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CH1 随机事件与概率
PART 1
1.1 随机事件
1.1.1 随机试验与随机事件
1.随机现象
自然界及生活中出现的现象是多种多样的。从结果能否预测的角度划分，可以分为两大类：确定性现象和随机现象。
（1）确定性现象
这类现象在一定条件下，可以预测其结果，即在一定的条件下，进行重复试验与观察，它的结果总是确定的，这类现象称为确定性现象。
（2）随机现象
这类现象是不能预测其结果的，即在一定的条件下，重复试验与观察，或出现这种结果，或出现那种结果，这类现象称为随机现象。
“太阳从东边升起”
“水从高处向低处流”
引例 掷硬币,观察正反面
引例 抛掷一枚骰子,观察点数
引例 过马路交叉口,交通信号灯的颜色
1.1.1 随机试验与随机事件
引例
（1）抛一枚质地均匀的硬币，观察正面（H）和反面（T）出现的情况。.
1.1.1 随机试验与随机事件
（2）抛一枚质地均匀的硬币两次，观察正面（H）和反面（T）出现的情况。
2.随机试验与随机事件
（3）记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数.
（4）在一批灯泡中任取一只，测试其寿命
1.1.1 随机试验与随机事件
定义 随机试验
在一定条件下，对自然现象和社会现象进行的观察而从事的某种活动称为试验，如果一个试验同时满足以下三个条件
（1）可以在相同的条件下重复地进行；
（2）每次试验的结果可能不止一个，但试验所有可能的结果是明确的；
（3）每次试验之前无法预知会出现哪一种结果。
1.1.1 随机试验与随机事件
定义2
1.1.1 随机试验与随机事件
称随机试验所有可能的结果组成的集合为样本空间，记为；
样本空间的每一个元素称为样本点，记为；
样本点组成的集合称为随机事件，简称为事件，一般用大写字母，，等表示；
特别地，单个样本点组成的集合称为一个基本事件；
每次试验中总是发生的事件称为必然事件，记为；
每次试验中均不发生的事件称为不可能事件，记为。
1.1.1 随机试验与随机事件
例1.1.1 同时抛两枚质地均匀的硬币，观察“正面”和“反面”出现的结果。
（1）写出该随机试验对应的样本空间；
（2）事件表示“至少出现一次正面”，写出事件的样本点。
解：用“1”和“0”分别表示出现“正面”和“反面”，由于是两枚硬币，所以其每次的结果用坐标的形式来表示。
（1）该随机试验对应的样本空间
（2）事件，对应的样本点分别是。
1.1.1 随机试验与随机事件
例1.1.2 观察掷一颗骰子的试验，设事件分别表示“点数为6”，“点数不大于6”，“点数大于6”。
那么事件是基本事件，当且仅当掷出点数为6时，该事件发生；
事件是必然事件，每次掷骰子时均会发生；
事件是不可能事件，每次掷骰子时均不可能发生。
练习题 掷两颗质地均匀的骰子，观察点数，试描述下列事件：
(1)两个骰子点数相同； (2)点数和为8.
1.1.1 随机试验与随机事件
1. 包含关系
若事件 A 发生, 必然导致 事件B 发生,
则称事件 B 包含事件 A, 记作
设试验 的样本空间为 是 的子集。
1.1.2 事件的关系与运算
特别，对于任何事件，有
若事件 包含 ,且 也包含 ，即相互包含，则称事件 与 相等，记作 .
3. 和事件
事件 中至少有一个发生称为的和事件.
4. 积事件
事件同时发生称为事件 的积事件.
2. 相等
A
A
B
AB
B
1.1.2 事件的关系与运算
5.差事件
6.互不相容事件
事件 发生且事件不发生 , 称为与的差，记作.
两个事件 与不可能同时发生 ,即 ，则称为两个互不相容事件或互斥事件.
1.1.2 事件的关系与运算
7. 对立事件/互逆事件
注1：
(3)
(4)
事件有且仅有一个发生，即若且，则称 为对立事件或互逆事件.
1.1.2 事件的关系与运算
8. 完备事件组
若个事件 中至少有一个发生，且两两互不相容，即 且 ,则称事件 构成一个完备事件组.
