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第4讲 正余弦定理
一、余弦定理
1.公式：a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accosB； c2＝
2.推论：cos A＝； cos B＝； cos C＝
3.在△ABC中，a2＋b2＝c2 C为直角；a2＋b2c2 C为 ．
二、正弦定理
1.公式：＝ ＝ ＝ ＝（R是△ABC的外接圆半径）
2.推论：sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； ；
三、三角形面积公式
1.
2.
3.
4.，
【课堂训练】
一、单选题
1．在中，，，，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．
2．如图所示，在平面四边形中，，，.若，，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
3．在中，，，若该三角形有两个解，则边范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有两解 B．有一解 C．有无数个解 D．无解
6．中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝(　　)
A．5 B．10 C． D．5
8．的三个内角，，的对边分别为，，，若三角形中，，且，则（ ）
A．3 B． C．2 D．4
9．△ABC的三边长之比为，则最小角和最大角之和的余弦值为( )
A． B． C． D．
10．的内角A，B，C的对边是a，b，c，若的面积为，则C的大小（ ）
A． B． C． D．
11．在中，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知中，，，，角B等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、多选题
13．在△ABC中，已知，给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定 B．若，则△ABC的面积是
C． D．△ABC一定是钝三角形
14．在中，角、、的对边分别为、、，且满足，的面积，，则、值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
16．在△ABC中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则△ABC是等腰三角形
B．若，则△ABC是直角三角形
C．若，则△ABC是钝角三角形
D．若，则△ABC是锐角三角形
17．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则是直角三角形
D．若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为
18．在中，下列说法中正确的有（　　）
A．若，则
B．若，，则满足条件的三角形共有两个
C．若，，则为正三角形
D．若，的面积，则
三、填空题
19．已知△是等边三角形，且，那么四边形的面积为 ．
20．在中，，M在边BC上，且，则 ．
21．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，的面积为，且，则 ．
22．在中，已知，，，则 .
23．在平面上，已知为两个不平行的单位向量，O为定点，集合，若中所有的点构成图形的面积为1，则与夹角的大小为 .
24．设△的内角 的对边分别为，且，则
25．在梯形中，，则的面积是 .
26．若的三边长分别为，，，则该三角形的内切圆半径等于 ．
27．中，，，，是上一点且，则的面积为 .
28．已知等腰的内角的对边分别为，且，延长线段至，使，若的面积，则 .
四、解答题
29．在中，已知，，且三角形面积. 求.
30．已知向量 ，把函数化简为的形式后，利用“五点法”画在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表所示：
①
0
0 1 0 0
（1）请直接写出①处应填的值，并求的值及函数在区间 上的单增区间、单减区间；
（2）设的内角所对的边分别为 ，已知 ，求
31．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求C；
(2)求的最大值.
32．若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，
(1)求值：
(2)从下列条件①，条件②，条件③三个条件中选择一个作为已知，求的值，
条件①若；
条件②若；
条件③若
33．已知函数经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
①
0 1 0 0
(1)请直接写出①处应填的值，并求函数在区间上的值域；
(2)的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，求的面积．
34．已知．
（1）化简：；
（2）在中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若，，且的面积，求a、b的值．
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第4讲 正余弦定理
1．C
【分析】首先根据余弦定理求，再利用面积公式，即可求解.
【详解】由余弦定理可知，，
，解得：,
所以.
故选：C
2．C
【分析】由余弦定理求，同角平方关系求，设则，利用差角正弦公式求，最后应用正弦定理求的长.
【详解】在中，由余弦定理得：，又，
∴，
设则，
∴，
在中，由正弦定理：，故.
故选：C.
3．D
【分析】根据三角形解的个数的结论可求出结果.
【详解】因为三角形有两个解，所以，
所以，所以.
故选：D
4．B
【分析】利用内角和定理求角，再用正弦定理求外接圆半径即可求解
【详解】因为
所以，所以
所以的外接圆的面积为
故选：B
5．D
【分析】作出示意图，先确定边a和角B，然后算出C到AB的距离即可解得.
【详解】如图，
则，而，∴这样的三角形无解.
故选:D.
6．C
【分析】根据条件，由余弦定理可得角B得大小，再由正弦公式即可求得三角形得面积.
【详解】∵，∴∴
则，.
故选：C.
