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(共18张PPT)
CH5 大数定律与中心极限定理
2024/2/27
PART 1
大数定律
5.1.1 切比雪夫不等式
2024/2/27
定理5.1.1 设随机变量的方差，则对于任意正整数，恒有不等式
成立。这一不等式称为切比雪夫不等式。
等价表达
5.1.1 切比雪夫不等式
2024/2/27
证 以连续型随机变量为例，若的概率密度函数为， 则有
5.1.1 切比雪夫不等式
2024/2/27
例5.1.1 在重伯努利试验中，若已知每次试验事件的概率为0.75，试利用切比雪夫不等式求最小的，使发生的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。
解：设次试验中事件发生次，则。所以有，，。由切比雪夫不等式有
。
解得，因此至少需要18750次。
5.1.2 依概率收敛
2024/2/27
定义5.1.1 设是一列随机变量序列，是一随机变量，若对任意的正数，有
则称依概率收敛于，记作。
5.1.2 依概率收敛
2024/2/27
定义5.1.2 设是一列随机变量序列存在
或 。
则称随机变量序列服从大数定律。
5.1.3 大数定律
2024/2/27
定理5.1.2【切比雪夫大数定律】设为一列相互独立的随机变量序列，数学期望，方差 ，其中，并且方差一致有界，即存在常数使得 ，则对任意的，有
5.1.3 大数定律
2024/2/27
定理5.1.3【伯努利大数定律】如果是次独立重复试验中事件发生的次数，是事件在每次试验中发生的概率，则对任意，有
5.1.3 大数定律
2024/2/27
定理5.1.4【辛钦大数定律】设一列相互独立、同分布的随机变量序列，具有，则对任意的，有
PART 2
中心极限定理
5.2.2 中心极限定理
2024/2/27
定理5.2.1【林德贝格-勒维中心极限定理】
设是相互独立且同分布的随机变量序列，，，则对于一切实数，有
5.2.2 中心极限定理
2024/2/27
解: 设一箱零件中第个零件的质量为，则
，， 。
所以，一箱零件的质量超过10.2的概率为
。
例5.2.1 某种零件每箱100个，每个零件的质量独立同分布，其数学期望为100，标准差为10 ，求一箱零件的质量超过10.2 的概率。
5.2.2 中心极限定理
2024/2/27
定理5.2.2【李雅普诺夫定理】
设相互独立，且，，
则对于一切实数，有
5.2.2 中心极限定理
2024/2/27
定理5.2.3【棣莫弗-拉普拉斯定理】
设随机变量，则
5.2.2 中心极限定理
2024/2/27
例5.2.2 某公司有400人参加资格考试，根据以往经验，该考试的通过率为0.8，求通过考试的人数介于296~344之间的概率。
解：设考试通过的人数为, 则，有
，。
则通过考试的人数介于296~344之间的概率为
-1=0.9974。
5.2.2 中心极限定理
2024/2/27
例5.2.3 某学生开了家淘宝店，店内有120件相互无关的商品。若每件商品在1内平均每3min就有一个顾客点击查看，问：
（1）在任一时刻至少有10名顾客点击查看店内商品的概率；
（2）在任一时刻有8到10名顾客点击查看店内商品的概率。
解：（1）设在任一时刻，访问店内商品的顾客数为,易知故有
。
5.2.2 中心极限定理
2024/2/27
例5.2.3 某学生开了家淘宝店，店内有120件相互无关的商品。若每件商品在一个小时内平均每3分钟就有一个顾客点击查看，问：
（1）在任一时刻至少有10名顾客点击查看店内商品的概率；
（2）在任一时刻有8到10名顾客点击查看店内商品的概率。
解：（2）
。

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