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第1讲　直线的方程
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）. 3.能用直线方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 直线的倾斜角与斜率 2022新高考卷ⅠT21；2022新高考卷ⅡT3 直线是解析几何中最基本的内容，一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，难度不大；二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查，难度偏大.
求直线的方程 2020全国卷ⅠT11；2020全国卷ⅢT10
直线方程的综合应用
1.直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角 直线的斜率
定义 定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l①　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为②　0°　. （1）定义式：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即③　　（α≠）. （2）坐标式：a.如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），其斜率公式为④　　. b.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则k＝⑤　　（x≠0）.
区别 （1）直线l垂直于x轴时，直线l的倾斜角是⑥　　；（2）倾斜角的取值范围为⑦　[0，π）　. （1）直线l垂直于x轴时，直线l的斜率⑧　不存在　； （2）斜率k的取值范围为⑨　R　.
联系 如图，当直线l的倾斜角α∈[0，）时，α越大，直线l的斜率k越⑩　大　； 当α∈（，π）时，α越大，直线l的斜率k越 　大　.
2.直线方程的五种形式
名称 方程 说明 适用条件
斜截式 y＝kx＋b k是直线的斜率；b是直线在y轴上的截距. 与x轴不垂直的直线.
点斜式 　y－y0＝k（x－x0）　 点（x0，y0）是直线上的已知点；k是斜率.
两点式 ＝ （x1≠x2，y1≠y2） 点（x1，y1），（x2，y2）是直线上的两个已知点. 与两坐标轴均不垂直的直线.
截距式 　　 a是直线在x轴上的截距； b是直线在y轴上的截距. 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线.
一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 当A≠0，B＝0时，－是直线的横截距； 当A≠0，B≠0时，－，－，－分别为直线的斜率、在x轴上的截距、在y轴上的截距. 所有直线.
注意　（1）当直线与x轴不垂直时，可设直线方程为y＝kx＋b；当直线与y轴不垂直时，可设直线方程为x＝my＋n.
（2）截距是指直线与坐标轴交点的坐标值，可正，可负，可零.
1.下列说法正确的是（　D　）
A.直线的倾斜角越大，其斜率越大
B.若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
C.经过定点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示
D.截距可以为负值
解析　对于A，倾斜角为钝角的直线的斜率为负值，故A错误；对于B，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如直线y＝x的斜率为tan ，它的倾斜角为，B错误；对于C，当经过定点P（x0，y0）的直线与x轴垂直时，斜率不存在，故C错误；对于D，截距可以取正数、负数或零，所以D正确.
2.[易错题]已知直线l：xtan 60°＋y－3＝0，则直线l的倾斜角α为（　C　）
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析　∵xtan 60°＋y－3＝0，∴y＝－xtan 60°＋3＝xtan 120°＋3，故直线l的倾斜角是120°，故选C.
3.倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（　D　）
A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝0
解析　∵直线倾斜角是135°，∴直线的斜率等于－1，∵在y轴上的截距是－1，由直线方程的斜截式得：y＝－1×x－1，即x＋y＋1＝0，故选D.
4.[多选]如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　AD　）
A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k2＜k1
C.α1＜α3＜α2 D.α3＜α2＜α1
解析　由题图知，k2＞k3＞0，k1＜0，故＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，故选AD.
5.[教材改编]经过A（0，3），B（－2，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k的值为　　.
解析　由题意可得k＝.
6.[易错题]已知点A（3，4），则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　4x－3y＝0或x＋y－7＝0　.
解析　设直线在x轴、y轴上的截距均为a.（讨论截距是否为0）
①若a＝0，即直线过点（0，0）及（3，4），
则直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0；
②若a≠0，设所求直线的方程为＋＝1，
又点（3，4）在直线上，所以＋＝1，所以a＝7.
所以直线的方程为x＋y－7＝0.
综上可知，所求直线的方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.
研透高考 明确方向
命题点1　直线的倾斜角与斜率
例1 （1）直线2xcos α－y－3＝0（α∈[，]）的倾斜角的取值范围是（　B　）
A.[，] B.[，] C.[，] D.[，]
解析　直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，因为α∈[，]，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].又θ∈[0，π），所以θ∈[，]，即倾斜角的取值范围是[，].故选B.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（　D　）
图1 图2
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
解析　如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1.因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以tan∠AOA2＝＝＝＝＝0.725，解得k3＝0.9，故选D.
方法技巧
1.直线斜率的求解方法
（1）定义法：k＝tan α（α为直线的倾斜角，且α≠）；（2）公式法：k＝（（x1，y1），（x2，y2）为直线上两点，且x1≠x2）.
2.直线斜率与倾斜角之间的关系往往借助正切函数在[0，π）上的图象判断，注意正切函数在[0，π）上不单调，要注意分类讨论.
训练1 （1）已知点A（－1，1），B（1，2），C（0，－1），过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　C　）
A. [－2，3] B. [－2，0）∪（0，3]
C. （－∞，－2]∪[3，＋∞） D.以上都不对
解析　如图所示，∵过点C的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kBC或k≤kAC，又kBC＝＝3，kAC＝＝－2，∴k≥3或k≤－2，∴直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－2]∪[3，＋∞），故选C.
（2）直线x＋（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（　B　）
A.[0，] B.[，π）
C.[0，]∪（，π] D.[，）∪[，π）
解析　因为a2＋1≠0，所以直线的斜率k＝－，设直线的倾斜角为α，则，所以－1≤tan α＜0，所以≤α＜π，故选B.
命题点2　求直线的方程
例2 （1）已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是（　D　）
A.x＋y－3＝0 B.x－3y－2＝0
C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y－6＝0
解析　设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k'＝tan（α＋）＝＝－3，又由题意得点M（2，0），
所以所求直线方程为y＝－3（x－2），即3x＋y－6＝0，故选D.
（2）已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积最小时，直线l的方程为　2x＋3y－12＝0　.
解析　解法一　设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），则直线l的方程为＋＝1.因为l过点P（3，2），所以＋＝1.因为1＝＋≥2，整理得ab≥24，所以S△ABO＝ab≥12，当且仅当＝，即a＝6，b＝4时取等号.此时直线l的方程是＋＝1，即.
解法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，则直线l的方程为y－2＝k（x－3），则A（3－，0），B（0，2－3k），
S△ABO＝（2－3k）（3－）＝[12＋（－9k）＋]≥[12＋2]＝，
当且仅当－9k＝，即k＝－（正值舍去）时，等号成立.
所以所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
方法技巧
求直线方程的两种方法
直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程.
待定系数法 先设所求直线方程的恰当形式，再由题设条件列方程（组），求出待定系数.
训练2 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，2），B（4，7），若点C满足＝α＋β（α，β∈R，且α＋β＝1），则点C的轨迹方程为　5x－3y＋1＝0　.
解析　∵点C满足＝α＋β（α，β∈R，且α＋β＝1），∴，∴－＝α（－），∴＝α，由共线向量基本定理可知，A，B，C三点共线，∴点C的轨迹为直线AB，
又A（1，2），B（4，7），∴直线AB的方程为＝，整理得5x－3y＋1＝0，故点C的轨迹方程为5x－3y＋1＝0.
命题点3　直线方程的综合应用
例3 （1）已知点A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x－y的最大值为（　C　）
A.－1 B.3 C.7 D.8
解析　依题意得kAB＝＝－2，则线段lAB：y－1＝－2（x－4），x∈[2，4]，即，x∈[2，4]，故2x－y＝2x－（－2x＋9）＝4x－9，x∈[2，4].设h（x）＝4x－9，x∈[2，4]，易知h（x）＝4x－9在[2，4]上单调递增，故当x＝4时，.
（2）已知直线l的方程为（a＋1）x＋y＋3－a＝0（a∈R），则直线l过定点　（1，
－4）　；若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是　[3，＋∞）　.
解析　直线l：（a＋1）x＋y＋3－a＝0可化为a（x－1）＋x＋y＋3＝0，令解得∴直线l过定点（1，－4）.∵直线l的方程可化为，且直线l不经过第三象限，∴解得a≥3.
方法技巧
1.与直线有关的范围问题要注意借助函数或者不等式求解.
2.直线方程含参数时，注意判断直线是否过定点或者斜率是否为定值.
训练3 （1）[2024广东深圳模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（a，b）到两直线l1：y＝2x与l2：y＝－x＋1的距离之和为，则的取值范围是　　.
解析　直线l1：y＝2x与l2：y＝－x＋1的方程化为一般式分别为l1：2x－y＝0，，所以点P（a，b）到两直线的距离之和为＋＝，即　①.
当时，①式变形为3a＋b＝7；当时，①式变形为a－3b＝3；当时，①式变形为－a＋3b＝7；当时，①式变形为－3a－b＝3.则动点P（a，b）的轨迹为如图所示的正方形ABCD，的几何意义为正方形边上任意一点与E（－5，0）连线的斜率.计算得C（－，－），D（－，），kCE＝－，kDE＝，所以的取值范围是[－，].
（2）[2023长春模拟]已知直线l1：x－my＋1＝0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则｜PA｜＋｜PB｜的最大值为　　.
解析　直线l1：x－my＋1＝0过定点A（－1，0）；直线l2的方程可化为0，令x＝1，得y＝－3，所以直线l2过定点B（1，－3）.因为1·m－m·1＝0，所以l1⊥l2.
因为l1与l2相交于点P，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝（－1－1）2＋（0＋3）2＝13.
因为≥（）2，所以｜PA｜＋｜PB｜≤，当且仅当时等号成立.第2讲　两条直线的位置关系
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.探索并掌握平面上两点间及点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 两条直线的位置关系 该讲知识是平面解析几何部分的基础，命题热点为两点间与点到直线的距离公式的应用，判断两直线的位置关系及求解有关对称问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等偏易.
交点与距离问题 2021新高考卷ⅠT11；2021新高考卷ⅡT3；2020全国卷ⅡT5；2020全国卷ⅢT8
对称问题 2022新高考卷ⅡT15
1.两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2. A1x＋B1y＋C1＝0（＋≠0），A2x＋B2y＋C2＝0（＋≠0）.
垂直 ①　k1k2＝－1　. ②　A1A2＋B1B2＝0　.
平行 ③　k1＝k2且b1≠b2　. 或
重合 k1＝k2且b1＝b2. A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0.
注意　两条直线平行时，不要忘记它们的斜率都不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
2.两条直线的交点
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的交点坐标与方程组的解一一对应.
3.三种距离公式
距离类型 公式
两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离｜P1P2｜. ｜P1P2｜＝④　　.
点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d. d＝⑤　　.
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d. d＝⑥　　.
注意　点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件：（1）求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式；（2）求两平行线间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
1.下列说法正确的是（　A　）
A.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线不一定相交
B.点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为
C.当直线l1和直线l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2
D.若两条直线垂直，则他们的斜率之积一定等于－1
2.设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0，则l1与l2的位置关系是（　B　）
A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定
解析　假设l1与l2平行或重合，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得＋2＝0，与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交.故选B.
3.已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（　A　）
A.1 B. C.－2 D.－1
解析　由题意可得，若三条直线不能围成三角形，则其中有两条直线平行或三条直线经过同一点.若其中有两条直线平行，当l1∥l3时，可得a＝，当l2∥l3时，可得a＝－2；若三条直线经过同一点，由可得直线l1与l2的交点为（1，2），则（1，2）在l3上，故可得1－2a－3＝0，解得a＝－1.综上，实数a的值可能为，－2，－1.故选A.
4.[易错题]直线2x＋2y＋1＝0与x＋y＋2＝0之间的距离是　　.
解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，则两平行线间的距离d＝＝ .（注意应用公式时x，y的系数分别对应相等）
5.[教材改编]已知点A（2，1），B（3，4），C（－2，－1），则△ABC的面积为　5　.
解析　解法一　设AB边上的高为h，则h就是点C到AB所在直线的距离.
｜AB｜＝＝.由两点式可得AB边所在直线的方程为＝，即3x－y－5＝0.点C（－2，－1）到直线3x－y－5＝0的距离h＝＝，所以S△ABC＝×｜AB｜×h＝××＝5.
