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CH3 二维随机变量及其分布
2024/2/27
5 二维随机变量函数的分布
抛砖引玉
【引例】1. 股票指数：股票价格指数为度量和反映股票市场总体价格水平及其变动趋势而编制的股价统计相对数。
抛砖引玉
2024/2/27
【引例】2. 对大学生的身体健康情况进行检测时，两个最基础的指标是身高和体重。如果要对西安市所有的大学生的身高和体重进行数据分析
身高
体重
定义在 上的两个一维随机变量
={ }={西安市全部大学生}
本章的知识框架
2024/2/27
联合分布函数
联合分布律
联合密度函数
二维随机变量
二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
联
合
分
布
函数的分布
边缘分布
条件分布
随机变量独立性
PART 1
3.1 二维随机变量与联合分布函数
3.1.1 二维随机变量的概念
定义3-1：设随机试验的样本空间为, 和定义在上的一维随机变量，由它们构成的向量称为二维随机变量或二维随机向量，并称X，Y为二维随机变量(X,Y)的两个分量。
2024/2/27
在几何上，二维随机变量可看作是平面直角坐标系中的一个随机点。
定义3-：设是随机试验的样本空间, 对任意的,按照一定的法则，在平面上有确定的点之对应，称点的坐标，为二维随机变量或二维随机向量，简记为。
3.1.2 二维随机变量的联合分布函数及其性质
定义3-2：设为二维随机变量，对于任意实数，二元函数
称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数。
2024/2/27
在几何上， 在处的函数值就是随机点落在点左下方区域内的概率。
3.1.2 二维随机变量的联合分布函数及其性质
2024/2/27
单调性
是变量和函数，即对任意固定的，当时，。对任意固定的，当时，;
有界性
对任意的实数，有；且对固定的， 且对固定的， 且 。
连续性
, 即关于右连续，关于右连续；
※ 联合分布函数的性质
3.1.2 二维随机变量的联合分布函数及其性质
※ 关于概率的计算
联合分布函数的定义：
根据单调性可知，对任意的实数 ，，则有
。
那么
2024/2/27
例1. 已知的联合分布函数
求常数
3.1.2 二维随机变量的联合分布函数及其性质
【有界性】： 。
【解】：
解得.
2024/2/27
3.1.2 二维随机变量的联合分布函数及其性质
例2 设二元函数，试判断是否可作为一个二维随机变量的分布函数，并说明理由。
【解】：令，，，则
因此不可作为二维随机变量的分布函数.
引例回头看
2024/2/27
假定：两个金融市场相互独立，且上证指数 ，深证指数 , 则服从二元正态分布。
在几何上，二维随机变量可看作是平面直角坐标系中的一个随机点。
PART 2
3.2 二维离散型随机变量
3.2.1 二维离散型随机变量的联合分布律
定义1 设二维离散型随机变量的取值集合}，则称
，
为二维离散型随机变量的联合分布律。
2024/2/27
【性质】
二维离散型随机变量联合分布律的性质
（1）（非负性）
（2）（规范性）
二维离散型随机变量的联合分布函数：
3.2.1 二维离散型随机变量的联合分布律
例1. 一个纸箱中有编号分别为 的三只求 ，从中不放回地任取两次球，以分别表示第一次、第二取到球的编号，求的联合分布律。
2 3
2 0
3
【解】：
3.2.1 二维离散型随机变量的联合分布律
2024/2/27
例2. 设二维随机变量的联合分布律为
求
-1 0 1
-1 0.05 0.1 0.1
0 0.15 0.15 0.15
1 0 0.05 0.25
【解】：满足条件的所有可能取到的值为，，，,因此所求概率就是在这些点上取值的概率的和，即.
3.2.1 二维离散型随机变量的联合分布律
2024/2/27
练习：
袋中装有10只黑球，2只白球，现从中依次取出两球，令
Y
在不放回抽样与有放回抽样两种方式下，求联合分布律。
3.2.3 二维型随机变量的边缘分布函数
2024/2/27
定义2 设二维随机变量的联合分布函数为
则称
和
分别为 和关于 的边缘分布函数。
联合分布律
边缘分布律
边缘分布函数
【注】二维随机变量边缘分布函数的确定方法。
3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布
例3. 设二维随机变量的分布函数为
求关于和关于的边缘分布函数。
【解】：由定义知，的边缘分布函数为
的边缘分布函数为
3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布函数
2024/2/27
定义3 设二维离散型随机变量的联合分布律为
则称
为随机变量的边缘分布律，记为；
同样地，称
为随机变量的边缘分布律，记为 .
