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CH4 随机变量的数字特征
2024/2/27
PART 1
4.1 数学期望
4.1.1 数学期望的定义
定义4.1 设离散型随机变量的概率分布为
如果级数 收敛，则称级数
为随机变量的数学期望(或均值)，记为 (或)，即
若级数 发散，则称不存在。
1.离散型随机变量的数学期望
2024/2/27
关于定义的几点说明：
4.1.1 数学期望的定义
2024/2/27
4.1.1 数学期望的定义
例1.
-1 0 1 2
0.2 0.3 0.4 0.1
设随机变量的分布律如下
求
解 。
2024/2/27
4.1.1 数学期望的定义
例2.
有两名射击手，对他们的射击技术数据进行统计如下表：
请问哪名射击手射击水平较高？
1号射击手 2号射击手
击中环数 8 9 10 8 9 10
0.4 0.1 0.5 0.2 0.2 0.6
解 设随机变量表示1号射击手击中的环数，随机变量表示2号射击手击中的环数，因此，1号射击手平均命中的环数
由此可见，2号射击手的射击水平比1号射击手的射击水平高。
（1）0-1分布：若，即的分布律为，则
.
证：
（2）二项分布：若，即其分布律为，则
.
4.1.1 数学期望的定义
下面给出一些常见的离散型随机变量的数学期望
（3）泊松（Poisson）分布：若,即的分布律为，则
.
证：
4.1.1 数学期望的定义
设连续型随机变量的概率密度为如果积分
收敛,则称积分
为随机变量的数学期望(或均值)，记为 (或),
即
若级数发散,则称不存在.
2.连续型随机变量的数学期望
4.1.1 数学期望的定义
2024/2/27
解:
例3.设随机变量的概率密度函数为
求的数学期望。
4.1.1 数学期望的定义
2024/2/27
例4. 设某企业在线上平台销售某商品，已知该商品的月需求量为随机变量（单位：件），它服从区间[3000,5000]上的均匀分布，每销售1件可获得利润8元；若销售不出，则每件商品需存储费4元。应该组织多少货源，才能使该企业收益最大？
4.1.1 数学期望的定义
解 设需组织货源件，显然应满足企业收益为（单位：元）是关于随机变量的函数，即，则有
由于随机变量，则有概率密度函数，
2024/2/27
4.1.1 数学期望的定义
考虑的取值使得达到最大，易得，故组织4333件商品时，收益最大。
均匀分布：若,即的概率密度函数为
则.
证：
下面给出一些常见的连续型随机变量的数学期望
4.1.1 数学期望的定义
（2）指数分布：若,其中 即的概率密度函数为
则.
证：
4.1.1 数学期望的定义
（3）正态分布：若,其中即的概率密度函数为
则.
证：
4.1.1 数学期望的定义
设随机变量的函数为为连续函数,则
(1)若为离散型随机变量,分布律为且收敛,则
(2) 若为连续型随机变量,概率密度为且收敛,则
4.1.2 随机变量函数的数学期望
设随机变量的函数为为连续函数,则
(1)若为离散型随机变量,分布律为且收敛, 则
(2)若为连续型随机变量,概率密度为且收敛,则
4.1.2 随机变量函数的数学期望
例5. 设随机变量的分布律为：
-1 0 1
0.2 0.5 0.3
求 。
解：
4.1.2 随机变量函数的数学期望
例6.
设随机变量的概率密度函数为
求：（1）；（2）的数学期望。
解
（1）
（2）
4.1.2 随机变量函数的数学期望
20
1 3
0 1/5 2/5
1 1/5 1/5
例7. 设是二维离散型随机变量，与的联合分布律如下所示：
求: 。
解
4.1.2 随机变量函数的数学期望
例8. 设是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为
求: 和.
解
4.1.2 随机变量函数的数学期望
性质1： .
推论1： 为常数,则
推论2 ：设随机变量, 为常数,则
推论3：
性质2： 设随机变量是两个相互独立的随机变量,则有.
4.1.3 数学期望的性质
例9. 设随机变量之间相互独立，且都服从，求的数学期望。
4.1.3 数学期望的性质
解
由于在伯努利试验中，每次试验中事件发生与否对应的随机变量取值为1或0，则
重伯努利试验中事件发生的次数可能取值为若考虑则要求
中有个随机变量取值为1，共有种不同组合方式，而其余个随机变量取值为0，
由于相互独立，那么对于重伯努利试验中事件发生次的概率为，从而
即重伯努利试验中事件发生的次数
小结
离散型
连续型
若， 则
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
小结
性质1： .
推论1： 为常数,则
推论2 ：设随机变量, 为常数,则
推论3：
性质2： 设随机变量是两个相互独立的随机变量,则有.
期望的性质
小结
函数的期望
离散型
连续型
PART 2
4.2 方差
定义1 设随机变量, 如果存在,则称之为随机变量的方差,记为 或).
记为随机变量的均方差或标准差.
4.2.1 方差的定义
注：（i）方差是非负的常数。 （ii）方差与的量纲不一致。
函数的期望
离散型
连续型
定义（离散型随机变量的方差）
设离散型随机变量的概率分布为 则
4.2.1 方差的定义
定义（连续型随机变量的方差）
设连续型随机变量的概率密度为则
4.2.1 方差的定义
方差的计算公式
推导：
4.2.1 方差的定义
方差的计算公式
-1 0 1
0.2 0.5 0.3
例1. 设随机变量X的分布律如下
求: .
解
，
.
4.2.1 方差的定义
方差的计算公式
例2. 设随机变量的概率密度函数为
求：
解
.
.
4.2.1 方差的定义
4.2.2 几种常见分布的方差
（1）0-1分布：若,则.
（2）二项分布：若, 则.