解法二　易知＝（1，3），＝（－4，－2），
所以△ABC的面积为×｜1×（－2）－3×（－4）｜＝5.（二级结论：若＝（x，y），＝（u，v），则S△ABC＝｜xv－yu｜）
研透高考 明确方向
命题点1　两条直线的位置关系
例1 （1）[2023四川凉山州二模]已知直线l1：mx－y＋1＝0，直线l2：4x－my＋2＝0，若l1∥l2，则m＝　－2　.
解析　因为l1∥l2，所以（注意排除直线重合情况）
解得m＝－2.
（2）经过点A（2，1）且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为　x－2y＝0　.
解析　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A（2，1），所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.
方法技巧
1.判断两条直线位置关系的注意点
（1）斜率不存在的特殊情况；
（2）可直接利用直线方程系数间的关系得结论.
2.与直线Ax＋By＋C1＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C2＝0，与直线Ax＋By＋C1＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2），过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R）（该直线系不含l2）.
训练1 （1）[2023南昌市模拟]直线l1：ax＋（a＋1）y－1＝0，l2：（a＋1）x－2y＋3＝0，则“a＝2”是“l1⊥l2”的（　A　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　若l1⊥l2，则a（a＋1）＋（a＋1）×（－2）＝0，解得a＝－1或a＝2，所以“a＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.
（2）过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为　2x＋3y＋10＝0　.
解析　设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠5），由题意知，2×1＋3×（－4）＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
命题点2　交点与距离问题
例2 （1）[全国卷Ⅲ]点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（　B　）
A.1 B. C. D.2
解析　解法一　由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离d＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，由基本不等式知，k＋≥2，当且仅当k＝1时，等号成立，所以当k＝1时，dmax＝，故选B.
解法二　记点A（0，－1），直线y＝k（x＋1）恒过点B（－1，0），当AB垂直于直线y＝k（x＋1）时，点A（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离最大，且最大值为｜AB｜＝，故选B.
（2）[2023合肥市期末]若直线y＝x与直线y＝x－5的交点在直线y＝kx＋3上，则k的值为　　.
解析　由题易得k≠1，由得x＝y＝，将（，）代入y＝kx＋3，得＝＋3，得k＝.
方法技巧
1.求解距离问题的策略
（1）点到直线的距离问题可直接利用距离公式求解，但要注意方程必须为一般式.
（2）两平行线间的距离：①利用两平行线间的距离公式求解；②将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.遇到含有平方和、绝对值等形式的代数式时，注意利用距离公式的几何意义求解.
训练2 （1）直线l过点P（1，2），且点A（2，3），B（4，－5）到l的距离相等，则直线l的方程是（　C　）
A.4x＋y－6＝0
B.x＋4y－6＝0
C.3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0
D.3x＋2y－7＝0或x＋4y－6＝0
解析　显然直线l的斜率存在，故设直线l：y－2＝k（x－1），即kx－y－k＋2＝0，则＝ k－1＝3k＋7或k－1＋3k＋7＝0 k＝－4或k＝－，所以l的方程为y－2＝－4（x－1），即4x＋y－6＝0或y－2＝－（x－1），即3x＋2y－7＝0.故选C.
（2）函数f（x）＝＋的最小值为　2　.
解析　f（x）＝＋＝＋，所以函数f（x）的几何意义为点P（x，0）与点A（1，1），点B（－1，1）的距离之和，易知点P为x轴上一动点，且当点P在原点时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值2.
命题点3　对称问题
例3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）.求：
（1）点A关于直线l的对称点A'的坐标；
（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m'的方程；
（3）直线l关于点A对称的直线l'的方程.
解析　（1）设A'（x，y），则
解得即A'（－，）.
（2）在直线m上任取一点，如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点必在m'上.
设M关于直线l的对称点为M'（a，b），
则解得即M'（，）.设m与l的交点为N，则由得N（4，3）.
又m'经过点N（4，3），
所以由两点式得直线m'的方程为9x－46y＋102＝0.
（3）解法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P（1，1），N（4，3），则P，N关于点A的对称点P'，N'均在直线l'上.
易知P'（－3，－5），N'（－6，－7），由两点式可得l'的方程为2x－3y－9＝0.
解法二　设Q（x，y）为l'上任意一点，则Q（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为
Q'（－2－x，－4－y），
因为点Q'在直线l上，所以2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
方法技巧
对称问题的解题策略
点关于 点对称 若点M（x1，y1）和点N（x，y）关于点P（a，b）对称，则由中点坐标公式得进而求解.
直线关于 点对称 直线关于点对称的问题可转化为点关于点对称的问题.
点关于 直线 对称 若两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）（x1≠x2）关于直线l：Ax＋By＋C＝0（B≠0）对称，则有即
直线关于 直线对称 直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题.
训练3 （1）[多选/2023江西抚州南城二中模拟]一束光线沿着直线y＝－3x＋3a2－4a－2射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝－x－射出，则实数a可以为（　AD　）
A.2 B.－2 C. D.－
解析　由题知，直线y＝－3x＋3a2－4a－2与直线y＝－x－关于直线x＋y＝0对称.在直线y＝－x－上任意取一点A（x0，y0），其关于直线x＋y＝0对称的点为（-y0，-x0），则整理得3a2－4a－4＝0，解得a＝或a＝2，故选AD.
（2）过点P（0，1）作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为　x＋4y－4＝0　.
解析　设l1与l的交点为A（a，8－2a），由题意知，点A关于点P的对称点在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，解得a＝4.因为点A（4，0），P（0，1）在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.第3讲　圆的方程
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 求圆的方程 2022全国卷乙T14；2022全国卷甲T14；2021全国卷甲T20 本讲命题重点为求圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题，题型既有小题也有大题，难度中等偏易.在2025年高考的复习备考中要重点掌握圆的方程的求解方法、圆的几何性质以及一些隐形圆的命题.
与圆有关的轨迹问题
与圆有关的最值问题 2023全国卷乙T11；2023全国卷乙T12；2021新高考卷ⅠT11
1.圆的定义与方程
规律总结
（1）在圆的一般方程中：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点（－，－）；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形.
（2）以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），圆心C的坐标为（a，b），半径为r，设M的坐标为（x0，y0）.
常用结论
向量法判断点与圆的位置关系
若点P是以AB为直径的圆O所在平面内的一点，则
·＞0 点P在圆O外；
·＝0 点P在圆O上；
·＜0 点P在圆O内.
1.[2022北京高考]若直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝（　A　）
A. B.－ C.1 D.－1
解析　由题意知，圆心坐标为（a，0），且圆心在直线2x＋y－1＝0上，所以2a－1＝0，得a＝.故选A.
2.[2021上海高考]已知圆x2＋y2－2x－4y＝0，则该圆的圆心坐标为　（1，2）　.
解析　解法一　易知D＝－2，E＝－4，则－＝1，－＝2，故圆心坐标为（1，2）.
解法二　将圆的一般方程化为标准方程得（x－1）2＋（y－2）2＝5，则圆心坐标为（1，2）.
3.[易错题]半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为　（x－3）2＋（y－3）2＝9或（x＋3）2＋（y＋3）2＝9　.
解析　由题意知圆心坐标为（3，3）或（－3，－3），故所求圆的方程为或.
4.若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是　（－∞，1）　.
解析　解法一　方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为（x＋a）2＋（y＋a）2＝1－a，若它表示圆，则需满足1－a＞0，故a＜1.
解法二　要使方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则需满足（2a）2＋（2a）2－4（2a2＋a－1）＞0，解得a＜1.
5.若点（1，1）在圆x2＋y2＋x＋ay＋1＝0外，则实数a的取值范围为　（－4，－）∪（，＋∞）　.
解析　由题可知12＋a2－4×1＞0，解得a＞或a＜－.又点（1，1）在圆外，所以，解得a＞－4.故实数a的取值范围为（－4，－）∪（，＋∞）.
研透高考 明确方向
命题点1　求圆的方程
例1 （1）[2022全国卷乙]过四点（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为　x2＋y2－4x－6y＝0（答案不唯一）　.
解析　设A（0，0），B（4，0），C（－1，1），M（4，2），圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.若圆过A，B，C三点，则分别将三点的坐标代入，可得解得易得D2＋E2－4F＞0，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0.
同理，得过A，B，M三点的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0；
过A，C，M三点的圆的方程为x2＋y2－x－y＝0；
过B，C，M三点的圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0.
（2）[2022全国卷甲]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为　（x－1）2＋（y＋1）2＝5　.
解析　解法一（待定系数法）　设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则解得∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
解法二（几何法）　设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为（，），∴AB的垂直平分线方程为y－＝3（x－），即3x－y－4＝0.联立得解得M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
方法技巧
求圆的方程的两种方法
几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
待定 系数法 ①若已知条件与圆心、半径有关，或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关，则选择圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），根据条件列出方程组，求出a，b，r的值. ②选择圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），根据条件列出方程组，进而求出D，E，F的值.
训练1 （1）已知m为实数，方程（m＋2）x2＋m2y2＋8x＋4y＋5m＝0表示圆，则实数m的值为　－1　.
解析　∵（m＋2）x2＋m2y2＋8x＋4y＋5m＝0表示圆，∴m＋2＝m2，∴m＝－1或m＝2.（二次项系数相等）
当m＝－1时，原方程为x2＋y2＋8x＋4y－5＝0，（二次项系数化为1后再使用公式）
即（x＋4）2＋（y＋2）2＝25.
当m＝2时，原方程可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0，
即（x＋1）2＋（y＋）2＝－，不是圆的方程，∴m＝2不合题意.综上，m的值为－1.
（2）[2023郑州市一测]经过点P（1，1）以及圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点的圆的方程为　x2＋y2＋x－y－2＝0　.
解析　解法一　联立得解得或不妨设过A，B，P三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分别将A，B，P三点的坐标代入，得解得且D2＋E2－4F＞0，所以所求圆的方程为x2＋y2＋x－y－2＝0.
解法二　联立得解得或不妨设A（－2，0），B（0，2），如图，在平面直角坐标系中作出A，B，P三点，并连接AB，AP，BP，显然△ABP是以AP为斜边的直角三角形，且AP为所求圆的直径，记所求圆的圆心为E，半径为R，则E为AP的中点，且E（－，），R＝＝，故所求圆的方程为（x＋）2＋（y－）2＝，即x2＋y2＋x－y－2＝0.
解法三　设过圆x2＋y2－4＝0和圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的交点的圆的方程为，因为此圆经过点P（1，1），所以有，解得λ＝－5，即所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－12－5（x2＋y2－4）＝0，化简得，x2＋y2＋x－y－2＝0.
命题点2　与圆有关的轨迹问题
例2 （1）若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为（－3，0）和（7，0），则直角顶点C的轨迹方程为（　C　）
A.x2＋y2＝25（y≠0） B.x2＋y2＝25
C.（x－2）2＋y2＝25（y≠0） D.（x－2）2＋y2＝25
解析　解法一（定义法）　线段AB的中点为D（2，0），因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以｜CD｜＝｜AD｜＝｜DB｜，所以点C在以D为圆心，｜AD｜＝5为半径的圆上，所以点C的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝25（y≠0）.
解法二（直接法）　线段AB的中点坐标为（2，0），因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以点C到点（2，0）的距离为｜AB｜＝5，所以点C（x，y）满足＝5（y≠0），即（x－2）2＋y2＝25（y≠0）.
（2）已知线段AB的端点B的坐标为（8，6），端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，则线段AB的中点P的轨迹方程为　（x－3）2＋（y－3）2＝1　.
解析　设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），由于点B的坐标为（8，6），且P为线段AB的中点，∴x＝，y＝，于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.
∵点A在圆C上运动，
∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，即＋＋4x0＝0，
∴（2x－8）2＋（2y－6）2＋4（2x－8）＝0，
化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，
即（x－3）2＋（y－3）2＝1.
方法技巧
求与圆有关的轨迹问题的几种方法
1.直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.
2.定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.
3.相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程.
训练2 已知定点M（1，0），N（2，0），动点P满足｜PN｜＝｜PM｜.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知点B（6，0），点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.