【注】：边缘分布又可称为边际分布。
3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布
2024/2/27
例3. 设是二维随机变量， 的联合分布律如下：
0.14
0.34 0.26
的边缘分布律。
3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布
2024/2/27
0.14
0.34 0.26
0.14
0.34 0.26
0.4
0.6
0.6
0.4
0.4 0.6
0.6 0.4
课程小结
2024/2/27
联合分布律
边缘分布律
边缘分布函数
二维随机变量
联合分布函数
离散型
PART 3
3.3 二维连续型随机变量
3.3二维连续型随机变量
教学内容
2024/2/27
一、复习回顾
2024/2/27
二、联合概率密度函数
1. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数
2024/2/27
定义1 设二维随机变量为其联合分布函数，如果存在非负函数，使得对于任意实数有
则称连续型二维随机变量，为的联合概率密度函数。
(1) 非负性: ；
(2) 规范性: ;
(3)若在点处连续，则有;
(4)设平面上任一区域，则点落在内的概率为：
2.联合概率密度函数的性质
例1 设二维随机变量的联合密度函数为
求：
（1）常数的值；
（2）的联合分布函数;
（3）.
二、联合概率密度函数
【解】（1）由联合密度函数的性质可得：
所以
2024/2/27
二、联合概率密度函数
2024/2/27
例2 设随机变量的概率密度为
求 （1）常数;
（2）求；
（3）；
（4）；
二、联合概率密度函数
【解】（1）由联合密度函数的性质可得：
2024/2/27
二、联合概率密度函数
(2)
(3)
(4)
2024/2/27
二、联合概率密度函数
练习 在射击运动中，假设子弹的着落点的分布函数为
求：（1）常数；（2）的概率密度函数；（3）。
2024/2/27
二维连续型随机变量的概率密度函数为
则c=（ ）。
4
1
0
2
A
B
C
D
提交
单选题
3分
2024/2/27
为二维连续型随机变量，则为[填空1]
作答
正常使用填空题需3.0以上版本雨课堂
填空题
2分
3. 常见的二维连续型随机变量
2024/2/27
二维均匀分布
定义2 若二维随机变量具有联合概率密度函数：
其中是平面上的区域，面积为，则称服从区域上的二维均匀分布，记为.
3. 常见的二维连续型随机变量
2024/2/27
二维正态分布
定义3 若二维随机变量的联合概率密度函数为：
其中参数，，，均为常数，且，，则称服从参数为，，的二维正态分布，记作：
2024/2/27
二维均匀分布
练习题
设上的均匀分布，
求：（1） ; （2） .
2024/2/27
4.边缘概率密度函数
定义4 设为连续型随机变量，并且其联合概率密度为，则和的边缘分布函数为
边缘密度函数为
三、边缘密度函数
2024/2/27
例3 设是二维连续型随机变量，的联合概率密度为
求边缘密度函数，。
三、边缘密度函数
【解】
例4 设，求边缘密度函数，。
三、边缘密度函数
【解】根据定义4，有，由于
于是
三、边缘密度函数
解：令，则有，
根据标准正态分布的密度函数以及密度函数的性质，得，
于是，。
同理，。
2024/2/27
练习题 设联合概率密度函数为：
求边缘密度函数，。
三、边缘密度函数
四、课堂小结
2024/2/27
1. 联合密度函数的性质
2. 二维连续型随机变量的性质
4. 由联合密度函数求边缘密度函数
3. 联合分布函数与联合密度函数的相互求解
PART 4
3.4条件分布与随机变量的独立性
3.4条件分布与随机变量的独立性
教学内容
2024/2/27
1. 复习回顾
2024/2/27
条件概率
条件分布律
事件的独立性
随机变量的独立性
定义1： 设是二维离散型随机变量，对于固定的，若，则称
为在的条件下随机变量的条件分布律。
类似的，对于固定的，若，则称
为在的条件下随机变量的条件分布律。
2. 离散型随机变量的条件分布律
定义2：给定的条件下，的条件分布函数为：
给定的条件下， 的条件分布函数为：
2024/2/27
条件分布律的性质
非负性：；
(2) 规范性：
2. 离散型随机变量的条件分布
例1：的联合分布律为及关于与的边缘分布律为
求在条件下的分布律。
2. 离散型随机变量的条件分布
0 1 2
0 0.2 0.1 0 0.3
1 0.15 0.15 0.15 0.45
2 0 0.25 0 0.25
0.35 0.5 0.15 1
【解】
Y 0 1 2
P 2/3 1/3 0
2024/2/27
的联合分布律为
则，为
A
B
C
D
提交
1 3
2 0.2 0.1
5 0.4 0.3
单选题
3分
练习：已知(X,Y)的分布律为下表.
