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2024/2/27
CH7 参数估计
CH7.1 点估计
目录
contents
2024/2/27
前言
2024/2/27
PART 1
7.1 点估计
概念
矩估计的基本思想是“替代”，具体是：
● 用样本矩(即矩统计量)估计总体矩;
● 用样本矩的函数估计总体矩的相应函数。
这里的矩可以是各阶原点矩,也可以是各阶中心矩。这一思想是英国统计学家皮尔逊在1900年提出的。
2024/2/27
7.1.1 矩估计
2024/2/27
设????1,????2,?,????????是来自某总体的一个样本，只要该总体的各阶矩存在，都可对总体若干参数用矩法获得矩估计。
?
“替代”?????????????=1????????=1????????????????
?
????????=1????????=1?????????????????????2=1????????=1????????????2?????????????????????????????=1????????=1????????????????
?
7.1.1 矩估计
例7.1.1 设总体????~????(????)，求未知参数????的矩估计。
?
解：设(????1,????2,?,????????)为来自总体????的一个样本，由于????~????(????)，则????(????)=????，则令
?
????=1????????=1????????????=????
?
解得参数λ的矩估计
。

????????????=????。
?
7.1.1 矩估计
例7.1.2 设(????1,????2,?,????????)为来自总体????的一个样本，只要????的各阶矩都存在，则可根据矩估计法，获得????的若干参数的矩估计，常用的矩估计有：
?
（1）总体均值????=????(????)的矩估计为????????????=????。
（2）总体方差????2=????(?????????)2的矩估计为????????????2=????????2，其中，????????2=1????????=1????(?????????????)2。
（3）总体标准差????的矩估计为????????????=????????2=????????。
?
事实上，根据矩估计法可以得到方程组 &????=????(????)=1????????=1????????????=????&????2+????2=????(????2)=1????????=1????????????2，
?
解上述方程组可得 &????????????=????&????????????2=1????????=1????(?????????????)2=????????2。
?
7.1.1 矩估计
例7.1.3 设总体????~????(????,????2)，????和????2均未知，对任意的常数????，求????=?????????
解：对于????~????(????,????2)，有????(????)=????，????(????)=????2，根据例2结论
????????????=????，????????????=????????，
下面计算????的矩估计，由于
????=????????所以????矩估计为
????????????=?????????????????????。
?
7.1.1 矩估计
2024/2/27
练习1
设????1,????2,?,????????是来自均匀分布????(????,????)的一个样本,试求????,????的矩估计。
若从均匀分布????(????,????)获得如下一个容量为5的样本:4.5,5.0,4.7,4.0,4.2，
求????,????的矩法估计。
?
7.1.1 矩估计方法
2024/2/27
练习2
设样本????1,????2,?,????????来自正态总体????(????,????2)，????与????未知，求????=????(????<1)的估计。
从正态总体中获得一个容量为????=25的样本，由样本观察值得到样本均值与样本标准差分别为 0.95和0.04，求????=????(????<1)的矩法估计。
?
7.1.1 矩估计
2024/2/27
矩估计的优缺点
优点：统计思想简单明确,易为人们接受，且在总体分布未知场合也可使用。
缺点：
1.不唯一;
2.样本各阶矩的观测值受异常值影响较大,不够稳健，实际中要尽量避免使用样本的高阶矩。
思想：大概率原理
2024/2/27
使得事件A的概率取得最大时对应的参数值就是参数的极大似然估计。
引例
2024/2/27
设总体????~????(1,????)
100次观测的结果为：60个“1”，40个“0”
求参数 ???? 的估计值。
?
7.1.2 极大似然估计
2024/2/27
定义7.2.1　
设????=(????1,????2,?,????????)是来自某分布????(????;?????)(密度函数或分布律)的一个样本。在给定样本观察值 ???????? 时,该样本 ???????? 的联合分布????(????;?????)是????的函数，称其为????的似然函数,记为????(????;?????),有时还把 ???? 省略,记为
????(????)=????(????;?????)=????(????;?????)=????=1????????(????????;?????)