1.1.2 事件的关系与运算
1.1.2 事件的关系与运算
1.1.2 事件的关系与运算
在进行事件运算时，经常要用到下述定律。设为事件，则有
（1）交换律 ，
（2）结合律 ，
（3）分配率，
（4）德摩根公式 ，
1.1.2 事件的关系与运算
例1.1.3 甲，乙，丙三人各射一次靶，记表示甲中靶，表示乙中靶，表示丙中靶，则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：
（1） 甲未中靶；
（2） 甲中靶而乙未中靶；
（3） 三人中只有丙未中靶；
（4）三人中恰好有一人中靶；
（5）三人中至少有一人中靶；
（6）三人中至少有一人未中靶；
（7）三人中恰有两人中靶；
（8）三人中至少两人中靶；
（9）三人均未中靶；
(10)三人中至多一人中靶；
(11)三人中至多两人中靶。
1.1 随机事件
小结
随机实验：可重复性、可预知性、不确定性
基本概念：样本空间、样本点、事件、基本事件、必然事件、不可能事件
事件的关系及运算
1.事件的包含、事件的相等
2.和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件、完备事件组
3.事件的运算律
PART 2
1.2 概率及其性质
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.
引例
了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？
引例
引入：随机事件发生的频繁程度
问题：如何刻画随机事件的概率？
1. 频率及其性质
1.2.1 概率的统计定义
定义1.2.1 在相同条件下，进行次试验，其中事件发生的次数为，则称次数为事件发生的频数。比值 称为事件发生的频率，记作：。
基本性质：
（1） 非负性 ；
（2） 规范性 ；
（3） 有限可加性 设是两两互不相容的事件，则
实验序号 n=5
1 0.4
2 0.6
3 0.2
4 1.0
5 0.2
6 0.4
7 0.8
8 0.4
9 0.6
10 0.6
n=50
0.44
0.50
0.42
0.50
0.48
0.42
0.36
0.48
0.54
0.62
n=500
0.502
0.498
0.512
0.506
0.502
0.492
0.488
0.516
0.524
0.494
例1.2.1 掷硬币的试验
1.2.1 概率的统计定义
实验者 投掷次数 正面次数 正面出现的频率
德摩根 2048 1061 0.5181
蒲丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
历史上投掷试验（表2）
1.2.1 概率的统计定义
大量的随机试验表明：
(1) 频率具有随机波动性，即对于同一个随机事件来说，在相同的试验次数下，得到的频率也不一定会相同。
(2) 频率还具有稳定性，它总是在某一个具体数值附近波动，而随着试验次数的不断增加，频率的波动会越来越小。
1.2.1 概率的统计定义
2、概率的统计定义
在一组恒定不变的条件下，将某一实验重复进行次，事件发生的次数为 ,事件A 发生的频率，随着 的增大，总在某一固定值 的附件摆动，称 为事件发生的概率，记为且满足
1.2.1 概率的统计定义
（1） 非负性 对于每个事件有，；
（2） 规范性 对于必然事件有，；
（3） 有限可加性 设是两两互不相容的事件，则
1.2.1 概率的统计定义
【注意】
这里需要指出，，当时稳定在常数附近，这似乎与极限的概念较为类似，但是又不完全等同于极限的概念，是因为频率不能随着试验次数的无限增大而收敛到概率。
1. 定义(古典概型)
（1）随机试验的样本空间只包含有限个样本点；
（2）随机试验中每个样本点发生的可能性相同；
具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型或古典概型.