解析　（1）设动点P的坐标为（x，y），
因为M（1，0），N（2，0），且｜PN｜＝｜PM｜，
所以＝·，
整理得x2＋y2＝2，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
（2）设点Q的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以＝2，即（x－xA，y－yA）＝2（6－x，－y），
解得
又点A在轨迹C上运动，
由（1）有（3x－12）2＋（3y）2＝2，化简得（x－4）2＋y2＝，
即点Q的轨迹方程为（x－4）2＋y2＝.
命题点3　与圆有关的最值问题
角度1　几何法求最值
例3 （1）[多选/2021新高考卷Ⅰ]已知点P在圆（x－5）2＋（y－5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（　ACD　）
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝3
D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝3
解析　设圆（x－5）2＋（y－5）2＝16的圆心为M（5，5），由题易知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确.
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜－4＝1，故B不正确.
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，｜PB｜＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，｜PB｜＝3，故C，D都正确.综上，选ACD.
（2）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
①则的最大值和最小值分别为　　和　－　；
②则y－x的最大值和最小值分别为　－2＋　和　－2－　；
③则x2＋y2的最大值和最小值分别为　7＋4　和　7－4　.
解析　①（斜率型）原方程可化为（x－2）2＋y2＝3，表示以（2，0）为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
②解法一（截距型）　y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
解法二（换元法）　圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝3，所以设x－2＝cos θ，y＝，
则y－x＝sin θ－cos θ－2＝sin（θ－）－2，当θ＝时，y－x取最大值－2；当θ＝时，y－x取最小值－－2.
③解法一（距离型）　x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，最大值和最小值在过原点与圆心的直线与圆的两个交点处取得.
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是（2＋）2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是（2－）2＝7－4.
解法二　由②中解法二可知，x2＋y2＝（2＋cos θ）2＋（sin θ）2＝7＋4cos θ，从而得x2＋y2的最大值和最小值分别为7＋4，7－4.
角度2　代数法求最值
例4 （1）[2023全国卷乙]已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（　C　）
A.1＋ B.4 C.1＋3 D.7
解析　将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为（x－2）2＋（y－1）2＝9，其表示圆心为（2，1），半径为3的圆.设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C.
（2）[2023全国卷乙]已知☉O的半径为1，直线PA与☉O相切于点A，直线PB与☉O交于B，C两点，D为BC的中点，若｜PO｜＝，则·的最大值为（　A　）
A. B. C.1＋ D.2＋
解析　解法一　连接OA，由题可知｜OA｜＝1，OA⊥PA，因为｜OP｜＝，所以在Rt△PAO中，由勾股定理可得｜PA｜＝1，则∠POA＝.设直线OP绕点P按逆时针方向旋转θ后与直线PD重合，则－＜θ＜，∠APD＝＋θ，且｜PD｜＝cos θ，所以·｜｜｜｜·cos（＋θ）＝cos θcos（＋θ）＝＋cos（2θ＋）≤＋，（利用结论cos αcos β＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]）
故选A.
解法二　以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，则圆O：x2＋y2＝1，令点P（，0），因为｜OA｜＝1，且OA⊥PA，所以∠POA＝，不妨令A（，）.设直线PD的方程为y＝k（x－），B（x1，y1），C（x2，y2），由得（k2＋1）x2－2k2x＋2k2－1＝0，由Δ＝8k4－4（k2＋1）（2k2－1）＝4－4k2＞0，解得－1＜k＜1，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k（x1＋x2－2）＝－，所以D（，－），于是＝（－，），＝（－，－），所以·＝.设t＝1－k，则0＜t＜2，·＝＝＝≤＝＋，当且仅当t＝时等号成立，故选A.
方法技巧
与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略
1.利用几何法求最值
（1）借助两点之间线段最短或垂线段最短求最值，往往会涉及折线段的距离和问题.
（2）利用常见代数式的几何意义求最值，如斜率（μ＝），两点之间的距离或其平方（m＝（x－a）2＋（y－b）2），点到直线的距离（d＝｜Ax0＋By0＋C｜）等.
2.利用代数法求最值
通常会利用已知条件通过换元（如利用sin2α＋cos2α＝1），消元，整体代入等构造函数或利用不等式求最值.
注意　到圆上一点的最值问题通常转化为到圆心的最值问题.
训练3 （1）[2024安徽太和中学模拟]已知点P（t，t－1），t∈R，O是坐标原点，Q是圆C：（x－3）2＋（y＋1）2＝1上的动点，则｜PQ｜－｜PO｜的最大值为（　C　）
A.2 B. C.3 D.4
解析　易得点P在直线l：x－y－1＝0上.圆C：（x－3）2＋（y＋1）2＝1的圆心为C（3，－1），半径r＝1，而点Q在圆C上，则｜PQ｜max＝｜PC｜＋r，因此（｜PQ｜－｜PO｜）max＝r＋（｜PC｜－｜PO｜）max.设点C关于直线l的对称点为C'（a，b），则｜PC｜＝｜PC'｜，且有解得即C'（0，2），因此，当且仅当点P，O，C'共线，且点O在线段PC'上时取等号，易得此时点P的坐标为（0，－1），所以（｜PQ｜－｜PO｜）max＝1＋2＝3.
（2）[2023四省联考]若P，Q分别是抛物线x2＝y与圆（x－3）2＋y2＝1上的点，则｜PQ｜的最小值为　－1　.
解析　由题意，知圆的圆心为C（3，0），半径为1.
设P（x0，），如图，易知｜PQ｜min＝｜CP｜min－1，｜CP｜2＝（x0－3）2＋（－0）2＝＋－6x0＋9.设，则.因为2x2＋2x＋3＝2（x＋）2＋＞0恒成立，所以当x＜1时，，函数f（x）在（－∞，1）上单调递减，当x＞1时，f'（x）＞0，函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝5，所以｜CP｜min＝，所以｜PQ｜的最小值为－1.第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 直线与圆的位置关系 2022新高考卷ⅡT15；2021新高考卷ⅡT11；2021全国卷甲T20 本讲是高考的命题热点，主要考查：（1）直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系的判断，切线问题，弦长问题；（2）将圆的方程及几何性质，直线与圆、圆与圆的位置关系作为研究圆锥曲线几何量的条件.主要以选择题、填空题的形式出现，也可能作为解答题的一部分考查，难度中等.在2025年高考的备考中重视常规考向的同时注意与圆锥曲线的综合命题.
圆的弦长问题 2023新高考卷ⅡT15；2023全国卷甲T8；2021北京T9
圆的切线问题 2023新高考卷ⅠT6；2022新高考卷ⅠT14；2022全国卷甲T14；2020全国卷ⅠT11；2019全国卷ⅢT21
圆与圆的位置关系 2022新高考卷ⅠT14
1.直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0 1 2
判定方法 代数法 ①　＜　0 ②　＝　0 ③　＞　0
几何法 d④　＞　r d⑤　＝　r d⑥　＜　r
常用结论
与圆的切线有关的结论
（1）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（2）过圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则P，A，B，C四点共圆，且AB所在直线的方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（3）若圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），则过圆外一点P（x0，y0）的切线长d＝.
2.圆与圆的位置关系
（1）设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r（R＞r），则
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
公共点个数 0 1 2 1 0
d，R，r的关系 ⑦　d＞R＋r　 ⑧　d＝R＋r　 ⑨　R－r＜d＜R＋r　 ⑩　d＝R－r　 　d＜R－r　
公切线条数 　4 　 　3 　 　2 　 　1　 0
（2）两圆相交时，公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0　（*），圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0　（**），若两圆相交，则两圆有一条公共弦，由（*）－（**），得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0　（***）.方程（***）表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程.
注意　（1）方程（***）存在的前提是两圆相交；（2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
规律总结
圆系方程
过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）.
过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）（该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意）.
1.[多选]下列说法正确的是（　AD　）
A.若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切
B.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交
C.“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件
D.过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2
2.[易错题]若半径为1的圆C与圆（x＋1）2＋（y－2）2＝9相切，则圆C的圆心C的轨迹方程为　（x＋1）2＋（y－2）2＝16或（x＋1）2＋（y－2）2＝4　.
解析　若两圆外切，则点C与点（－1，2）间的距离为4，点C在以（－1，2）为圆心，4为半径的圆上，此时点C的轨迹方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝16；若两圆内切，则点C与点（－1，2）间的距离为2，点C在以（－1，2）为圆心，2为半径的圆上，此时点C的轨迹方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4.
3.[易错题]已知圆C：x2＋y2＝9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为　x＝3或4x＋3y－15＝0　.
解析　由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，由＝3，解得k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.
4.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为　x2＋y2－3x＋y－1＝0　.
解析　易知x2＋y2－2y－4＝0不符合题意，设所求圆的方程为，
则（1＋λ）x2－4x＋（1＋λ）y2＋（2－2λ）y－4λ＝0，
把圆心坐标（，）代入直线l的方程2x＋4y－1＝0，可得λ＝，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
5.[浙江高考]已知直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1和圆（x－4）2＋y2＝1均相切，则k＝　　，b＝　　.
解析　解法一　因为直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1，圆（x－4）2＋y2＝1都相切，所以＝＝1，得k＝，b＝－.
解法二　因为直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1，圆（x－4）2＋y2＝1都相切，
所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点（2，0），
所以2k＋b＝0.设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sin θ＝，又k＞0，所以θ＝，所以k＝tan ＝，b＝－2k＝－.
研透高考 明确方向
命题点1　直线与圆的位置关系
例1 （1）[多选/2021新高考卷Ⅱ]已知直线l：ax＋by－r2＝0（r＞0）与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（　ABD　）
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
解析　对于A，若点A（a，b）在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＝r，所以直线l与圆C相切，故A正确；对于B，若点A（a，b）在圆C内，则a2＋b2＜r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＞r，所以直线l与圆C相离，故B正确；对于C，若点A（a，b）在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＜r，所以直线l与圆C相交，故C不正确；对于D，因为点A在直线l上，所以a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＝r，所以直线l与圆C相切，D正确.故选ABD.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]设点A（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是　　.
解析　解法一　由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－2，2a－3），所以kA'B＝，所以直线A'B的方程为y＝x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是[，].
解法二　设已知圆关于直线y＝a的对称圆为圆C，则易知圆心C（－3，2a＋2），半径.
又直线AB的方程为y＝x＋a，即（a－3）x－2y＋2a＝0.
于是，根据题意可知直线AB与圆C有公共点，从而可得≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.故所求a的取值范围是[，].
方法技巧
直线与圆的位置关系的判断方法
几何法 由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.
代数法 联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，利用Δ判断.
点与圆的位置关系法 若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意　在直线与圆的位置关系的判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离不易表达，则用代数法.
训练1 （1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是（　A　）
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
解析　解法一（代数法）　由消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交.
解法二（几何法）　由题意知，圆心C（0，1）到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆C相交.
解法三（点与圆的位置关系法）　直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，1），因为点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆C相交.
（2）[2023重庆市调研质量抽测（一）]已知圆C：x2＋y2＝16上恰有3个点到直线l：y＝x＋b（b＞0）的距离等于2，则b的值为　4　.
解析　如图，分别作直线l1，l2与直线l平行，且与直线l的距离均为2.圆C：x2＋y2＝16，则圆心坐标为（0，0），半径r＝4.圆心（0，0）到直线l：x－y＋b＝0的距离d＝.因为圆C上恰有3个点到直线l的距离等于2，由图可知，圆C与l2相切，与l1有2个交点，（转化为圆C与直线l1，l2的位置关系）
则得又b＞0，所以b＝4.
命题点2　圆的弦长问题
例2 （1）[2023全国卷甲]已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x－2）2＋（y－3）2＝1交于A，B两点，则｜AB｜＝（　D　）
A. B. C. D.
解析　根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交.
解法一　由得5x2－16x＋12＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝.所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝×＝，故选D.
解法二　则圆心（2，3）到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以｜AB｜＝2＝2＝，故选D.
（2）[2023新高考卷Ⅱ]已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　2（答案不唯一）　.
解析　设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知☉C的圆心C（1，0），半径R＝2，C到直线l的距离d＝，（提示：点（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝）｜AB｜＝2＝2＝.由S△ABC＝，得××＝，整理得2m2－5｜m｜＋2＝0，解得m＝±2或m＝±.