若在参数空间Θ={????}上存在这样的?????,使????(????)达到最大,即
????(????)=max?{????????}?
则称 为????的极大（最大）似然估计,简记为MLE。
?
????
?
7.1.2 极大似然估计
2024/2/27
例7.1.4
设样本????1,????2,?,????????来自总体????， ????1,????2,?,????????为样本观测值，在下面的条件下求??????的MLE。
（1） ????~????(????)；
（2） ????~????????????(????)。
?
7.1.2 极大似然估计
解：（1）设(????1,????2,?,????????)为总体????的样本，其观察值为(????1,????2,?,????????)且????????>0, ????=1,2,?????，由于????~????(????)，所以????????????=????????=????????????????????!?????????，????=1,2,?????，则
?
似然函数 ??????(????)=????=1????????????????????????!?????????=?????????????????????=1????????????????=1????????????!，
对数似然函数 ????????????(????)=?????????+????????????????=1?????????????????=1????????????????????，
?
对数似然函数求导 ????????????????????????(????)=?????+1????????=1????????????，
?
求二阶导数 ????2????????2????????????(????)=?????=1????????????????2<0，
?
因此，令????????????????????????(????)=0解得参数????的极大似然估计值为 ????=1????????=1????????????=????，
?
故，参数????的极大似然估计量为????=????。
?
7.1.2 极大似然估计
（2）设????1,????2,?,????????为总体????的样本，其观察值为????1,????2,?,????????且????????>0,????=1,2,?????,由于?????Exp(????)，所以其概率密度函数为 ????(????)=&?????????????????,????>0,&0,????≤0.
?
则似然函数 ????(????)=????=1???????????????????????=?????????????????????=1????????????，
对数似然函数 ????????????(????)=?????????????????????????=1????????????，
?
对数似然函数求导 ????????????????????????(????)=?????????????=1????????????，
求二阶导数 ????2????????2????????????(????)=?????????2<0，
?
因此，由????????????????????????(????)=0解得参数????的极大似然估计值为 ????=????????=1????????????=1????，
故，参数????的极大似然估计量为????=1????。
?
7.1.2 极大似然估计
2024/2/27
例7.1.6
设样本????1,????2,?,????????来自总体????~????(????,????2)， ????1,????2,?,?????????为样本观测值，
求 ????,????2 的MLE。
?
解：设????1,????2,?,????????为总体????的样本，其观察值为????1,????2,?,????????且????????>0,????=1,2,?????,由于????~????(????,????2)，所以其概率密度函数为????(????)=12?????????????(?????????)22????2，则
?
似然函数 ????(????,????2)=????=1????12?????????????(?????????????)22????2，
对数似然函数 ????????????(????,????2)=?12????????(2????)?????2????????????2?12????2????=1????(?????????????)2，
?
7.1.2 极大似然估计
令
&????????????????????????(????,????2)=1????2????=1????(?????????????)=0&????????(????2)????????????(????,????2)=?????2????2+12????4????=1????(?????????????)2=0，
?
解得，参数????和????2的极大似然估计值为????????????????=1????????=1????????????=????，????????????????2=1????????=1????(?????????????)2。
?
7.1.2 极大似然估计
2024/2/27
练习
设????=(????1,????2,?,????????)是来自均匀分布????(0,????)的一个样本观测值，求????的MLE。
?
例7.1.7
设????=(????1,????2,?,????????)是来自均匀分布????(????,?????+1)的一个样本的观测值，其中????可为任意实数, ????的MLE。
?
7.1.2 极大似然估计
解： 设????1,????2,?,????????为总体????的样本，其观察值为????1,????2,?,????????且????????>0，????=1,2,?????,将观测值从小到大依次排序为????(1)≤????(2)≤?≤????(????)，由于总体????~????(????,????+1)，则似然函数为
????(????)=&1,????≤????(1)≤????(????)≤????+1&0,其他
?