2. 古典概型中事件概率的计算公式
1.2.2 古典概型
1.2.2 古典概型
古典概型中事件概率的计算公式的推导
设样本空间， 事件包含样本空间中个基本事件，即。
因为试验中每一个基本事件发生的可能性相同，
所以有
，
则事件发生的概率
，
在古典概型中，如果样本空间为，且事件包含个样本点，则事件的概率为
，
其中，表示事件所包含样本点的个数，表示样本空间所有样本点的个数。
1.2.2 古典概型
两大原理
加法原理：做一件事，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法。每一种方法都能够直接达成目标。（分类）
乘法原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。（分步）
1.2.2 古典概型
5
家
校
加法原理
7
1.2.2 古典概型
家
校
中转站
7
5
乘法原理
1.2.2 古典概型
排列
组合
1.2.2 古典概型
排列：从个元素中不放回的取个元素做排列，则排列总数为
，
组合：从个元素中不放回的取个元素做组合，则组合总数为
，
例1.2.3 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任取2个球，求取到一个红球一个白球的概率。
解： 设事件表示取到“一红一白”，则事件包含的基本事件总数为。
样本空间包含的基本事件总数为。根据古典概型的计算公式有
。
练习
1.2.2 古典概型
1.2.2 古典概型
例1.2.5 将三只球随机的放入4个杯子中，求杯中球最大数为1，2，3的概率。
解：每只球都有4种放法，故样本空间包含基本事件的总数为。设事件分别表示杯中球最大数为1，2，3。
袋中有5个红球，3个黑球，现随机挑选2个球，求下列事件的概率：
(1)两个球都为红球；(2)两个球颜色不同。
练习
1.2.2 古典概型
1.2.2 古典概型
例1.2.6 从0到9中无重复的任意取4个数字，试求取到的4个数字能组成四位偶数的概率。
解： 试验可以看作从10个数字中任取4个进行排列，因此样本空间包含基本事件的总数为。
设事件表示“取到的4个数能组成一个四位偶数”。
事件分成两大类：
（1）数字中不包含0
取到的4个数能组成一个四位偶数的方法为种。
（2）数字中包含0
零在个位，取到的4个数能组成一个四位偶数的方法为种；
零不在个位，取到的4个数能组成一个四位偶数的方法为种。
因此，根据加法原理事件包含基本事件的总数为1344+504+448。由古典概型的计算公式有
。
1.2.2 古典概型
2.几何概型
设样本空间是平面上某个区域，它的面积记为；向区域上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入内任何部分区域的可能性只与区域的面积成比例，而与区域的位置和形状无关。该点落在区域的的事件仍记为，则概率为，其中为常数，而，于是得，从而事件的概率为
称上式定义的概率为几何概率。

例1.2.8 (会面问题)两人相约7:00到8:00在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离去，试求这两人能会面的概率。
1.2.2 古典概型
解： 为了计算方便，不妨记7:00为时刻0，以1分钟为1个单位。设分别是两个人到达会面地点的时刻，由于两人7:00到8:00随机的到达会面地点，因此等可能的在取值，所以样本空间为
由几何概型的计算公式有
PART 3
1.3 概率的公理化定义及其性质
1.3.1 概率的公理化定义
1.3.1 概率的公理化定义
定义1.3.1 设是随机试验的样本空间，对于的每个事件，都赋予一个实数与之对应，若集合函数满足下列三条公理：
（1） 非负性 对于每个事件有，；
（2） 规范性 对于必然事件有，；
（3） 可列可加性 设是两两互不相容的事件，则
则称为事件的概率。
1. 不可能事件的概率为零，即
证明
由概率的可列可加性得
1.3.2 概率的性质
证明
由概率的可列可加性得
1.3.2 概率的性质
证
由有限可加性知,
1.3.2 概率的性质
证
证
1.3.2 概率的性质
证
性质3
因此
1.3.2 概率的性质
推论
1.3.2 概率的性质
1.3.2 概率的性质
例1.3.1 设事件和互不相容，且，，求，，
解： 因为事件和互不相容，所以，因此有

练习题 设 A、B 为两个随机事件 ,且已知 就下列三种情况求概率
(1) 与互斥 (2) (3)
1.3.2 概率的性质
1.3 概率的公理化定义及其性质
小结
概率的统计定义
古典概型
概率的公理化定义
概率的性质
PART 4
1.4 条件概率与事件独立性
1.4.1 条件概率
引例1.4.1 两台车床共同生产100件产品。已知第一台车床生产了35件合格品，5件不合格品；第二台车床生产了51件合格品，9件不合格品。
问：从这批产品里任意取一件产品，已知取出的产品为第一台车床生产的，求该产品是合格品的概率？
解： 设事件表示“从这批产品里任意取一件产品，为合格品”；表示“从这批产品里任意取一件产品，是第一台车床生产的”。则
，，
题目所求事件的概率为可表示为，该符号的意思表示已知事件发生的条件下，事件的概率。
那么如何计算 这就是接下来要学习的内容：“条件概率”。
1. 条件概率的定义
设为一个随机试验 的两个事件，若，则称
为事件发生的条件下，事件 发生的条件概率。记作
条件事件
理解为：已知发生（ 发生后），推断发生的概率。
“条件概率”满足“概率的公理化定义”吗？
1.4.1 条件概率
1. 对中的任意事件
2.