方法技巧
求解圆的弦长问题的方法
几何法 设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则｜AB｜＝2.在解决圆的弦长问题时，多用几何法.
代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A（xA，yA），B（xB，yB）两点，则｜AB｜＝·｜xA－xB｜＝｜yA－yB｜（其中k≠0）.特别地，当k＝0时，｜AB｜＝｜xA－xB｜；当斜率不存在时，｜AB｜＝｜yA－yB｜.
训练2 （1）[2021北京高考]已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k的值发生变化时，直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2，则m的值为（　C　）
A.±2 B.± C.± D.±3
解析　解法一（几何法）　设直线l与y轴交于点A（0，m），由题意知，圆心C（0，0），当k的值发生变化时，要使直线l被圆C所截得的弦长最小，则圆心C到直线l的距离最大，为｜AC｜，即｜m｜＝＝，所以m＝±.
解法二（代数法）　由得（k2＋1）x2＋2kmx＋m2－4＝0.设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则则｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·＝＝2.
显然当k＝0时，弦长取得最小值2＝2，解得m＝±.
（2）[多选/2024南京市第五高级中学模拟]已知圆O：x2＋y2＝9，过点A（2，0）的直线l与圆O交于M，N两点，则（　BD　）
A.存在直线l，使得｜MN｜＝4
B.使得｜MN｜为整数的直线l有3条
C.存在直线l，使得△MON的面积为
D.存在直线l，使得△MON的面积为
解析　因为圆O的半径为3，｜OA｜＝2，所以2≤｜MN｜≤6，即2≤｜MN｜≤6，故A不正确.
若｜MN｜为整数，则｜MN｜＝5或｜MN｜＝6，且满足｜MN｜＝5的直线l有2条，满足｜MN｜＝6的直线有1条，故B正确.
S△MON＝｜OM｜｜ON｜sin∠MON＝sin∠MON，且点O到直线l的距离的最大值为2.
若S＝，则sin∠MON＝1，则∠MON＝，则O到直线l的距离为3cos＝＞2，不符合条件，故C不正确.
若S＝，则sin∠MON＝，则∠MON＝或.若∠MON＝，则O到直线l的距离为3cos＝＞2，不符合条件；若∠MON＝，则O到直线l的距离为3cos＝＜2，符合条件，故D正确.故选BD.
命题点3　圆的切线问题
例3 [2023新高考卷Ⅰ]过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝ （　B　）
A.1 B. C. D.
解析　如图，x2＋y2－4x－1＝0，即（x－2）2＋y2＝5，所以圆心坐标为（2，0），半径r＝，所以圆心到点（0，－2）的距离为＝2，因为圆心与点（0，－2）的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cos ＝，所以.故选B.
例4 已知点P（＋1，2－），点M（3，1），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4.
（1）求过点P的圆C的切线方程；
（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.
解析　由题意得圆心C（1，2），半径r＝2.
（1）∵（＋1－1）2＋（2－－2）2＝4，∴点P在圆C上.
又kPC＝＝－1，∴切线的斜率k＝－＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是y－（2－）＝x－（＋1），即x－y＋1－2＝0.
（2）∵（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4，
∴点M在圆C外部.
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C（1，2）到直线的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，∴直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－1＝（x－3），即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵｜MC｜＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
方法技巧
1.求过圆O上一点P（x0，y0）的切线l方程的方法
利用OP与l垂直及l过点P求切线方程.
2.求过圆外一点的切线方程的方法
几何法 设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解.
代数法 设出直线方程，再与圆的方程联立，得到一个关于x或y的一元二次方程，利用Δ＝0求解.
注意　（1）求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系.（2）设直线方程时注意对斜率是否存在进行讨论.
3.过圆外一点M作圆的切线，求切线长的技巧
先求M与圆心的距离d，再由勾股定理求得切线长为（其中r为圆的半径）.
训练3 （1）[2023重庆市二调]已知直线l：x－y＋8＝0与x轴交于点A，过直线l上的动点P作圆x2＋y2＝16的两条切线，切点分别为C，D，则直线CD恒过定点的坐标为　　；若M是线段CD的中点，则｜AM｜的最小值为　4　.
解析　解法一　设点P坐标为（x0，y0），O为坐标原点，连接OP，易证C，D两点在以OP为直径的圆上，故C，D两点为此圆与圆x2＋y2＝16的交点，由化简得x0x＋y0y＝16，此方程即直线CD的方程，又点P是直线l上的动点，所以y0＝x0＋8，所以直线CD的方程为x0x＋（x0＋8）y＝16，即x0（x＋y）＋8y＝16.当x＋y＝0，8y＝16时，y＝2，x＝－2.故直线CD过定点.令定点为F，由OM⊥CD知，OM⊥MF，又｜OF｜＝2，所以点M在以OF为直径的圆上，其轨迹方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝2，设圆心为N，则N（－1，1）.又A（－8，0），｜AN｜＝＝5，故｜AM｜的最小值为5－＝4.
解法二　依题意，设点P坐标为（x0，x0＋8），则CD：x0x＋（x0＋8）y＝16.（二级结论：从圆外一点P（x0，y0），引圆x2＋y2＝r2的两条切线，切点弦所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2）
后同解法一.
（2）[2021天津高考]若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋（y－1）2＝1相切于点B，则｜AB｜＝　　.
解析　设直线AB的方程为y＝x＋b，则点A（0，b），由于直线AB与圆相切，且圆心为C（0，1），半径为1，则＝1，解得b＝－1或b＝3，所以｜AC｜＝2，因为｜BC｜＝1，所以｜AB｜＝＝.
命题点4　圆与圆的位置关系
角度1　圆与圆位置关系的判断
例5 [2023安徽省十校联考]已知直线l：mx＋y－3m－2＝0与圆交于A，B两点，则当弦AB最短时，圆M与圆N：（x＋2m）2＋y2＝9的位置关系是（　B　）
A.内切 B.外离 C.外切 D.相交
解析　易知直线l：mx＋y－3m－2＝0即m（x－3）＋y－2＝0，可知l过定点P（3，2），因为（3－5）2＋（2－4）2＜25，故P（3，2）在圆M：（x－5）2＋（y－4）2＝25内.故弦AB最短时直线l垂直于PM，又kPM＝＝1，所以1×（－m）＝－1，解得m＝1，此时圆N的方程是（x＋2）2＋y2＝9.两圆圆心之间的距离｜MN｜，两圆半径分别为5，3，又＞＝5＋3，所以这两圆外离.故选B.
角度2　两圆的公切线问题
例6 [2022新高考卷Ⅰ]写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程　x＝－1（答案不唯一）　.
解法一　如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O（0，0），半径r1＝1，圆（x－3）2＋（y－4）2＝16的圆心为A（3，4），半径r2＝4，所以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1；②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称，易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由得由对称性可知公切线l2过点（－1，－），设公切线l2的方程为y＋＝k（x＋1），则点O（0，0）到l2的距离为1，所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋＝（x＋1），即7x－24y－25＝0；③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直，设公切线l3的方程为y＝－x＋t，易知t＞0，则点O（0，0）到l3的距离为1，所以1＝，解得t＝或t＝－（舍去），所以公切线l3的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或或3x＋4y－5＝0.
解法二　若两圆公切线的斜率不存在，则设其方程为x＝m，由题意得｜m｜＝1，且｜m－3｜＝4，解得m＝－1，所以此时两圆公切线的方程为x＝－1.
若两圆公切线的斜率存在，则设其方程为y＝kx＋b，由题意得＝1，＝4，
所以有｜3k－4＋b｜＝4｜b｜，所以可得3k－4＋b＝±4b，即b＝k－或b＝－k.
将b＝k－代入＝1化简可得k＝，b＝－；
将b＝－k代入＝1化简可得k＝－，b＝.
则可得两圆公切线的方程为y＝x－或y＝－x＋，
即7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
综上，可知两圆公切线的方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
角度3　两圆相交的公共弦问题
例7 圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为　x－2y＋4＝0　，公共弦长为　2　.
解析　联立两圆的方程，得两式相减并整理得x－2y＋4＝0，所以两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.
解法一　设两圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点的坐标满足解得或所以｜AB｜＝＝2，即公共弦长为2.
解法二　由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得（x－1）2＋（y＋5）2＝50，其圆心坐标为（1，－5），半径r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝（3）2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2.
方法技巧
1.判断两圆的位置关系常用的方法是几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分别等于两圆的半径列方程组求解.
3.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
训练4 （1）[2023湖南省六校联考]在平面直角坐标
系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（　B　）
A.0 B. C. D.7
解析　圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，则圆C的标准方程为（x－4）2＋y2＝1，则圆C是以C（4，0）为圆心，1为半径的圆.若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆心C到直线y＝kx－2的距离d≤2，即≤2，解得0≤k≤，即k的最大值为.故选B.
（2）[多选/2023海南省文昌中学模拟]已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：的交点为A，B，直线l：x＋y＋λ＝0与圆O1交于C，D两点，则下列结论正确的是（　CD　）
A.直线AB的方程为x－y＋＝0
B.圆O2上存在两点P和Q，使得｜PQ｜＞｜AB｜
C.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
D.若O1C⊥O1D，则λ＝－3或λ＝1
解析　圆O1的圆心为O1（1，0），半径r1＝2，圆O2的圆心为O2（0，1），半径r2＝，所以｜O1O2｜＝＝，r1－r2＜｜O1O2｜＜r1＋r2，所以两圆相交，所以将两圆的方程作差可得直线AB的方程，为x－y＋1＝0，故A错误；
圆心O1到直线AB的距离为d1＝＝，所以｜AB｜＝2＝2，对于圆O2上的任意两点P，Q，｜PQ｜≤2r2＝｜AB｜，故B错误；
圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为d1＋r1＝2＋，故C正确；
因为O1C⊥O1D，所以圆心O1到直线CD的距离为，所以＝，故λ＝－3或λ＝1，故D正确.故选CD.第5讲　椭　圆
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 2.了解椭圆的简单应用. 3.体会数形结合的思想. 椭圆的定义及其应用 2023全国卷甲T7；2023全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT5；2021全国卷甲T15；2020新高考卷ⅠT9 该讲是高考命题的热点，主要体现：（1）以定义作为命题思路求解椭圆的标准方程、离心率等；（2）以特殊的几何图形为命题背景，求解三角形的面积，弦长等.题型既有小题也有大题，难度中等偏上.在2025年高考的备考中，应关注椭圆的定义和几何性质在解题中的应用.
椭圆的标准方程 2023全国卷乙T20；2022全国卷甲T11；2022全国卷乙T20；2021新高考卷ⅡT20；2020新高考卷ⅠT22；2020新高考卷ⅡT21；2020全国卷ⅠT20；2020全国卷ⅡT19；2020全国卷ⅢT20；2019全国卷ⅠT10；2019全国卷ⅡT21
椭圆的几何性质 2023新高考卷ⅠT5；2022新高考卷ⅠT16；2022全国卷乙T20；2022全国卷甲T10；2021全国卷乙T11；2020全国卷ⅡT19；2019全国卷ⅢT15
1.椭圆的定义和标准方程
（1）定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于①　常数　（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的②　焦点　，两焦点间的距离叫做椭圆的③　焦距　.
集合语言：P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，2a＞｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数.
注意　若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在.
（2）标准方程
a.中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为④　　（a＞b＞0）；
b.中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为⑤　　（a＞b＞0）.
思维拓展
椭圆的第二定义、第三定义
椭圆的第二定义：{P｜＝e，0＜e＜1，其中F为定点，l为定直线，e为离心率，F l，d表示点P到直线l的距离}.
椭圆的第三定义：{P｜kPA·kPB＝e2－1，0＜e＜1，其中kPA，kPB分别表示点P与两定点A，B连线的斜率，e为离心率}.
注意　椭圆的第三定义中的两个定点（椭圆的顶点）在x轴上，且利用椭圆第三定义得出的轨迹方程不包括这两个定点.