该似然函数在????不超过????(1)或????不小于????(????)?1时均可取到最大值，因此????1=????(1)和????2=????(????)?1都是????的极大似然估计，另外，对于?????∈(0,1)，????1和????2凸线性组合
????=????????1+(1?????)????2=????????(1)+(1?????)(????(????)?1)
?
都是????的极大似然估计，可见参数的极大似然估计也不具有唯一性。
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7.1.2 极大似然估计
2024/2/27
2 极大似然估计的不变原理
定理 (不变原理) 设????~????????,????,?????????，若????的最大似然估计为 ????，则对任意函数
????=????(????)
????的最大似然估计为????=????(????)。
?
PART 2
7.2 估计量的评价标准
统计量的评价
2024/2/27
一个参数的估计量常不止一个,如何评价其优劣性呢?
7.2.1 无偏性
2024/2/27
1 无偏估计与渐近无偏估计
定义 设????是参数的一个估计,若对于参数空间Θ={????}中任一个????都有
????????=????
则????称为????的无偏估计,否则称????为 ????的有偏估计。当估计将随着样本量????? 的增加而逐渐趋于其真值????,这时若记????=????(????)，若有
lim????→∞????(????)=????
则称????为θ的渐近无偏估计。
?
7.2.1 无偏性
例7.2.1 设总体????的期望为????，方差为????2，????1,????2,?,????????为总体????的样本，试证明：
（1）样本均值????是总体期望????的无偏估计；
（2）样本方差????2=1?????1????=1????(?????????????)2和估计量????????2=1????????=1????(?????????????)2分别是总体方差????2的无偏估计和渐进无偏估计。
?
证明：由于????(????)=????，????(????)=????2，所以????(????????)=????，????(????????)=????2，????=1,2,?????。
（1）由于
????(????)=????1????????=1????????????=1????????=1????????(????????)=1????????=1????????=????，
所以????是总体期望????的无偏估计。
?
7.2.1 无偏性
（2）由于 ????(????2)=????1?????1????=1????(?????????????)2
?
=1?????1????????=1????????????2?2????????????+????2
?
=1?????1????=1??????2+????2?????????2+????2????
=1?????1(?????1)????2=????2
?
因此，样本方差????2=1?????1????=1????(?????????????)2是总体方差????2的无偏估计；
?
7.2.1 无偏性
由于
???????(????????2)=????1????????=1????(?????????????)2=?????1????????2
所以????????????????→∞????(????????2)=????2，即估计量????????2=1????????=1????(?????????????)2是总体方差????2的渐进无偏估计。
?
7.2.1 无偏性
2024/2/27
1 无偏估计与渐近无偏估计
练习 设总体期望EX=????的估计量为
????=????=1????????????????????
当????????????=1,2,?,????满足社么条件时， ????为参数????? 的无偏估计?
?
7.2.1 无偏性
2024/2/27
1 无偏估计与渐近无偏估计
练习 设总体方差DX=????2的估计量为
????12=1?????1????=1?????????????????2,????22=1????????=1?????????????????2,
哪一个估计量是参数????2的无偏估计?
?
7.2.2 有效性
2024/2/27
2 最小方差无偏估计
定义（有效性）设????1=????1(????1,????2,?,????????)与????2=????2(????1,????2,?,????????)都是参数????的无偏估，
若
????????1≤????????2
则称????1比????2更有效。
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7.2.2 有效性
2024/2/27
2 最小方差无偏估计
参数????的无偏估计常有多个，如何在诸多无偏估计中选择呢?
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7.2.2 有效性
例7.2.2 设总体????的期望为????，方差为????2，(????1,????2,?,????????)为总体????的样本，则
????1=????，????2=????1
都是????的无偏估计，但是
????(????1)=????(????)=????2????，????(????2)=????(????1)=????2
当????≥2时，????(????1)?