7．D
【详解】由正弦定理得 ，∴b＝·10＝5
故答案为D
8．D
【分析】易知，利用两角差的正弦公式化简原等式，可推出，从而知和的值，再结合三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，求得的值，然后由正弦定理，知，最后由，得解．
【详解】，且，
，
，
，即，
，
，
，，，
，
由正弦定理知，，
，即，
，
．
故选：D
9．C
【分析】可设，，，k>0，根据余弦定理可求，于是可求．
【详解】三边的比为，不妨设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，，k>0，
则最大角为，最小角为，
由余弦定理得：，
．
故选：C．
10．A
【分析】利用三角形面积公式以及余弦定理建立等式，即可求得的大小.
【详解】由余弦定理得：
的面积
，又
.
故选：A.
11．D
【解析】利用正弦定理、余弦定理以及诱导公式判断四个选项的正误，即可得正确答案.
【详解】对于选项A：由正弦定理有，故，故选项A错误；
对于选项B：因为，故，故选项B错误；
对于选项C：，由余弦定理得；故选项C错误；
对于选项D：由正弦定理可得，再根据诱导公式可得：，即，故选项D正确；
故选：D
12．C
【分析】根据正弦定理，求得，结合，得到，即可求解.
【详解】由正弦定理得，即，可得，
因为，所以，且，所以或，均满足题意.
故选：C.
13．CD
【分析】由比值关系可得（），再结合正余弦定理逐项分析判断即可得解.
【详解】由可设：
（），
所以，
对A，只知道各边的比值关系，并不能确定大小，
所以这个三角形不能被唯一确定，故A错误；
对B，若，即，
所以，所以，
所以，
所以，所以，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，由，
所以为钝角，故D正确.
故选：CD
14．AB
【分析】利用正弦定理对已知等式边化角，结合两角和的正弦公式，即可求得角C，继而利用面积推出的值，再利用余弦定理即可求得的值，即可求得答案.
【详解】由题意知，故，
即，
而，则，
又，故；
由，则，
又，即，即，
即，结合，解得或，
故选：AB
【点睛】方法点睛：此类同时含有边和角的等式的化简，一般利用正弦定理进行边角互化，即可求得角或边之间的关系，也可利用余弦定理边角互化，进行求解.
15．BC
【分析】由题意画出图形，可知，求出的范围，根据选项，得出结果即可.
【详解】解：如图：
要使有两个解，则，
即，解得：，
故选：BC
16．CD
【分析】对于A，利用二倍角公式、正余弦定理转化为边的关系，化简可得结果，对于B，举例判断，对于C，利用余弦函数的性质判断，对于D，利用两角和的正切公式化简判断
【详解】解：对于A，由，得，由正余弦定理得，得，化简得，，所以或，所以或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以A错误，
对于B，若，则，而△ABC不是直角三角形，所以B错误，
对于C，因为，，所以中只有一个钝角，所以△ABC是钝角三角形，所以C正确，
对于D，因为，，所以，所以，所以，因为，所以都为锐角，△ABC是锐角三角形，所以D正确.
故选：CD
17．ABC
【分析】利用诱导公式化简判断A；利用正弦定理结合三角形边角关系判断B；利用余弦定理计算判断C，利用面积定理、正余弦定理计算判断D作答.
【详解】对于A，在中，，A正确；
对于B，在中，由正弦定理得：，B正确；
对于C，在中，由余弦定理得：，整理得，，C正确；
对于D，依题意，，解得，
由余弦定理得：，
由正弦定理得外接圆半径，D不正确.
故选：ABC
18．AC
【分析】由正弦定理求得，可判定A正确；利用余弦定理列出方程求得的值，可判定B错误；由正弦定理得，结合，可得，可判定C正确；由三角形的面积公式求得，得到，可判定D错误.
【详解】对于A中，因为，由正弦定理得，即，
因为，所以，所以A正确；
对于B中，由余弦定理，即，
解得，此时三角形有唯一的解，所以B错误；
对于C中，因为，由正弦定理得，
又因为，可得，所以为等边三角形，所以C正确；
对于D中，由三角形的面积公式，可得，解得，
则，所以D错误.
故选：AC.
19．/
【分析】根据已知向量的线性关系画简图，令，结合求相关线段长度，进而求四边形面积.
【详解】若，则，且，如下图示，

由△是等边三角形，且为平行四边形，，
易知：△、△是含的直角三角形，且，
又，则，，即△各边为2，
综上，四边形的面积.
故答案为：.
20．
【分析】在中，由余弦定理求得，可得，在中由余弦定理即可求得答案.
【详解】在中，,，
则 ,即,
解得 , (舍去)，由可得 ,
故 ,
故 ,
故答案为：
21．
【分析】利用余弦定理化简，可得，利用面积公式可知，进而知，代入正弦定理可得答案.