2.椭圆的几何性质
标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0）
图形
标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0）
几 何 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 对称轴：⑥　x轴、y轴　.对称中心：⑦　原点　
焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
顶点
轴 线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为⑧　2a　，短轴长为⑨　2b　
焦距 ｜F1F2｜＝2c
离心率 e＝＝∈⑩　（0，1）　
a，b，c 的关系 　a2＝b2＋c2　
说明　离心率表示椭圆的扁平程度，当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近于圆.
常用结论
1.椭圆的焦点三角形
以椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2为顶点的△PF1F2叫做焦点三角形.
如图所示，设∠F1PF2＝θ.
（1）当P为短轴端点时，θ最大.（2）＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin θ＝b2·＝b2tanc｜y0｜，当｜y0｜＝b，即P为短轴端点时，取最大值，最大值为bc.（3）｜PF1｜max＝a＋c，｜PF1｜min＝a－c.（4）焦点三角形的周长为2（a＋c）.
2.设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），则当点在椭圆上时，｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（e为椭圆的离心率）.
1.（1）的推导过程：在焦点三角形PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos θ，
则cos θ＝
　 ＝
　 ＝
　 ＝－1，
∵｜PF1｜｜PF2｜≤（）2＝a2，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜，即点P是短轴端点时取等号，
∴cos θ＝－1≥－1.
又函数y＝cos x在（0，π）上单调递减，∴当P为短轴的端点时，θ最大.
1.（2）的推导过程：由上条结论的推导过程得cos θ＝－1，∴｜PF1｜｜PF2｜＝，
∴＝｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝··sin θ＝b2·＝b2·＝b2tan .
1.设P是椭圆C：＋＝1上的动点，则P到椭圆的两个焦点的距离之和为（　C　）
A.2 B.2 C.2 D.4
解析　根据椭圆的定义，可知点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2.故选C.
2.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（　B　）
A.a2＝2b2 B.3a2＝4b2 C.a＝2b D.3a＝4b
解析　由题意得，＝，∴＝，又a2＝b2＋c2，∴＝，∴＝，∴4b2＝3a2.故选B.
3.[多选]下列说法正确的是（　CD　）
A.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆
B.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆
C.关于x，y的方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆
D.＋＝1（a＞b＞0）与＋＝1（a＞b＞0）的焦距相同
4.[易错题]平面内一点M到两定点F1（－6，0），F2（6，0）的距离之和等于12，则点M的轨迹是　线段F1F2　.
解析　由题意知｜MF1｜＋｜MF2｜＝12，但｜F1F2｜＝12，即｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜F1F2｜，所以点M的轨迹是线段F1F2.
5.[易错题]椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝　4或8　.
解析　当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.
6.已知椭圆的一个焦点为F（6，0），且B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等边三角形，则这个椭圆的标准方程是　＋＝1　.
解析　由已知得椭圆的焦点在x轴上，设方程为＋＝1（a＞b＞0）.由一个焦点为F（6，0），知c＝6，又△FB1B2为等边三角形，得b＝2，所以a2＝b2＋c2＝48，故椭圆的标准方程为＋＝1.
研透高考 明确方向
命题点1　椭圆的定义及其应用
例1 （1）[2023全国卷甲]设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　B　）
A.1 B.2 C.4 D.5
解析　解法一　因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则＝｜PF1｜·｜PF2｜＝b2tan，得｜PF1｜·｜PF2｜＝1×tan，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故选B.
解法二　因为·＝0，所以PF1⊥PF2，所以16.因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2，所以＝20，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝20，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故选B.
（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为（　C　）
A.13 B.12 C.9 D.6
解析　由椭圆C：＋＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，
则｜MF1｜·｜MF2｜≤（）2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立.
（3）动圆M与圆M1：（x＋1）2＋y2＝1外切，与圆M2：（x－1）2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹是　椭圆　.
解析　设圆M的半径为R.因为圆M与圆M1外切，与圆M2内切，所以｜MM2｜＝5－R，所以｜MM1｜＋｜MM2｜＝1＋R＋5－R＝6＞｜M1M2｜＝2，所以M的轨迹是椭圆.
方法技巧
1.椭圆定义的主要应用
（1）确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为椭圆；（2）解决与焦点有关的距离或范围问题.
2.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义以及余弦定理.
训练1 （1）[2023全国卷甲]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝，则｜OP｜＝（　B　）
A. B. C. D.
解析　解法一　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图，不妨令F1（－，0），F2（，0）.设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝　①，由椭圆的定义可得　②.由①②，解得mn＝.设｜OP｜＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得＝－，得x2＝＝＝，所以｜OP｜＝.（也可由＝（＋），两边同时平方求｜OP｜）
解法二　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图（图同解法一），设点P的坐标为（x0，y0），利用焦点三角形面积公式知＝.因为cos∠F1PF2＝，所以sin∠F1PF2＝，故＝＝3.又＝×2c｜y0｜＝｜y0｜，故＝3，又＋＝1，所以＝，故｜OP｜2＝＋＝，得｜OP｜＝.
（2）已知椭圆＋＝1，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若点A的坐标为（1，1），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为（　A　）
A.3 B. C.＋ D.＋1
解析　设椭圆的右焦点为F2（1，0），则｜AF2｜＝1，.又｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜＝1，所以，所以｜PA｜＋｜PF｜的最小值为3（此时点P是射线F2A与椭圆的交点）.
（3）已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，－4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是　＋＝1（x≠0）　.
解析　因为△ABC的周长为20，顶点B（0，－4），C（0，4），所以｜BC｜＝8，｜AB｜＋｜AC｜＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆的一部分，设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），易得a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以点A的轨迹方程是＋＝1（x≠0）.
命题点2　椭圆的标准方程
例2 （1）[2023南京模拟]已知椭圆的两个焦点分别为F1（0，2），F2（0，－2），P为椭圆上任意一点，若｜F1F2｜是｜PF1｜，｜PF2｜的等差中项，则此椭圆的标准方程为（　D　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析　由题意得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜F1F2｜＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2，又焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）[2022全国卷甲]已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为（　B　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
解析　依题意得A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以＝（－a，－b），＝（a，－b），·＝－a2＋b2＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝＝，所以a＝3，故a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1，故选B.
方法技巧
求椭圆标准方程的两种方法
1.定义法
先根据椭圆的定义确定a，b，c的值，再结合焦点位置求出椭圆的标准方程.
2.待定系数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b的值；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为，用待定系数法求出m，n的值.
训练2 （1）[2023银川市质检]已知A是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右顶点，焦距为4，直线y＝kx（k≠0）与C相交于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为－，则椭圆C的方程为（　B　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析　解法一　因为A是椭圆C的右顶点，所以点A的坐标为（a，0），因为直线y＝kx（k≠0）过原点，所以与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的交点P，Q关于原点对称，因此可设P，Q两点的坐标分别为（x1，y1），（－x1，－y1），则kAP·kAQ＝·＝·.因为点P（x1，y1）在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，所以＋＝1，故＝b2（1－）＝（a2－），所以kAP·kAQ＝＝＝－，由已知可得－＝－，所以a2＝2b2.由焦距2c＝4，得c＝2，再结合椭圆中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b24，故椭圆C的方程为＋＝1，故选B.
解法二　由二级结论可知，直线AP和AQ的斜率之积为－，所以－＝－，所以a2＝2b2，由焦距2c＝4，得c＝2，再结合椭圆中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2＝4，故椭圆C的方程为＋＝1，故选B.（二级结论：过原点的直线与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交于P，Q两点，A为椭圆上任意一点，且直线AP和AQ与坐标轴不垂直，则直线AP和AQ的斜率之积为定值－）
（2）若椭圆经过两点（1，）和（，），则椭圆的标准方程为　　.
解析　解法一　当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 （a＞b＞0）.∵椭圆经过两点（1，）和（，），∴解得∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0）.∵椭圆经过两点（1，）和（，），∴解得与a＞b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
解法二　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 （m＞0，n＞0，m≠n）.
∵椭圆过（1，）和（，）两点，∴解得∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
命题点3　椭圆的几何性质
角度1　离心率
例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　A　）
A. B. C. D.
解析　解法一（直接求解法）　由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A.
解法二（选项代入验证法）　若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A.
（2）[2022全国卷甲]椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（　A　）
A. B. C. D.
解析　解法一　设P（m，n）（n≠0），则Q（－m，n），易知A（－a，0），所以kAP·kAQ＝·＝＝　①.因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，得n2＝（a2－m2），代入①式，得＝，所以e＝＝.故选A.
解法二　设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－＝e2－1，所以e＝.故选A.
（3）[2021全国卷乙]设B是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足｜PB｜≤2b，则C的离心率的取值范围是（　C　）
A.[，1） B.[，1） C.（0，] D.（0，]
解析　依题意，得B（0，b），设椭圆上一点P（x0，y0），则｜y0｜≤b，由＋＝1，可得＝a2－，则｜PB｜2＝＋（y0－b）2＝＋－2by0＋b2＝－－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，｜PB｜2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤，故选C.
方法技巧
1.求椭圆离心率的方法
（1）直接利用公式求离心率.e＝＝.
（2）由椭圆的定义求离心率.设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则e＝＝＝.
（3）构造关于a，c的齐次式求离心率.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
注意　将余弦定理与椭圆的定义结合列方程，是常见的构造关于a，b，c的齐次式的方法.
2.求椭圆离心率范围时，要注意对几何图形的临界情况的应用.
训练3 （1）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且△ABF是等腰三角形，则椭圆C的离心率为（　B　）
A. B. C.－1 D.－1
解析　由题意知｜AB｜＞｜BF｜，｜AF｜＞｜BF｜，故｜AB｜＝｜AF｜，即＝a＋c，所以2a2－c2＝a2＋2ac＋c2，即2c2＋2ac－a2＝0，即2e2＋2e－1＝0，解得e＝（负值舍去），故选B.
（2）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（　D　）
A.1－ B.2－ C. D.－1
解析　由题意可得，｜PF2｜∶｜PF1｜∶｜F1F2｜＝1∶∶2.因为｜F1F2｜＝2c，所以｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝c，由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝＝－1.故选D.
角度2　与椭圆性质有关的最值（范围）问题
例4 （1）[2021全国卷乙]设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（　A　）
A. B. C. D.2
解析　设点P（x，y），则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B（0，1），所以｜PB｜2＝x2＋（y－1）2＝5－5y2＋（y－1）2＝－4y2－2y＋6＝－（2y＋）2（｜y｜≤1）.当2y＋＝0，即y＝－时，｜PB｜2取得最大值，所以｜PB｜max＝.故选A.
（2）设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（　A　）
A.（0，1]∪[9，＋∞） B.（0，]∪[9，＋∞）
C.（0，1]∪[4，＋∞） D.（0，]∪[4，＋∞）
解析　依题意得或所以或解得0＜m≤1或m≥9.
方法技巧
利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）代数法，设坐标，利用坐标构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）几何法，通过数形结合、几何意义等结合椭圆性质求解.
训练4 （1）[2023贵阳摸底]已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点.点M，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足·＝0，·＝0，则｜MN｜的最大值为（　A　）
A.3 B.4 C.5 D.6
解析　设PF1，PF2的中点分别为A，B，因为·＝0，·＝0，所以M在以A为圆心，PF1为直径的圆上，N在以B为圆心，PF2为直径的圆上，所以直线AB与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M，N（M，N的位置如图所示）时，｜MN｜最大，此时｜MN｜＝｜PA｜＋｜AB｜＋｜PB｜＝＋｜AB｜.又椭圆C：＋＝1，所以a＝2，b＝，c＝＝1，所以｜MN｜的最大值为＋｜AB｜＝a＋c＝2＋1＝3，故选A.
（2）如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1（b＞0）的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为　4　.
解析　由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为＋＝1.设P点坐标为（x0，y0），－2≤x0≤2，－≤y0≤.因为F（－1，0），A（2，0），＝（－1－x0，－y0），＝（2－x0，－y0），＋＝1，所以·＝－x0－2＋＝－x0＋1＝（x0－2）2，则当x0＝－2时，·取得最大值4.第6讲　双曲线
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质. 2.体会数形结合的思想. 双曲线的定义及应用 2020全国卷ⅢT11 该讲每年必考，命题热点为双曲线的定义、标准方程、渐近线、离心率，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等偏上.在2025年高考备考中，训练常规题型的同时，应强化有关解答题的训练.