7.2.2 有效性
例7.2.3 设总体????的期望为????，方差为????2，(????1,????2,?,????????)为总体????的样本，令
????=????=1????????????????????，其中????????>0，????=1,?,????，????=1????????????=1
试证明：
（1）????是????的无偏估计；
（2）当且仅当????1=????2=?=????????=1????，即????=????是????的最有效估计。
?
证明：（1）由于 ????????=????????=1????????????????????=????=1????????????????????????=????=1????????????????????????
=????=1????????????????????=????=1????????????????=????????=1????????????=????
所以????是????的无偏估计。
?
7.2.2 有效性
（2）由于 ????????=????????=1????????????????????=????=1????????????????????????=????=1????????????2????????????
=????=1????????????2????????=????=1????????????2????2=????2????=1????????????2
当??1=????2=?=????????时，
????????=????????=????2????
根据柯西-施瓦茨不等式得
????=1????????????2≥1????????=1????????????2=1????，当且仅当????1=????2=?=????????时取“=”
所以????????=????2????=1????????????2≥????2????=????????，即????=????是????的最有效估计。
?
7.2.2 有效性
2024/2/27
2 最小方差无偏估计
练习(续) 设总体期望????????=????的估计量为
????=????=1????????????????????
当????????????=1,2,?,????满足什么条件时， ????为参数????? 的最小方差无偏估计?
?
7.2.3 相合性
2024/2/27
定义（相合估计）设????∈Θ为未知参数,对每个自然数????, ????????是????的一个估计量,
若????????依概率收敛于????,即对任意给定的????>0,有
????(|??????????????|?>????)→0，(????→∞)
则称????????为????的相合估计。
?
7.2.3 相合性
例7.2.4 试证明样本????阶矩????????=1????????=1????????????????是总体????阶矩????????=????(????????)的相合估计。
?
证明： 根据大数定律，如果总体????阶矩????????=????(????????)存在，则当????→∞时，样本????阶矩????????=1????????=1????????????????依概率收敛于总体????阶矩????????=????(????????)，即对?????>0，有
????????????????→∞?????????????????????因此，样本????阶矩????????是总体????阶矩????????的相合估计。
?
PART 3
7.3 单正态总体参数的区间估计
前言
7.3.1 置信区间与枢轴量
1. 相关概念
定义　设????=(????1,????2,…,????????)是取自某总体????????(????)的一个样本,假如 ????????(????)与 ?????????(????)是在参数空间Θ上取值的两个统计量,且 ????????(????)??
7.3.1 置信区间与枢轴量
2. 注意事项
注1: 一个参数的区间估计可以给出多种,但要给出一个好的区间估计需要有丰富的统计思想和熟练的统计技巧。
注2: 当置信度所示概率与参数θ无关时,置信度就是置信系数,以后我们将努力寻求置信度与θ无关的区间估计。
注3: 上述定义中区间估计用闭区间给出,也可用开区间或半开区间给出,由实际需要而定。
7.3.1 置信区间与枢轴量
3. 信度与精度
置信度(或置信系数)越大越好。
在置信水平不变的条件下，随机区间[???????? , ????????]的平均长度????????[????????- ????????]越短越好。
?
7.3.1 置信区间与枢轴量
定义 设????是总体的一个参数,其参数空间为Θ,又设????1,????2,?,????????是来自该总体的一组样本观测值，对给定????(0?????????= ????????(????1,????2,?,????????)与 ????????=????????(????1,????2,?,??????),
若有
　　????????(?????????≤????≤ ????????)≥1?????,　?????∈Θ
则称随机区间[?????????, ????????]是????的置信水平为1?????的置信区间，或简称[?????????, ????????]是????的1?????置信区间， ????????与????????分别称为1?????的置信区间的(双侧)置信下限与(双侧)置信上限。
?
7.3.1 置信区间与枢轴量
定义 在定义3.1.2的记号下,如对给定的????(0　　?????????????????≤????≤????????=1?????,　?????∈Θ (3.1.3)
则称随机区间[?????????,?????????]为????的1?????同等置信区间。
?