【详解】
利用余弦定理知
即，
又，
，，
，，即
利用正弦定理知
故答案为：
【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
22．/
【分析】已知三边，利用余弦定理可得.
【详解】已知，，，
由余弦定理得，，
解得.
故答案为：.
23．或
【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.
【详解】设的夹角为，，
依题意，在平面上，已知为两个不平行的单位向量，O为定点，
集合，
根据向量加法的平行四边形法则可知点的轨迹是以为邻边，且夹角为的平行四边形，
所以，
所以或.
故答案为：或
24．
【详解】：，由余弦定理得
则，即故
25．
【分析】在中，由余弦定理可得的值，进而求出的面积，由的面积为得结论．
【详解】解：在中，由余弦定理可得：，
所以，
所以的面积为：，
因为.
所以的面积为.
故答案为：.
26．
【解析】利用余弦定理求出边长为所对角的余弦值，再求出正弦值，利用三角形的面积公式：，即可求解.
【详解】的三边长分别为，
边长为所对角的余弦值为，
所以，
设该三角形的内切圆半径为，
所以，
即，解得.
故答案为：
27．
【分析】根据正弦定理，求出的值，由倍角公式求出的正余弦值，根据诱导公式求出的正余弦值，根据求出的正余弦，再求的正切值，在直角三角形中求出的长，最后求面积.
【详解】由正弦定理得：，又因为
所以，且，
即，所以，又由且
所以，而
所以，又因为，所以
所以，而
又因为，所以
又因为，且为锐角，所以
即，在直角三角形中,
并且，所以，
所以的面积为：.
故答案为：
28．
【分析】由正弦定理结合余弦定理化简可得，进而根据等腰可得等边，再根据面积公式可得或，进而用余弦定理求解即可
【详解】由正弦定理，，即，故，又，故，所以等边.又的面积，故，解得，解得或.当时，，当时，，故，故
故答案为：
29．或
【分析】根据三角形面积公式及余弦定理可得结果.
【详解】由，得，所以.
①当时，，从而；
②当时，，从而；
综上，或.
30．（1）①处应填；；单减区间，单增区间；（2）1.
【分析】（1）先根据向量数量积及三角函数恒等变换可得，结合五点法可得函数解析式，再利用正弦函数性质求单调区间；
（2）先根据条件可得，再根据余弦定理及向量数量积定义即得.
【详解】（1）由根据五点作图法中等距性可得①处应填入，
∵，
∴，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为，，
由，可得，
由，可得，
所以函数在区间 上的单增区间为，单减区间为．
（2）由，可得，
因为，
所以 ，即，又，
由余弦定理，
解得或（舍），
所以 ，
所以.
31．(1)
(2)
【分析】（1）将等式化简，再结合余弦定理，即可求解；
（2）由（1）的结果可知，利用正弦定理边角互化，得到，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由，化简得，
由余弦定理得，
又因为，所以.
（2）由及正弦定理得，
即，
由基本不等式得，
所以
即
当且仅当，即为等边三角形时，等号成立.
所以的最大值为.
32．(1)1
(2)详见解析
【分析】（1）由，利用二倍角公式得到，再利用余弦定理求解；
（2）选条件①由，利用正弦定理求得a，c的关系，再结合（1）利用余弦定理求解；
选条件②，利用余弦定理结合（1）求得求得a，c的关系，再结合（1）利用余弦定理求解；选条件③，由（1），利用正弦定理得到，再结合两角和的正弦公式得到求解.
【详解】（1）解：由，
得，则，
化简得 ，
由余弦定理得，
即，化简得；
（2）选条件①若，
则，
解得或，
当，由（1）得，
此时，
当时，由（1）知不成立；
若选条件②，
则，结合（1）化简得，
解得或，
当时，，
；
当，，
；
若选条件③若，
由（1）知：，则，
即，即，
联立解得，
所以.
33．(1)，
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合函数的周期求出，即可求出函数解析式，根据五点作图法确定①的值，由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由求出的值，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）解：因为
，
即，
，
，，
所以．
令，解得，所以①处应填入．
，，，，
即在区间上的值域为．
（2）解：，
又，，
所以，所以．
由余弦定理得，
即，，
的面积．
34．（1）；（2）．
【分析】（1）根据诱导公式可化简；
（2）由（1）可得，再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得，解之得答案.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，即，又，所以，
因为的面积，所以，解得，又，所以，
由，解得，所以.
【点睛】本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题.
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