求双曲线的标准方程 2023新高考卷ⅡT21；2023天津T9；2022新高考卷ⅡT21
双曲线的几何性质 2023新高考卷ⅠT16；2022全国卷乙T11；2022全国卷甲T14；2022北京T12；2021新高考卷ⅠT21；2021新高考卷ⅡT13；2021全国卷甲T5；2021全国卷乙T13；2020新高考卷ⅠT9；2020全国卷ⅠT15；2020全国卷ⅡT8；2020全国卷ⅢT11；2019全国卷ⅠT16 ；2019全国卷ⅡT11；2019全国卷ⅢT10
1.双曲线的定义和标准方程
（1）定义
在平面内到两定点F1，F2的距离的差的①　绝对值　等于常数（小于｜F1F2｜且大于零）的点的轨迹叫做双曲线.定点F1，F2叫做双曲线的②　焦点　，两焦点间的距离叫做③　焦距　.
集合语言：P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，2a＜｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
a.当2a＝2c时，P点的轨迹是④　两条射线　；
b.当2a＞2c时，P点轨迹不存在.
（2）标准方程
a.中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为⑤　－＝1　（a＞0，b＞0）；
b.中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为⑥　－＝1　（a＞0，b＞0）.
规律总结
焦点位置的判断
在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.
思维拓展
双曲线的第二定义、第三定义
双曲线的第二定义：{P｜＝e，e＞1，F l，其中F为定点，l为定直线，e为离心率，d为点P到直线l的距离}.
双曲线的第三定义：{P｜kPA·kPB＝e2－1，e＞1，其中kPA，kPB分别表示点P与两定点A，B连线的斜率，e为离心率}（注意，此时确定的双曲线不包含两个顶点，且焦点在x轴上）.
2.双曲线的几何性质
（1）双曲线的几何性质
标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0）
图形
标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0）
几 何 性 质 范围 ｜x｜≥a，y∈R ｜y｜≥a，x∈R
对称性 对称轴：⑦　x轴，y轴　；对称中心：⑧　原点　
焦点 F1⑨　（－c，0）　，F2⑩　（c，0）　 F1 　（0，－c）　，F2 　（0，c）　
顶点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a）
轴 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为 　2a　，虚轴长为 　2b　；实半轴长为a，虚半轴长为b
焦距 ｜F1F2｜＝ 　2c　
离心率 e＝ 　　＝，e∈ 　（1，＋∞）　
渐近线 直线 　y＝±x　 直线 　y＝±x　
a，b，c 的关系 a2＝ 　c2－b2　
（2）特殊双曲线
等轴双曲线 共轭双曲线
定义 实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. 如果一双曲线的实轴和虚轴分别是另一双曲线的虚轴和实轴，那么这两个双曲线互为共轭双曲线.
性质 （1）a＝b；（2）e＝；（3）渐近线互相垂直；（4）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项. （1）它们有共同的渐近线；（2）它们的四个焦点共圆；（3）它们的离心率的倒数的平方和等于1.
常用结论
1.双曲线的焦点三角形与焦半径
F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线上一点，则
（1）＝，其中θ为∠F1PF2.
（2）△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a.
（3）当点P（x0，y0）在双曲线右支上时，｜PF1｜＝ex0＋a，｜PF2｜＝ex0－a；当点在双曲线左支上时，｜PF1｜＝－ex0－a，｜PF2｜＝－ex0＋a.
（4）当点P在双曲线右支上时，｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a.
2.双曲线中两个常见的直角三角形
如图所示，F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为右顶点，过点F2向渐近线引垂线，垂足为C，过点A向x轴引垂线交渐近线于点B，则△COF2≌△AOB，且有｜OC｜＝｜OA｜＝a，｜F2C｜＝｜AB｜＝b，｜OF2｜＝｜OB｜＝c.
1.下列说法正确的是（　D　）
A.平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线
B.关于x，y的方程－＝1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线
C.双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x
D.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于
2.[浙江高考]渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（　C　）
A. B.1 C. D.2
解析　因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.故选C.
3.[2023北京高考]已知双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），离心率为，则C的标准方程为　－＝1　.
解析　解法一　因为双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦点在x轴上.又离心率e＝，所以＝，所以a＝，则b2＝c2－a2＝2，所以双曲线C的标准方程为－＝1.
解法二　因为双曲线C的离心率e＝，所以该双曲线为等轴双曲线，即a＝b.又双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦点在x轴上，所以a2＋b2＝c2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线C的标准方程为－＝1.
4.已知等轴双曲线过点（5，3），则该双曲线方程为　－＝1　.
解析　设双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0），将（5，3）代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.
5.[教材改编]设双曲线－＝1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为双曲线上的一点，若｜PF1｜＝5，则｜PF2｜＝　11　.
解析　由双曲线的方程－＝1（b＞0），可得a＝3，根据双曲线的定义可知又｜PF1｜＝5，则｜PF2｜＝11.
6.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，实轴长为4，则双曲线C的渐近线方程为　x±y＝0　.
解析　由题意知，2c＝4，2a＝4，则b＝＝2，所以C的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.
研透高考 明确方向
命题点1　双曲线的定义及应用
例1 （1）[全国卷Ⅲ]设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝（　A　）
A.1 B.2 C.4 D.8
解析　解法一　设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，P为双曲线右支上一点，则由双曲线的定义得m－n＝2a.由题意得＝mn＝4，且m2＋n2＝4c2＝（m－n）2＋2mn＝4a2＋16，又e＝＝，故＝＝5，所以a＝1，故选A.
解法二　由题意及双曲线焦点三角形的结论，得＝＝4，得b2＝4，又＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1.
（2）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹为（　C　）
A.双曲线 B.椭圆
C.双曲线左支 D.双曲线右支
解析　设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得｜MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以动圆圆心M的轨迹是以点和为焦点的双曲线的左支.
方法技巧
1.双曲线定义的主要应用
（1）确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为双曲线；
（2）解决与焦点有关的距离或范围问题.
2.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义以及余弦定理.
训练1 （1）已知P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则｜PF1｜＋｜PQ｜的最小值为（　D　）
A.1 B.2＋
C.4＋ D.2＋1
解析　设双曲线的右焦点为F2，因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2，所以｜PF1｜＝2＋｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PQ｜＝2＋｜PF2｜＋｜PQ｜.当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，｜PF2｜＋｜PQ｜最小，且最小值为点F2到直线l的距离.点F2到直线l的距离d＝1，故｜PQ｜＋｜PF1｜的最小值为2＋1，故选D.
（2）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为　2　.
解析　解法一　不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝8，所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝2.
解法二　由题意可得双曲线C的标准方程为－＝1，所以可得b2＝2，由双曲线焦点三角形的面积公式＝，可得＝＝2.
命题点2　求双曲线的标准方程
例2 （1）已知定点F1（－2，0），F2（2，0），N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是（　B　）
A.x2＋＝1 B.x2－＝1
C.＋y2＝1 D.－y2＝1
解析　如图，当点P在y轴左侧时，连接ON，PF1.因为｜ON｜＝｜F2M｜＝1，所以｜F2M｜＝2，由PN所在直线为线段MF1的垂直平分线，可得｜PF1｜＝｜PM｜＝｜PF2｜－｜F2M｜＝｜PF2｜－2，所以｜PF2｜－｜PF1｜＝2＜｜F1F2｜＝4.同理，当点P在y轴右侧时，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＜｜F1F2｜＝4.故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，对应的方程为x2－＝1.
（2）[2023天津高考]双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知｜PF2｜＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（　D　）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　解法一　由题意可知该渐近线方程为y＝x，直线PF2的方程为y＝－（x－c），与y＝x联立并解得即P（，）.因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2（c，0）到直线y＝x（即bx－ay＝0）的距离，由点到直线的距离公式得｜PF2｜＝＝＝b，所以b＝2.因为F1（－c，0），P（，），且直线PF1的斜率为，所以＝，化简得＝，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以＝，整理得a2－2a＋2＝0，即＝0，解得a＝.所以双曲线的方程为－＝1，故选D.
解法二　因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且｜PF2｜＝2，所以b＝2，（双曲线中焦点到渐近线的距离为b）
再结合选项，排除选项B，C.若双曲线方程为－＝1，则F1（－2，0），F2（2，0），渐近线方程为y＝±x，由题意可知该渐近线方程为y＝x，则直线PF2的方程为（x－2），与渐近线方程y＝x联立，得P（，），则＝，又直线PF1的斜率为，所以双曲线方程－＝1不符合题意，排除A.故选D.
方法技巧
求双曲线标准方程的两种方法
1.定义法
先根据双曲线定义确定a，b，c的值，再结合焦点的位置求出双曲线方程.
2.待定系数法
（1）先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由题中条件确定a2，b2的值；若不能确定焦点位置，可以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）.
（2）常见设法
①与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（a＞0，b＞0，λ≠0）；
②与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）共焦点的双曲线方程可设为－＝1（a2，且λ≠0）.
训练2 （1）[浙江高考]已知点O（0，0），A（－2，0），B（2，0）.设点P满足，且P为函数y＝3图象上的点，则｜OP｜＝（　D　）
A. B. C. D.
解析　由｜PA｜－｜PB｜＝2＜｜AB｜＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2－＝1（x≥1），又y＝3，所以x2＝，y2＝，所以｜OP｜＝＝，故选D.
（2）与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点P（3，2）的双曲线的标准方程为　－＝1　.
解析　解法一　设所求双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1（－2，0），，则｜PF1｜－｜PF2｜＝－＝22a，∴a＝，∴b2＝c2－a2＝8，故双曲线的标准方程为－＝1.
解法二　设所求双曲线的方程为－＝1（－4＜λ＜16）.
∵双曲线过点P（3，2），∴－＝1，解得λ＝4.
故双曲线的标准方程为－＝1.
命题点3　双曲线的几何性质
角度1　渐近线
例3 （1）[2022北京高考]已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝　　.
解析　依题意得m＜0，令y2－＝0，得y＝±x＝±x，解得m＝－3.
（2）[2021新高考卷Ⅱ]已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为　y＝±x　.
解析　e＝＝＝2，得＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x.
方法技巧
（1）求双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程的方法：令－＝0，即得两渐近线方程为±＝0，也就是y＝±x.
（2）在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式k2＝e2－1.
角度2　离心率
例4 （1）[2021全国卷甲]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为（　A　）
A. B. C. D.
解析　设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.
（2）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，过点A的直线交双曲线C于另一点B，当BF⊥AF时满足｜AF｜＞2｜BF｜，则双曲线离心率e的取值范围是（　B　）
A.（1，2） B.（1，）
C.（，2） D.（1，）
解析　由BF⊥AF，可得｜BF｜＝，又｜AF｜＞2｜BF｜，｜AF｜＝a＋c，所以a＋c＞2·，即a＋c＞2·，即a2＋ac＞2（c2－a2），两边同时除以a2，整理可得2e2－e－3<0，又e＞1，则1＜e＜.
所以双曲线离心率e的取值范围是（1，）.
（3）[2023新高考卷Ⅰ]已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为　　.
解析　解法一　由题意可知，F1（－c，0），F2（c，0），设A（x1，y1），B（0，y0），所以＝（x1－c，y1），＝（－c，y0），因为＝－，所以即所以A（c，－y0）.
＝（c，－y0），＝（c，y0），因为⊥，所以·＝0，即c2－＝0，解得＝4c2.
因为点A（c，－y0）在双曲线C上，所以－＝1，又＝4c2，所以－＝1，即－＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.
解法二　由前面解法一得A（c，－y0），＝4c2，所以｜AF1｜＝＝＝＝，｜AF2｜＝＝＝＝，由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，即－＝2a，即c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
方法技巧
1.求双曲线的离心率的方法
（1）直接利用公式求离心率：e＝＝.
（2）利用双曲线的定义求离心率：在焦点三角形F1PF2中，设∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则e＝＝＝.
（3）构造关于a，b，c的齐次式求离心率：由已知条件得出关于a，b，c的齐次式，然后转化为关于e的方程求解.