7.3.1 置信区间与枢轴量
4 置信限
定义 设????是总体的某一未知参数,对给定的????(0　　????????(????≥ ????????)≥1?????,　?????∈Θ
则称????????为????的置信水平是1?????的单侧置信下限,简称1?????单侧置信下限。若等号对一切????∈Θ成立,则称????????为????的1?????单侧同等置信下限。又若由样本确定的统计量 ????????= ?????????(????1,????2,…,????????)满足????????(????≤????????)≥1?????,　?????∈Θ
则称????????为????的置信水平是1?????的单侧置信上限,简称????的1?????单侧置信上限。若等号对一切????∈Θ 成立,则称????????为????的1?????单侧同等置信上限。
?
7.3.1 置信区间与枢轴量
5 枢轴量法
(1)从????的一个点估计????出发,构造????与????的一个函数????(????,????),使得????的分布(在大样本情形,可以是????的渐近分布)是已知的,而且与????无关。通常称这种函数????(????,????)为枢轴量。
(2)适当选取两个常数????与????,使对给定的????有
　　????????≤????(????,????)≤????≥1????? (3.1.7)
(3)利用不等式运算,将不等式????≤????(????,????)≤????进行等价变形,使得最后能得到形如????????≤????≤????????的不等式，则[????????, ????????]就是????的1?????置信区间。
?
7.3.2 均值的置信区间
1. 方差????2已知时，期望????的置信区间
?
?????σ????????1?????2?，????+σ????????1?????2
?
（iii）置信区间
（ii）概率表达式
????????≤????1?????2=1?????
?
（i）枢轴量
????=?????????????/????~????(0,1)
?
7.3.2 均值的置信区间
?????????σ????????????2?≤????≤????+σ????????????2=1????? (3.2.1)
?
练习 某公司生产的滚珠的直径????服从正态分布????(????,????2),其中????2=0.04. 某天从生产线上随机抽取6个滚珠,测得其直径(单位:毫米)如下:
　　14.93　15.10　14.98　14.85　15.15　15.01
若取????=0.05，寻求滚珠平均直径????的置信区间.
?
1. 方差????2已知时，期望????的置信区间
?
7.3.2 均值的置信区间
2. 方差????2未知时，????的置信区间
?
（i）枢轴量
在正态总体情形,可用样本方差
????2=1?????1????=1?????????????????2
?
代替总体方差????2,且有
?
????=??????????????/????~????(?????1)
?
?????????????????????2?????1?,????+????????????????2(?????1)?
?
（iii）置信区间
（ii）概率表达式
????????≤????????2(?????1)?=1?????
?
7.3.2 均值的置信区间
例7.3.1 某厂用自动包装机包装食盐，每袋净重????~????????,52，现随机抽取9袋，测得9袋食盐总净重为1350克，试求总体均值????的置信度为90%的置信区间。
?
解：由于总体方差已知，所以均值????的置信度为1?????的置信区间为
?????????????????????2,????+????????????????2，
设每袋盐的净重为????????克，????=1,2,?,9，则由题可知样本均值????=19????=19????????=150，总体标准差????=5。
当置信度1?????=0.9时，????2=0.05，????????/2=????0.05=1.6449，代入数据得到均值????的置信度为90%的置信区间为[147.2585,152.7415]。
?
7.3.2 均值的置信区间
例7.3.2 假定某型号新能汽车续航时间服从正态分布????(????,????2)，现随机抽取16辆汽车进行测试，得到总续航里程为2160公里，样本标准差为10公里，试求参数????的置信度为95%的置信区间。
?
解：因为总体方差????2未知，所以总体均值????的置信度为1?????的置信区间为
?????????????????????2?????1,????+????????????????2?????1，
设每辆汽车的续航里程为????????公里，????=1,2,?,16，由题可知样本均值????=116????=116????????=135，样本标准差????=10。
当置信度1?????=0.95时，????=0.05时，????????2?????1=????0.02515=2.1314，故总体均值????的置信度为95%的置信区间为129.6714,140.3286。
?
