证满足概率密度的性质，且很容易求得的分布函数
例2.3.3 在某公共汽车的起点站上，每隔15分钟发出一辆客车，一位乘客任意到站候车.
(1) 写出该乘客候车时间的概率密度；
(2) 求该乘客候车时间超过6分钟的概率。
解 (1) 由题意，，其概率密度为
(2) .
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
2. 指数分布
定义2.3.3 设连续型随机变量具有概率密度函数
其中为常数，则称服从参数为的指数分布，记为
显然指数分布的分布函数为
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
例2.3.4 某仪器装有5只独立工作的同型号的电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，且概率密度
试求在仪器使用的最初500小时内，至少一只电子元件损坏的概率。
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
解 以表示第只元件的寿命，则的概率密度为
事件表示“在仪器使用的最初500小时内，第只元件损坏”，则相互独立，且
故所求概率为
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
指数分布具有“无记忆性”，即对于任意，有
.
若表示某物品的寿命，则“无记忆性”表明在它已经使用了小时后，还可以再用小时的概率与开始使用的小时无关，也就是说，物品对于他已使用过小时没有记忆，不会因此影响到后来的使用寿命。正是由于指数分布的这一特性，它常用来描述生物或物品寿命的分布。
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
3.正态分布
定义2.3.4 如果随机变量的概率密度为
，
其中，为常数，且，则称服从参数为和的正态分布，记作。
容易计算正态分布变量的分布函数为
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
正态分布：
密度函数：
分布函数
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
正态分布：
位置参数：
形状参数：
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
定义2.3.5 在正态分布密度中，如果，，即若随机变量的概率密度为
，，
则称服从标准正态分布，记作。
对于标准正态分布变量，其分布函数为
，.
注：对于，
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
标准正态分布：
位置参数：
形状参数：
标准正态分布的特殊性质：
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
例2.3.5 设，求概率，及。
解 由附表得
，
，
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
定理2.3.1 若，则。
解 （1）这里，，故
（2）
例2.3.6 设，求（1）；（2）。
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
例2.3.7 某地区8月份的降雨量服从，的正态分布，试写出的概率密度，并求该地区8月份降雨量超过250mm的概率。
解 的概率密度为
，
即，根据题意，要求，则
为所求概率。对概率作频率解释：该地区8月份降雨量超过250mm大约百年一遇。
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
正态分布： 与 标准正态分布：的关系：
（1）一般与特殊
（2）正态分布的标准化
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
PART4
2.4 随机变量函数的分布
2.4.1 离散型随机变量函数的分布
设，是两个随机变量，如果当取值时，取值为，则称是随机变量的函数，记作。
例2.4.1 设随机变量的分布律为
（1）求的分布律；（2）求的分布律。
例如，设随机变量表示某车床加工的轴的直径，设随机变量表示所加工的轴的横截面积，则称是的函数：。又如，设随机变量，则称是的函数。
解
（1）求的分布律
（2）求的分布律
例2.4.2 设随机变量的分布律为
求（1）的分布律和概率；（2）的分布律和分布函数。
解 为方便起见，直接在表上作如下计算：
（1）由于的取值各不相同，所以它的分布律为
所以
2.4.1 离散型随机变量函数的分布
（2）由于的取值有相同情形：当时，。所以它的分布律为
从而的分布函数为
2.4.1 离散型随机变量函数的分布
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
设为连续型随机变量，则随机变量函数也是连续型随机变量。如果设的概率密度为，且的概率密度为已知，如何求？
例2.4.3 已知随机变量，求证随机变量。
证 设的分布函数为，的分布函数为，则
，
根据概率密度是分布函数的导数这一性质，对上式左、右两端分别关于求导数，得的概率密度为
，
因为，即的概率密度为
，
所以
，
即。
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
例2.4.4 设，求的概率密度。
解 设的分布函数为，当时，
，
对上式左右两端分别关于求导数，得的概率密度为
，
当时，的分布函数为
，
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
由于，所以，从而
，
对上式左右两端分别关于求导数，得的概率密度为
.
综上所述，的概率密度为
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
定理2.4.1 设连续型随机变量的概率密度为，对于任意的，函数满足（或）。记的反函数为，则连续型随机变量的概率密度为
其中，。
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
例2.4.5 已知的概率密度为
求随机变量函数的概率密度。
解 在内，，由于，所以单调增加，取
，
.
于是，当时单调增加、可导，且。故得的概率密度为
即
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
例2.4.6 设，求随机变量（，均为常数，且）的概率密度。
解 由于，所以的概率密度为
，
显然函数在区间内单调、可导，且，即是单调函数，若，则单调增加；若，则单调减少。取，。由于的反函数在时单调、可导，且，故得的概率密度为
2.4.2 连续型随机变量函数的分布

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