2.求双曲线离心率的取值范围的方法
（1）借助平面几何图形中的不等关系求解，如焦半径｜PF1｜∈[c－a，＋∞）或｜PF1｜∈[a＋c，＋∞）、三角形中两边之和大于第三边等；
（2）考虑平面几何图形的临界位置，建立关于a，c的不等关系求解.
角度3　与双曲线性质有关的最值（范围）问题
例5 （1）[全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（　B　）
A.4 B.8 C.16 D.32
解析　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（a，b），E（a，－b），所以S△ODE＝×a×｜DE｜＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时等号成立.所以c≥4，2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
（2）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上（不含端点）存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝，则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是（　A　）
A.（1，） B.（1，）
C.（0，） D.（，）
解析　不妨设点F为双曲线的左焦点，点B在y轴正半轴上，则直线BF的方程为bx－cy＝－bc.如图所示，以O为圆心，A1A2为直径作圆O，则P1，P2在圆O上.
由题意可知即解得1＜＜，即双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是（1，）.
方法技巧
求解与双曲线性质有关的最值（范围）问题的方法
1.几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.
2.代数法：构造函数或不等式，利用函数或不等式的性质求解.
训练3 （1）[2023绵阳二诊]设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，A，B两点在双曲线C上且关于原点对称，若｜AB｜＝2｜OF｜（O为坐标原点），｜BF｜＝3｜AF｜，则该双曲线的渐近线方程为（　A　）
A.x±2y＝0 B.2x±y＝0
C.2x±3y＝0 D.3x±2y＝0
解析　记F'为双曲线C的左焦点，连接AF'，BF'，则F，F'关于原点对称，又A，B也关于原点对称，所以四边形AFBF'为平行四边形，又｜AB｜＝2｜OF｜，所以四边形AFBF'为矩形.因为｜BF｜＝3｜AF｜，所以｜AF'｜＝3｜AF｜，所以｜AF'｜－｜AF｜＝2｜AF｜＝2a，所以｜AF｜＝a，｜AF'｜＝3a.在Rt△FAF'中，所以a2＋（3a）2＝（2c）2，所以c2＝，又a2＋b2＝c2，所以b2＝，所以＝，所以双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故选A.
（2）如图，设双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，点A是C右支上的一点，则｜AF1｜＋的最小值为（　C　）
A.5 B.6 C.7 D.8
解析　由双曲线C：x2－＝1可得a2＝1，b2＝24，所以c2＝a2＋b2＝25，所以a＝1，c＝5.由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝2，所以｜AF1｜＝｜AF2｜＋2，所以｜AF1｜＋＝｜AF2｜＋＋2.由双曲线的性质可知｜AF2｜≥c－a＝4，令｜AF2｜＝t，则t≥4，所以｜AF1｜＋＝t＋＋2.令f（t）＝t＋＋2（t≥4），则在[4，＋∞）上单调递增，（易忽视｜AF2｜的范围，错误地使用基本不等式求最值）
所以当t＝4时，f（t）取得最小值4＋＋2＝7，此时点A为双曲线的右顶点（1，0），即｜AF1｜＋的最小值为7.故选C.
（3）[2023湖北省重点中学联考]若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右支上存在两点A，B，使△ABM为正三角形（其中M为双曲线的右顶点），则离心率e的取值范围为　（1，）　.
解析　由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x.要使该双曲线右支上存在两点A，B，使△ABM为正三角形，则需过右顶点M，且斜率为的直线与双曲线的右支有两个不同的交点，即只需斜率大于渐近线y＝x的斜率，所以＞，即b＜a，即b2＜a2，所以c2＜a2a2，即c＜a.又e＞1，所以1＜e＜.第7讲　抛物线
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质. 2.了解抛物线的简单应用. 3.体会数形结合的思想. 抛物线的定义及其应用 2022全国卷乙T5；2021新高考卷ⅡT3；2021全国卷乙T21；2020全国卷ⅠT4 本讲每年必考，主要以定义作为命题思路，求解轨迹问题、距离问题、最值问题等.在2025年高考备考中，在训练常规题型的同时，应关注抛物线的定义的应用.
抛物线的标准方程 2023全国卷乙T13；2022全国卷甲T20；2021新高考卷ⅠT14；2021全国甲卷T20
抛物线的几何性质 2023新高考卷ⅡT10；2021新高考卷ⅠT14；2020全国卷ⅡT19；2020全国卷ⅢT5
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离①　相等　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的②　焦点　，直线l叫做抛物线的③　准线　.
注意　定点F在定直线l上时，动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px（p＞0） x2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0）
图形
几何 性质 对称轴 x轴 y轴
顶点 O（0，0）
焦点 ④　F（，0）　 ⑤　F（－，0）　 ⑥　F（0，）　 ⑦　F（0，－）　
准线方程 ⑧　x＝－　 ⑨　x＝　 ⑩　y＝－　 　y＝　
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
离心率 e＝ 　1　
焦半径（其中P为抛物线上任一点） 　＋x0　 －x0 　＋y0　 －y0
常用结论
抛物线焦点弦的几个常用结论
如图，设AB是一条过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，AB所在直线的倾斜角为α，若A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在准线l上的射影分别为A1，B1，则
（1）x1x2＝，y1y2＝－p2.
（2）｜AF｜＝，｜BF｜＝，弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，S△AOB＝＝｜OF｜·｜y1－y2｜.
（3）＋＝.
（4）当N为准线与x轴的交点时，∠ANF＝∠BNF.
（5）通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，弦长等于2p，通径是过焦点的最短的弦.
（6）以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
（7）以A1B1为直径的圆与AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°.
（8）当M1为A1B1的中点时，M1A⊥M1B.
（9）以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
（2）的推导过程：因为AB所在直线的倾斜角为α，则cos α＝，解得x1＝·，则｜AF｜＝x1＋＝.
同理可得｜BF｜＝.
则｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝＋＝，
S△AOB＝×｜AB｜××sin α＝×××sin α＝.
由（2）的推导过程可得，＋＝＋＝.
1.下列说法正确的是（　D　）
A.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
B.若抛物线过点P（－2，3），则其标准方程可写为y2＝2px（p＞0）
C.抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形
D.方程y＝ax2（a≠0）表示的曲线是焦点在y轴上的抛物线，且其准线方程为y＝－
2.抛物线y＝4x2的焦点坐标为（　A　）
A.（0，） B.（0，） C.（0，1） D.（1，0）
解析　化抛物线的方程为标准形式，得x2＝y，所以p＝，（本题在解答过程中若不先将抛物线方程化为标准形式，易错误得到p＝2，从而错选C）
抛物线的焦点坐标为（0，），故选A.
3.[2023湖北省十堰市调研]下列四个抛物线中，开口朝左的是（　C　）
A.y2＝5x B.x2＝－5y
C.y2＝－5x D.x2＝5y
解析　抛物线y2＝5x的开口朝右，抛物线x2＝－5y的开口朝下，抛物线y2＝－5x的开口朝左，抛物线x2＝5y的开口朝上.故选C.
4.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝（　D　）
A.2 B.3 C.4 D.8
解析　由题意，知抛物线的焦点坐标为（，0），椭圆的焦点坐标为（±，0），所以＝，解得p＝8，故选D.
5.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，2）为抛物线上一点，则｜MF｜＝（　B　）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析　因为点M（2，2）为抛物线上一点，所以将点M的坐标代入抛物线的方程y2＝2px（p＞0），可得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，可得其准线方程为x＝－1.根据抛物线的定义，得｜MF｜＝2－（－1）＝3.故选B.
研透高考 明确方向
命题点1　抛物线的定义及其应用
例1 （1）[全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（　C　）
A.2 B.3 C.6 D.9
解析　根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C.
（2）[2022全国卷乙]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若｜AF｜＝｜BF｜，则｜AB｜＝ （　B　）
A.2 B.2 C.3 D.3
解析　解法一　如图，由题意可知F（1，0），设A（，y0），则由抛物线的定义可知｜AF｜＝＋1.因为｜BF｜＝3－1＝2，所以由｜AF｜＝｜BF｜，可得＋1＝2，解得y0＝±2，所以A（1，2）或A（1，－2）.不妨取A（1，2），则｜AB｜＝＝＝2，故选B.
解法二　由题意可知F（1，0），｜BF｜＝2，所以｜AF｜＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以｜AB｜＝＝＝2，故选B.
方法技巧
利用抛物线的定义可解决的常见问题
（1）轨迹问题：利用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.
（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，在解题过程中注意两者之间的相互转化.
（3）最值问题：通过距离转化，利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求解.
训练1 [多选/2023惠州市二调]设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E（3，1）为定点，则下列结论正确的是（　AD　）
A.准线l的方程是x＝－2
B.｜ME｜－｜MF｜的最大值为2
C.｜ME｜＋｜MF｜的最小值为7
D.以线段MF为直径的圆与y轴相切
解析　由题意得，抛物线C的焦点F（2，0），准线l的方程是x＝－2，故A正确；｜ME｜－｜MF｜≤｜EF｜＝＝，当点M在线段EF的延长线上时等号成立，∴｜ME｜－｜MF｜的最大值为，故B不正确；如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则｜ME｜＋｜MF｜＝｜ME｜＋｜MA｜≥｜EB｜＝5，当点M在线段EB上时等号成立，∴｜ME｜＋｜MF｜的最小值为5，故C不正确；设点M（x0，y0），线段MF的中点为D，则点D的横坐标xD＝＝＝，∴以线段MF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选AD.
命题点2　抛物线的标准方程
例2 （1）[2023全国卷乙]已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为　　.
解析　将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，所以A到准线的距离为1－（－）＝.
（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为　x＝－　.
解析　解法一　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
解法二　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝×6，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
方法技巧
抛物线的标准方程的求法
（1）定义法
根据抛物线的定义求出p.标准方程有四种形式，要注意判断焦点位置及开口方向.
（2）待定系数法
当焦点位置不确定时，注意分类讨论.对于焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2＝mx（m≠0），焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝my（m≠0）.
训练2 （1）若抛物线的对称轴为坐标轴，焦点在直线x－2y－4＝0 上，则此抛物线的标准方程为　y2＝16x或x2＝－8y　.
解析　由x－2y－4＝0，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是（4，0）或（0，－2），故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
（2）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则抛物线的方程为　y2＝3x　.
解析　如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为点E，D，设｜BF｜＝a，准线与x轴交于点G，则由已知得，｜BC｜＝2a，由抛物线的定义得，｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵｜AC｜＝｜AF｜＋｜BF｜＋｜BC｜＝3＋3a，2｜AE｜＝｜AC｜，∴3＋3a＝6，∴a＝1.易知BD∥FG，∴＝，即＝，解得p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x.
命题点3　抛物线的几何性质
例3 [多选/2023新高考卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线y＝－（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　AC　）
A.p＝2
B.｜MN｜＝
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
解析　由题意，易知直线y＝－（x－1）过点（1，0）.
对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为（1，0），所以＝1，即p＝2，所以A选项正确.
对于B，不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），x1＜x2，联立方程得消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3.由抛物线的定义得，｜MN｜＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故B选项错误.
对于C，由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为（，－），半径r＝｜MN｜＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确.
对于D，由两点间距离公式可得｜MN｜＝，｜OM｜＝，｜ON｜＝，故D选项错误.综上，选AC.
方法技巧
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出拋物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
训练3 [多选]已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若｜AF｜＝8，则以下结论正确的是（　ABC　）
A.p＝4 B.＝
C.｜BD｜＝2｜BF｜ D.｜BF｜＝4
解析　如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E，M.设抛物线C的准线m交x轴于点P，则｜PF｜＝p，由于直线l的斜率为，所以倾斜角为60°，因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，｜AE｜＝｜AF｜，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以｜AF｜＝｜EF｜＝2｜PF｜＝2p＝8，所以p＝4，A选项正确；因为｜AE｜＝｜EF｜＝2｜PF｜，PF∥AE，所以F为AD的中点，则＝，B选项正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以｜BD｜＝2｜BM｜＝2｜BF｜，C选项正确；因为｜BD｜＝2｜BF｜，所以｜BF｜＝｜DF｜＝｜AF｜＝，D选项错误.故选ABC.第8讲　直线与圆锥曲线的位置关系
命题点 五年考情 命题分析预测
直线与圆锥曲线的位置关系 2023新高考卷ⅡT5；2022新高考卷ⅡT10；2022全国卷甲T15；2020新高考卷ⅡT21 本讲每年必考，命题热点为直线与圆锥曲线相交的弦长、中点弦问题，以及直线与圆锥曲线的综合应用，常与向量、圆等知识综合命题，难度中等偏上.在2025年高考备考时应重视和直线与圆锥曲线的位置关系相关的典型题型的研究，注意培养数学运算素养.在解题时，要充分利用数形结合、转化与化归等思想.