7.3.2 均值的置信区间
2. 方差????2未知时，????的置信区间
?
练习
用仪器间接测量炉子的温度,其测量值????服从正态分布????(????,????2),现重复测量5次,结果(单位：℃)为
　　1250　1265　1245　1260　1275
若取????=0.05，寻求炉子平均温度????的置信区间.
?
7.3.3 方差的置信区间
3. 期望????未知时，方差????2的置信区间
?
（i）枢轴量
????=1?????????????????2????2~????2(?????1)
?
????????1?????22(?????1)≤????=1?????????????????2????2≤????????22(?????1)=1?????
?
（ii）概率表达式
????=1?????????????????2????????22?????1,????=1?????????????????2????1?????22?????1
?
（iii）置信区间
7.3.3 方差的置信区间
例7.3.3 使用金属球测定引力常量（单位：10-11Nm2kg-2）,测得其值如下
6.0661 6.6760 6.6780 6.6690 6.6680 6.6670
设测定值服从????(????,????2)，试求方差????2的置信度为95%的置信区间。
?
解：因为总体期望????未知，所以总体方差????2的置信度为1?????的置信区间为
(?????1)????2????????22(?????1),(?????1)????2????1?????22(?????1)，
由题可知样本均值????=16????=16????????=6.5707，样本方差????2=0.0611。
当置信度1?????=0.95时，????=0.05时，????1?????22?????1=????0.97525=?0.8312，????????22?????1=????0.02525=?12.8325,故总体方差????2的置信度为95%的置信区间为0.0238,0.3677。
?
7.3.3 方差的置信区间
练习(续)
用仪器间接测量炉子的温度,其测量值????服从正态分布????(????,????2),现重复测量5次,结果(单位：℃)为
　　1250　1265　1245　1260　1275
若取????=0.05，寻求炉子平均温度????2的置信区间.
?
3. 期望????未知时，方差????2的置信区间
?
7.3.3 方差的置信区间
4. 期望????已知时，方差????2的置信区间
?
（i）枢轴量
????=1?????????????????2????2~????2(????)
?
????????1?????22(????)≤????=1?????????????????2????2≤????????22(????)=1?????
?
（ii）概率表达式
????=1?????????????????2????????22????,????=1?????????????????2????1?????22????
?
（iii）置信区间
PART 4
两个正态总体参数的置信区间
复习回顾
常用统计量：设总体????~????(????1,????12）， ????~????(????2,????22), (????1,????2,?,?????????1)和 ????1,????2,?,?????????2是分别来自于????和????的样本,则有
(i) ??????????????1?????2????12????1+????12????2~????0,1
(ii) 若????12=????22（未知），则??????????????1?????2????????1????1+1????2~????????1+????2?2,其中 ????????=(????1?1)????12+(????2?1)????22????1+????2?2
(iii) ????12????12????22????22????2~????????1?1,????2?1
(iv)????=1?????????????????12????1????12????=1?????????????????22????2????12~????(????1,????2)
?
7.4.1 均值差的置信区间
（i）枢轴量
1.????12，????22已知时????1?????2的置信区间
?
（iii）置信区间为
????=??????????????1?????2????12????1+????22????2~????0,1
?
（ii）概率表达式
????????≤????????2=1?????
?
??????????????12????1+????22????2????????2?,??????????+????12????1+????22????2????????2
?
7.4.1 均值差的置信区间
(i) 枢轴量：????=??????????????1?????2????????1????1+1????2~????????1+????2?2
(ii) 概率表达式：????????≤????????2(????1+????2?2)?=1?????
(iii)置信区间：?????????±????????1????1+1????2????????2(????1+????2?2)?
?
2.????12=????22=????2（未知），时????1?????2的置信区间
?
7.4.1 均值差的置信区间
(i) 枢轴量：????=(?????????)?(????1?????2)????12????1+????22????2?近似????(0,1)
(ii) 概率表达式：????(????1?????2)?(?????????)≤????????2????12????1+????22????2=1?????，
(iii)置信区间：(?????????)±????????2????12????1+????22????2
?