3. 对两两互不相容事件有
即条件概率满足概率的公理化定义，所以条件概率是概率.
通过上述三条公理可得到，条件概率具有下面的性质
1.4.1 条件概率
条件概率满足如下条件：
性质1
性质2(有限可加性)
对于两两互不相容事件有
性质3
和是样本空间中的任意事件
特别地，
性质4
性质5
2.条件概率的性质
1.4.1 条件概率
1.4.1 条件概率
例1.4.1 在一批产品中，一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出1件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解： 设这批产品共有100件，则一、二、三等品分别有60件、30件、10件。已知取出的产品不是三等品，则此时缩减之后样本空间变成一、二等品有90件；该前提下一等品有30件，所以要求事件的概率为
1.4.1 条件概率
例1.4.2 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件产品，已知取出的2件产品中有1件是不合格品，
求另一件也是不合格品的概率。
解： 从10件产品中任取2件产品，有三种情况：
2件合格品，有种可能；
2件不合格品，有种可能；
1件合格品1件不合格品，有种可能。
已知取出的2件产品中有1件是不合格品，则此时缩减之后样本空间变成：1件合格品1件不合格品和2件不合格品，有30种可能；又因为2件是不合格品有6种可能，因此要求事件的概率为
1.4.1 条件概率
例1.4.3 设、为互不相容事件，，求：
解：因为、为互不相容事件，所以。因为，所以
因为，所以
所以
练习题
袋中有个红球，个黑球，从中不放回地取两次，一次一个，
已知第一次取到红球，求第二次取到红球的概率？
解：
法一：公式法
设 表示第一次取到红球，表示第二次取到红球，
法二：直接法（考虑发生带来的影响）
1.4.1 条件概率
条件概率的定义
条件概率的计算
公式法
直接法(考虑发生带来的影响)
乘法公式
1.4.1 条件概率
推广：
设个事件且则有
由条件概率的定义有
1.4.2 乘法公式
1.4.2 乘法公式
例1.4.4 设一批产品的合格率为96%，合格品中的一等品率为75%。在该批产品中任取一件，取得一等品的概率。
解：设事件表示取到合格品，事件表示取到一等品。由题意知 ，。
根据乘法公式有
1.4.2 乘法公式
例1.4.5 一批产品种共有10件，其中3件为次品，每次从中不放回的任取一件，
求第三次才取到正品的概率。
解： 设表示第一次取得次品，表示第二次取得次品，表示第三次取得正品，则
根据乘法公式有
联系：事件A与B都发生了
区别：1、在，事件有时间上的差异，但在，事件同时发生。
2、样本空间不同，在中，事件成为样本空间；但在中，样本空间仍为 ，所以有
1.4.2 乘法公式
计算和
表示的发生并不影响发生概率，此时条件概率等于无条件概率，这样一种关系就是所谓的“独立”.
引例
盒中有5个球(3绿2红), 每次取出一个，有放回地取两次. 记
A={第一次取到绿球} B={第二次取到绿球}
1.4.3 事件的独立性
显然
若事件满足
则称事件 相互独立, 简称 独立.