求：(1) 在Y=3的条件下X的条件分布律；
(2) 求在X=1的条件下Y 的条件分布律。
2. 离散型随机变量的条件分布
X Y 1 2 3 4
1
2 0
3 0 0
4 0 0 0
2024/2/27
定义3 设二维连续型随机变量的联合联合概率密度为。若对固定的，，则称
为在条件下的条件概率密度;
称
为在条件下的条件分布函数。
类似地，在条件下的条件概率密度和条件分布函数分别为
3. 连续型随机变量的条件分布
2024/2/27
例2 设的联合密度为
求：在的条件概率密度。
3. 连续型随机变量的条件分布
【解】关于的边缘密度为
关于的边缘密度为
2024/2/27
3. 连续型随机变量的条件分布
在条件下，的条件概率密度为
在条件下，的条件概率密度为
2024/2/27
例3 设，求在条件下的条件概率密度。
3. 连续型随机变量的条件分布
【解】在上节例题中求出，根据条件密度函数的定义，有
这是正态分布的密度函数。
由此可以看出，二维正态分布的条件分布是一维正态分布。
2024/2/27
练习：的联合概率密度函数为：
求条件概率密度。
3. 连续型随机变量的条件分布
2024/2/27
4. 随机变量的独立性
定义4 设和是两个随机变量，如果对于任意的实数和有
即
则称随机变量和相互独立。
2024/2/27
定理1 设为二维离散型随机变量，则和相互独立的充要条件是对的任意一对可能取值有
即
4. 随机变量的独立性
2024/2/27
例4 设离散型随机变量的分布列为
试求的值，使得与相互独立。
2 3
3
4
5
4. 随机变量的独立性
【解】
因为独立，所以有
2 3
3
4
5
1
2024/2/27
定理2 设为二维连续型随机变量，则和相互独立的充要条件是：
其中为的联合密度函数，和分别为关于和的边缘密度函数。
4. 随机变量的独立性
2024/2/27
例5 设的联合密度函数为
问与是否相互独立？
4. 随机变量的独立性
【解】
显然，不独立。
2024/2/27
例6 设随机变量与相互独立，已知，求。
4. 随机变量的独立性
【解】因为，，所以，
由于与相互独立，的联合密度函数为：
从而
2024/2/27
练习 设的联合密度函数为
问与是否相互独立？
4. 随机变量的独立性
2024/2/27
【思考题】
班车服务方便了单位员工的上下班问题。假设某单位的班车起点站上车人数服从参数为的泊松分布，每个乘客中途下车的概率为，且下车与否互不影响，若以表示中途下车的人数，则二维随机变量的联合分布律为
,
求在条件下，中途下车人数的概率分布。
离散型随机变量的条件分布求解
2024/2/27
解：由起点站上车人数的概率为
在上车人数为的条件下，中途下车人数的分布为
，
即在条件下，中途下车的人数服从参数为二项分布。
三、课堂小结
1. 条件分布律
2. 条件密度函数
3. 随机变量相互独立的定义
PART 5
3.5二维随机变量函数的分布
3.5二维随机变量函数的分布
教学内容
2024/2/27
1. 二维离散型随机变量函数的分布
2024/2/27
设是二维离散随机变量，其联合分布列为
求分布列的方法是:
(1)将的所有可能取值代入函数，求得
随机变量的所有可能取值，设为，，，，；
(2)求取每个值的概率，即
，
1. 二维离散型随机变量函数的分布
例1：已知随机变量的联合分布律为：
试求的分布律.
-1 0 1
0 0.3 0 0.3
1 0.1 0.2 0.1
【解】
-1 0 1 2
P 0.3 0.1 0.5 0.1
2. 二维连续型随机变量函数的分布
2024/2/27
已知的联合密度函数，求的密度函数。
问题
分布函数法
方法
（i）从求 的分布函数出发,将 的分布函数转化为的事件
（ii）两端求导
步
骤
2. 二维连续型随机变量函数的分布
2024/2/27
例2. 已知相互独立，且均服从,求的密度函数。
解： 由于相互独立，则, 的分布函数
(1) 当时,
(2) 当时,
因此

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