3.方差????12，????22未知且????12≠????22时，????1?????2的置信区间
?
7.4.1 均值差的置信区间
例7.4.1 某种飞机上用的铝制加强杆有两种类型,它们的抗拉强度(kg/mm2)都服从正态分布. 由生产过程知其标准差分别为1.2与1.5. 现要求两类加强杆的平均抗拉强度均值之差的99%置信区间，使置信区间长度不超过2.5kg/mm2需要多少样本量。
?
解：由于问题属于两个正态总体均值差的区间估计（方差均已知），所以均值差????1?????2的置信度为1?????的置信区间为
??????????????????2????12????1+????22????2,?????????+????????2????12????1+????22????2，
区间长度为
????=2????????2????12????1+????22????2≤????0，
?
7.4.1 均值差的置信区间
其中
&????1=????2=????&????12=1.2,?????22=1.5&????0=2.5&????0.005=2.5758
解得样本容量????≥4????12+????22????02????????22=11.4651，因此样本容量最小为12。
?
7.4.1 均值差的置信区间
例.7.4.2 从两台切断机所截下的坯料（长度服从正态分布），分别抽取8个和9个产品，测得长度如下（单位：mm）：
甲：????~????(????1,????2)观测值：
150 145 152 155 148 151 152 148
乙：????~????(????2,????2)观测值：
152 150 148 152 150 150 148 151 148
试求两个总体均值差????1?????2的95%的置信区间。
?
解：两个总体的方差相等时，均值差????1?????2的置信度为1?????的置信区间为
?
?????????±????????1????1+1????2????????2????1+????2?2
?
7.4.1 均值差的置信区间
由题目数据计算可得
????=150.1250，????=149.8889，????12=3.0909，
????12=3.0909，????22=1.6159，????????=(????1?1)????12+(????2?1)????22????1+????2?2=2.4189
又1?????=0.95，即????2=0.025，查表可知????????2(????1+????2?2)=????0.025(15)=2.1314，则均值差????1?????2的置信度为1?????的置信区间为[?2.2691，?2.7413]。
?
7.4.1 均值差的置信区间
从某地随机选取男女各100名，以估计男女平均高度之差，测量并计算的男子高度的样本均值为1.71m，样本标准差为0.35m，女子高度的样本均值为1.67m，样本标准差为0.038m，假定男女高度均服从正态分布，试计算男女高度平均值之差的置信度为0.95的置信区间.
练习
7.4.2 方差比的置信区间
1. ????1，????2已知时 ????12????22 的置信区间
?
(i) 枢轴量：????=????=1?????????????????12????1????12????=1?????????????????22????2????12~????(????1,????2)
(ii) 概率表达式：????????1?????2(????1,????2)≤????≤????????2(????1,????2)?=1?????
(iii)置信区间：则????12????22的置信水平为1?????的置信区间为
1????????2(????1,????2)????2????=1?????????????????12????1????=1?????????????????22,1????1?????2(????1,????2)????2????=1?????????????????12????1????=1?????????????????22
?
7.4.2 方差比的置信区间
2. ????1，????2未知时 ????12????22 的置信区间
?
(i) 枢轴量：????12????12????22????22????2~????????1?1,????2?1
(ii) 概率表达式：????????1?????2(????1?1,????2?1)≤????≤????????2(????1?1,????2?1)?=1?????
(iii)置信区间：1????????2(????1?1,????2?1)????12????22,1????1?????2(????1?1,????2?1)????12????22
?
7.4.2 方差比的置信区间
例7.4.3 甲、乙两台机床分别加工某种机械轴，轴的直径分别服从正态分布????(????1,????12)与????(????2,????22)。为了比较两台机床所生产的机械轴的加工精度的稳定性，从各自加工的轴中分别抽取若干根测得其直径（单位：毫米），结果如下
甲机床：20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.9
乙机床：20.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2
试根据以上信息给出两个总体方差比????12????22的90%置信区间。
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解：期望????1，????2未知时????12????22的1?????置信区间为
?