证：
.
（3）Poisson分布： 若,则.
证：
.
4.2.2 几种常见分布的方差
（4）均匀分布：若,则.
证：
4.2.2 几种常见分布的方差
（5）指数分布：若,则.
证：
4.2.2 几种常见分布的方差
（6） 正态分布：若,则.
证：
令，则有
.
4.2.2 几种常见分布的方差
4.2.2 几种常见分布的方差
4.2.3 方差的性质
性质1： .
性质2：设随机变量是两个相互独立的随机变量，则
推论1： 为常数，则
推论2：设随机变量独立，则
推论3： 设随机变量相互独立，则
性质3：的充要条件是随机变量依概率取常数，即 .
性质4: 设随机变量相互独立,且,则
其中
为常数.
4.2.3 方差的性质
例3. 已知和是两个相互独立的随机变量，且，，求.
4.2.3 方差的性质
解 因为，，所以，.
因此.
例4. 设是二维离散型随机变量，与的联合分布律如下所示
求
4.2.3 方差的性质
解
例5. 设是二维连续型随机变量，联合密度函数为
求
4.2.3 方差的性质
解
例6. 设有、两种不相关的证券，他们的收益与概率如下表所示：
试求如何投资这两种证券最佳（即要满足收益越大风险越小越好）.
4.2.3 方差的性质
解 风险就是投资者的收益关于其均值的不确定性，平均收益可以用期望来描述，而风险则可用方差来描述，因此
证券的平均收益
(元),
证券的平均收益
(元),
证券的风险
，
证券的风险
，
由此可见，虽然投资两种证券的平均收益相同，但投资证券的风险明显小于投资证券的风险，单独投资，首选证券.
4.2.3 方差的性质
例7. 设甲、乙两名射击选手在相同的条件下独立的进行射击，他们的射击成绩如下
试利用以上数据，分析甲乙两名射击选手的射击水平.
解：设甲乙命中的环数分别为和，则根据期望和方差的定义，有
4.2.3 方差的性质
4.2.3 方差的性质
显然，这说明甲、乙两名射击选手的平均射击环数均为8环，可认为他们的平均射击水平是相当的。
方差是描述随机变量关于其期望的离散程度，可用描述两个选手射击水平的稳定性。而，这又说明选手甲的射击水平比较稳定.
4.2 方差
小结
方差的定义
几种常见分布的方差
方差的性质
PART 3
4.3 协方差、相关系数和矩
4.3.1 协方差的定义
定义1. 设二维随机变量,如果存在,则称之为协方差,
记为 即
例1. 设是二维离散型随机变量，与的联合分布律如下表所示：
试求
解
4.3.1 协方差的定义
例2. 设是二维连续型随机变量，联合密度函数为：
求
解
4.3.1 协方差的定义
例3. 设随机变量与相互独立，的概率分布为，服从参数为的泊松分布，令，求
解
4.3.1 协方差的定义
性质1：
性质2：
性质3： .
4.3.1 协方差的定义
例4. 设为二维离散型随机变量，其联合分布律为：
试求随机变量和的协方差，并判断和是否独立。
4.3.1 协方差的定义
解. 因为，由对称性知，
，
故即随机变量和不相关。
又因为，故随机变量和不独立。
4.3.1 协方差的定义
设随机变量的概率密度为
问:是否相互独立 是否不相关
练习1：
4.3.1 协方差的定义
练习2：
0
设随机变量的分布律如下表，求:
4.3.1 协方差的定义
练习3： 设, 试计算：
（1） （2）
4.3.1 协方差的定义
定义2. 对于方差非零的两个随机变量满足
则称随机变量与随机变量不相关.
4.3.2 相关系数
定义3. 设二维随机变量,如果存在且,则称
为随机变量与的相关系数或标准协方差.
定义4. 设维随机变量(,记,,令
称为(的协方差矩阵,为(的相关系数矩阵.
的充要条件是与依概率1线性相关,即,是常数.
4.3.2 相关系数
对于方差非零的两个随机变量下面事实是等价的:
(1) 与不相关
(2)
(3)
(4)
(5)
4.3.2 相关系数
例5. 设二维随机变量服从二维正态分布，求.
解 由于服从二维正态分布，且相关系数，所以与相互独立，故
.
例6. 设随机变量与不相关，且，， ，，求.
解 因为，,故
4.3.2 相关系数
例7. 设是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为
求.
解
4.3.2 相关系数
定义5. 对整数若存在，则称它为的阶原点矩，数学期望是一阶原点矩.
对整数若存在，则称它为的阶中心矩，方差是二阶中心矩.
4.3.3 矩
例8. 设随机变量，其概率密度函数为
.
解 因为，故随机变量的阶中心矩为
,
令，则上式.
此积分对任意正整数收敛，当为奇数时，被积函数为奇函数，故；当为
偶数时，令，则
4.3.3 矩
因为，，于是得
故的前四阶中心矩为
当时，所有的阶中心矩等于阶原点矩，即，.
4.3.3 矩
数学家与数学家精神：数学思想界的重要人物——布莱士帕斯卡
布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal，1623—1662），法国数学家、物理学家、哲学家、散文家。他自幼聪颖，求知欲极强。17世纪，因一个赌博游戏帕斯卡与数学家皮埃尔·德·费马讨论了赌博中的点数分配问题，而创造性地提出了数学期望的思想。他与皮埃尔·德·费马共同建立了概率论和组合论的基础，并得到了关于概率论问题的一系列解法。帕斯卡在数学和物理学科均具有重大的贡献，在科学史上占有重要的地位，他的科学精神至今鼓舞着一代又一代年轻人。
4.3 协方差、相关系数和矩
小结
协方差
相关系数
矩

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