定义
1.4.3 事件的独立性
证明：
只证 与独立, 其他类似。
1.4.3 事件的独立性
若相互独立，则与与,与也相互独立
定理 1.4.1 下列四个命题等价
（1） 事件与相互独立；
（2） 事件与相互独立；
（3） 事件与相互独立；
（4） 事件与相互独立。
注
三个事件相互独立
三个事件两两相互独立
定义
两两独立
1.4.3 事件的独立性
设是三个事件,如果等式
成立，则称事件相互独立
1.4.3 事件的独立性
定义1.4.4 设是个事件， 若对任意的正整数，都有
则称事件相互独立。
【思考】n个时间相互独立需要多少个条件？
=
个事件相互独立
个事件两两相互独立
练习 甲乙同时独立射击 ,甲击中的概率为0.8, 乙击中的概率为0.7 ,
求：至少有一人射中的概率。
1.4.3 事件的独立性
1.4.3 事件的独立性
例1.4.6 一个均匀的正四面体，其第一面染有红色，第二面染有白色，第三面染有黑色，第四面染有红、白、黑三种颜色，以A,B,C分别表示投一次四面体出现红、白、黑三种颜色的事件。讨论A,B,C三个事件的独立性。
解： 显然
因此
所以两两独立，但不相互独立。
1.4.3 事件的独立性
例1.4.7 设，且，证明与相互独立。
证明： 因为，利用条件概率的定义有
因此。由概率的性质有
即，所以与相互独立。
小结
条件概率
乘法公式
事件的独立性
独立试验序列模型
1.4 条件概率与事件的独立性
PART 5
1.5 全概率公式与贝叶斯公式
1.引例---抓阄是否公平
1.5.1 全概率公式
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.
1
2
3
分析：记
1.5.1 全概率公式
发生总是伴随着之一同时发生，即
且两两互不相容，那么
原因，是结果！
2. 样本空间的划分/完备事件组
设为试验的样本空间为的一组事件,若
则称为样本空间的一个划分.
特殊地是的一个划分.
1.5.1 全概率公式
3. 全概率公式
设为随机试验的样本空间为一个事件,为的一个划分,则
1.5.1 全概率公式
【注意】我们将事件视为“结果”，则视为导致事件发生的“原因”，称为先验概率。有时我们还想知道结果发生到底主要是由什么原因引起的，即求，它称为后验概率。
1.5.1 全概率公式
例1.5.1 考虑一个简单的质量问题。
甲、乙、丙三个检验员分别检验某工厂各占总产量，，的三种产品。
并设甲、乙、丙三人误使次品通过的概率分别为0.05, 0.10, 0.15。
从已经被检验过的产品中任取一件，问它是次品的概率是多少？
解： 设，，分别表示所取产品为经甲、乙、丙检验过的产品，
表示产品为次品。由题意
，，
，，
由全概率公式得
某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据:
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件 ,求它是次品的概率.
练习
1.5.1 全概率公式
1.5.1 全概率公式
例1.5.2 有朋友自远方来，他乘火车，汽车，飞机来的概率分别是。若他乘火车、汽车来的话，迟到的概率分别是，而乘飞机来不会迟到，求他迟到的概率。
设为随机试验的样本空间，为事件,为的一个划分,且
定理(贝叶斯公式)
1.5.2 贝叶斯公式
1.5.2 贝叶斯公式
例1.5.3 有3个箱子，1号箱有2个红球1个黑球，2号箱有3个红球1个黑球，3号箱有2个红球2个黑球。从任一个箱中任意摸出一个球，发现是红球，求该球取自1号箱的概率。
练习
1.5.2 贝叶斯公式
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.
(1) 在仓库中随机地取一只元件 ,求它是次 品的概率;
(2) 在仓库中随机地取一只元件, 若已知取到的是次品, 为分析此次品出自何厂, 需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少. 试求这些概率.
某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据:
1.5.2 贝叶斯公式
数学家与数学家精神：概率统计领域的先行者——贝叶斯
托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes，1701-1761)，英国数学家、数理统计学家和哲学家。贝叶斯是概率论理论创始人之一，在概率论与统计学的早期发展过程中有着重要的奠基作用。他将归纳推理法用于概率论基础理论的研究，使用“逆概率”概念，并将其作为一种普遍的推理方法提出来，给出了著名的“贝叶斯公式”。此外，他首次提出“以样本推断总体”的思想，并创立了贝叶斯统计理论，现已成为统计学学科中的重要分支。贝叶斯在科学研究上勇于探索和创新的精神以及突出的学术成果，对后人的研究产生了深远的影响。
1.5 全概率公式与贝叶斯公式
小结
全概率公式：已知原因求结果
贝叶斯公式：已知结果找原因

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