????12????22????????2????1?1????2?1，????12????22????1???2????1?1????2?1
?
7.4.2 方差比的置信区间
根据题目数据计算可得
????1=8，????=19.9250，????1=0.2164，????2=7，????=20.1429，????2=0.2729，
查表可得
????????2(????1?1,????2?1)=????0.05(7,6)=4.2067，????1?????2(????1?1,????2?1)=????0.95(7,6)=0.2587，
因此，方差比????12????22的90%置信区间为[0.1886，?3.0665]。
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7.4.2 方差比的置信区间
练习
有两位化验员????,????.他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其方差的测定值分别为?????????2=0.5419，????????2=0.6065?设?????????2与?????????2?分别为 A，B所测量数据总体(设为正态分布)的方差。求方差比??????????2????????2??的95%置信区间.
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PART 5
7.5 单侧置信区间
2024/2/27
0 置信限
7.5 单侧置信区间
定义3.1.4　设????是总体的某一未知参数,对给定的????(0????????(????≥????????)≥1?????,　?????∈Θ
则称????????为????的置信水平是1?????的单侧置信下限,简称1?????单侧置信下限。
又若由样本确定的统计量 ????????= ?????????(????1,????2,…,????????)满足
????????(????≤????????)≥1???,　?????∈Θ
则称????????为????的置信水平是1?????的单侧置信上限,简称????的1?????单侧置信上限。
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2024/2/27
1. 方差????2已知时，期望????的单侧置信下限
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?????????????????????,+∞
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（iii）单侧置信区间
（ii）概率表达式
（i）枢轴量
????=?????????????/????~????(0,1)
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7.5 单侧置信区间
?????????????????/????≤????????≥1????? 即 ????????≥?????????????????????≥1?????
?
单侧置信下限?????????(????≥????????)≥1?????
?
置信下限: ????????=?????????????????????
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2024/2/27
2. 方差????2已知时，期望????的单侧置信上限
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?∞,????+????????????????
?
（iii）单侧置信区间
（ii）概率表达式
（i）枢轴量
????=?????????????/????~????(0,1)
?
7.5 单侧置信区间
?????????????????/????≥?????????≥1????? 即 ????????≤????+????????????????≥1?????
?
单侧置信上限?????????(????≤????????)≥1?????
?
置信上限: ????????=????+????????????????
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2024/2/27
3. 方差????2未知时，????的置信区间
?
在正态总体情形,可用样本方差
????2=1?????1????=1?????????????????2
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代替总体方差????2,且有
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????=??????????????/????~????(?????1)
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7.5 单侧置信区间
????的1?????单侧置信下限为: ????????=?????????????(?????1)????/????
????的1?????单侧置信上限为: ????????=????+????????(?????1)????/????
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7.5 单侧置信区间
例7.5.1 从某厂家生产的一批新型电池中随机抽取5组观测其放电时间，观测数据如下（单位：小时）
1050 1100 1120 1250 1280
假定这些电池的放电时间????~????(????,????2)，求参数????的95%单侧置信下限。
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解：参数????的1?????单侧置信下限????????=?????????????????????(?????1)，根据题目数据计算可得
????=5，????=1160，????=99.75，????????(?????1)=????0.05(4)=2.1318，
参数????的95%单侧置信下限????????≈1064.9。其统计学意义为这批电池的平均放电时间至少为1064.9小时，可信度为95%。
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2024/2/27
练习
7.5 单侧置信区间
某车间生产的螺杆直径服从正态分布. 现随机抽取5只，测得直径为（毫米）
22.3、21.5、22、21.8、21.4
(1) 当?????=0.3?时，求??????的置信度为95%的置信区间;
(2) 当??????未知时，求??????的置信度为95%的置信区间;
(3) 当?????=0.3时，求??????的置信度为95%的置信上限与置信下限;
(4) 当??????未知时，求??????的置信度为95%的置信上限与置信下限。

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