弦长及中点弦问题 2023全国卷乙T11；2023全国卷甲T20；2023天津T12；2022新高考卷ⅠT16； 2022新高考卷ⅡT16；2020新高考卷ⅠT13；2020全国卷ⅡT19；2019全国卷ⅠT19
切线及切点弦问题 2021全国卷乙T21
直线与圆锥曲线的综合应用 2023新高考卷ⅡT10；2023新高考卷ⅡT21；2023全国卷乙T20；2023北京T19；2022新高考卷ⅠT11； 2022新高考卷ⅠT21；2022新高考卷ⅡT21；2022全国卷乙T20；2022全国卷甲T20；2021新高考卷ⅠT21； 2021新高考卷ⅡT20；2020新高考卷ⅠT22；2020全国卷ⅠT20；2019全国卷ⅡT21；2019全国卷ⅢT21
1.直线与圆锥曲线位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去y（或x），得到关于x（或y）的一元二次方程，设其判别式为Δ，则①　Δ＞0　 有两个交点 相交；Δ＝0 有一个交点 相切；②　Δ＜0　 无交点 相离.
注意　直线与双曲线方程联立消元后，得出的方程中二次项系数为零时，直线与双曲线渐近线平行，两者有且只有一个交点；二次项系数不为零时，利用判别式进行判断.
2.弦长与中点弦
（1）弦长公式
当直线的斜率存在时，直线l：y＝kx＋b与曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则弦长｜AB｜＝③　·｜x1－x2｜　＝.
当直线斜率不为零时，直线l：x＝my＋n与曲线C相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长｜AB｜＝｜y1－y2｜＝.
注意　（1）过焦点的弦称为焦点弦；与焦点所在对称轴垂直的焦点弦称为通径.（2）通径是椭圆与抛物线的焦点弦中最短的弦，椭圆的通径长为，抛物线的通径长为2p.（3）双曲线中同支的焦点弦中最短的为通径，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
（2）中点弦
若AB是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.
若AB是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝.
3.切线与切点弦所在直线的方程
圆锥曲线的方程 ＋＝1（a＞b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） y2＝2px（p＞0）
过曲线上一点P（x0，y0）的切线方程 ＋＝1 －＝1 y0y＝p（x0＋x）
过曲线外一点P（x0，y0）所引两条切线的切点弦所在直线的方程 ＋＝1 －＝1 y0y＝p（x0＋x）
1.直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是（　A　）
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
解析　解法一　联立直线与椭圆的方程得消去y，得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×（－15）＞0，所以直线与椭圆相交.
解法二　因为直线过点（0，1），而0＋＜1，即点（0，1）在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交.
2.过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为（　B　）
A.8，6 B.4，3 C.2， D.4，2
解析　由题意知，a＝2，b＝，c＝1，最长弦过两个焦点，长为2a＝4，最短弦垂直于x轴，把x＝1代入＋＝1，得｜y｜＝，所以最短弦的长为3.故选B.
3.已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是（　C　）
A.2 B.4 C.8 D.16
解析　由消去y并整理得x2－6x＋1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以｜AB｜＝·＝×＝8.
4.已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M（3，2），则直线AB的斜率为（　D　）
A. B. C. D.
解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），∵点A，B是双曲线C上的两点，∴－＝1，－＝1，两式相减得＝，∵M（3，2）是线段AB的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，∴＝，∴kAB＝＝.（也可以直接利用公式kOM·kAB＝求解）
研透高考 明确方向
命题点1　直线与圆锥曲线的位置关系
例1 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝（　C　）
A. B. C.－ D.－
解析　由题意，F1（－，0），F2（，0），△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3，由得x2＋2mx＋m2－1＝0，则Δ＝（2m）2－4×（m2－1）＝－m2＋＞0，解得－2＜m＜2，所以m＝－.故选C.
（2）[2022全国卷甲]记双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值　2（答案不唯一）　.
解析　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5，又e＞1，∴e∈（1，]，∴填写（1，]内的任意值均可.
方法技巧
（1）直线与椭圆的位置关系问题可直接转化为直线与椭圆的交点个数问题.
（2）直线与双曲线只有一个交点，则直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
（3）直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行（或重合）.
（4）对于过定点的直线，可以根据定点与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置关系，注意数形结合的应用.
训练1 （1）[2023天津高考]过原点O的一条直线与圆C：（x＋2）2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px（p＞0）于点P，若｜OP｜＝8，则p的值为　6　.
解析　由题意得直线OP的斜率存在.设直线OP的方程为y＝kx，因为该直线与圆C相切，所以＝，解得k2＝3.将直线方程y＝kx与曲线方程y2＝2px（p＞0）联立，得k2x2－2px＝0，因为k2＝3，所以3x2－2px＝0，解得x＝0或x＝.设P（x1，y1），则x1＝，又O（0，0），所以｜OP｜＝｜x1－0｜＝2×＝8，解得p＝6.
（2）已知对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为　[1，5）∪（5，＋∞）　.
解析　解法一（代数法）　由椭圆方程，可知m＞0且m≠5，将直线与椭圆的方程联立，得整理，得（5k2＋m）x2＋10kx＋5（1－m）＝0.因为直线与椭圆恒有公共点，故Δ＝（10k）2－4×（5k2＋m）×5（1－m）＝20（5k2m－m＋m2）≥0.因为m＞0，所以不等式等价于5k2－1＋m≥0，即k2≥，由题意，可知要使不等式恒成立，则≤0，解得m≥1.综上，m的取值范围为[1，5）∪（5，＋∞）.
解法二（几何法）　因为方程＋＝1表示椭圆，所以m＞0且m≠5.因为直线y－kx－1＝0过定点（0，1），所以要使直线和椭圆恒有公共点，点（0，1）在椭圆上或椭圆内，即＋≤1，整理得≤1，解得m≥1.综上，m的取值范围为[1，5）∪（5，＋∞）.
命题点2　弦长及中点弦问题
角度1　弦长问题
例2 [2022新高考卷Ⅰ]已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，｜DE｜＝6，则△ADE的周长是　13　.
解析　由对称性不妨令F1，F2分别为C的左、右焦点，如图，连接AF1，DF2，EF2，因为C的离心率为，所以＝，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.由题意知｜AF1｜＝｜AF2｜＝a＝2c＝｜F1F2｜，所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以｜AD｜＝｜DF2｜，｜AE｜＝｜EF2｜，且∠EF1F2＝30°，所以直线DE的方程为y＝（x＋c），代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以｜DE｜＝＝＝＝6，解得c＝，所以a＝2c＝，所以△ADE的周长为
例3 [2023成都市模拟]已知抛物线C：y2＝2px（p＞0，p≠4），过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点.
（1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为k1，k2，若k1＋k2＝0，求点B的坐标；
（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求的值.
解析　（1）由题意，直线PQ的方程为y＝k（x－2），其中k≠0.
设B（m，0），P（，y1），Q（，y2）.
由消去x，整理得y2－y－4p＝0，
∴Δ＝＋16p＞0，y1＋y2＝，y1y2＝－4p.
∵k1＋k2＝0，∴＋＝0，
即－m（y1＋y2）＝0，
∴（－m）·＝0，即（m＋2）·＝0.
∵p＞0，∴m＝－2.
∴点B的坐标为（－2，0）.
（2）由题意，F（，0），∴直线MN的方程为y＝k（x－），k≠0.设M（xM，yM），
N（xN，yN）.
由消去y，整理得k2x2－（k2p＋2p）x＋＝0，
∴Δ1＝4k2p2＋4p2＞0，xM＋xN＝p＋，
∴｜MN｜＝xM＋xN＋p＝（1＋）·2p.
又｜AP｜＝｜y1｜，｜AQ｜＝｜y2｜，
∴｜AP｜·｜AQ｜＝（1＋）·｜y1y2｜＝（1＋）·4p.
∴＝＝.
方法技巧
（1）使用弦长公式时注意对直线斜率的讨论.
（2）直线经过特殊点（如焦点、原点等）或斜率特殊时，利用圆锥曲线的定义或数形结合来求弦长.
角度2　中点弦问题
例4 （1）[2023全国卷乙]设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　D　）
A.（1，1） B.（－1，2）
C.（1，3） D.（－1，－4）
解析　选项中的点均位于双曲线两支之间，故A，B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称，设线段AB的中点坐标为（x0，y0），则｜kAB｜＝9｜｜＜3，（若双曲线的弦AB的中点为M，O为坐标原点，则kAB·kOM＝）
即｜y0｜＞3｜x0｜，结合选项可知选D.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且｜MA｜＝｜NB｜，｜MN｜＝2，则l的方程为　x＋y－2＝0　.
解析　设直线l的方程为＋＝1（m＞0，n＞0），分别令y＝0，x＝0，得点M（m，0），N（0，n）.由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，设为Q，则Q（，），则kAB＝＝－，kOQ＝＝.由椭圆中点弦的性质知，kAB·kOQ＝－＝－，即，整理得m2＝2n2　①.又｜MN｜＝2，所以由勾股定理，得m2＋n2＝12　②，由①②并结合m＞0，n＞0，得所以直线l的方程为＋＝1，即x＋y－2＝0.
方法技巧
点差法解决中点弦问题的步骤
（1）设弦的两个端点：A（x1，y1），B（x2，y2）；
（2）将两点坐标分别代入圆锥曲线方程中并两式作差，得到关于直线AB的斜率和线段AB的中点坐标的关系式；
（3）将已知条件代入关系式并化简求解.
训练2 （1）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则｜AB｜＋｜DE｜的最小值为（　A　）
A.16 B.14 C.12 D.10
解析　解法一　焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），易知直线l1，l2的斜率均存在且不为0，分别设为k1，k2，则直线l1的方程为由消去y并整理得x2－（2＋4）x＋＝0，Δ＞0，所以x1＋x2＝.因为l1⊥l2，所以k2＝－.同理有x3＋x4＝＝2＋4，则＋2＋4＋4＝＋4＋8≥2＋8＝16，当且仅当＝4，即k1＝±1时，｜AB｜＋｜DE｜取最小值 16.故选A.
解法二　设l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为θ±，易知θ≠0且θ≠，由抛物线焦点弦的弦长公式得｜AB｜＝＝，则｜DE｜＝＝，则｜AB｜＋｜DE｜＝＋＝4（）＝，当sin 2θ＝1时，｜AB｜＋｜DE｜取最小值16.故选A.
（2）[2023重庆市调研质量抽测（一）]已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆E的上顶点，过点F1且平行于AF2的直线l与椭圆E交于B，C两点，M为弦BC的中点，且直线l的斜率与OM的斜率的乘积为－，则椭圆E的离心率为　　；若｜OM｜＝3，则直线l的方程为　x＋y＋15＝0　.
解析　设B（x1，y1），C（x2，y2），M（x0，y0），则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.椭圆E：＋＝1，即b2x2＋a2y2＝a2b2，所以得由题意可知，x1－x2≠0，所以2b2x0＋2a2y0·＝0，即·，即kl·kOM＝－，所以－＝－，所以＝.因为e2＝1－＝1－＝，所以e＝.因为＝，所以＝，设a＝2m，则b＝m，m＞0，则半焦距，椭圆E的方程为＋＝1，A（0，m），所以F1（－m，0），F2（m，0），则kl＝＝＝－，所以直线l的方程为y＝－（x＋m）.由得3x2＋12（x＋m）2＝12m2，所以5x2＋8mx＝0，则x1＋x2＝－，所以x0＝＝－.因为kOMkl＝－，即－kOM＝－，所以kOM＝，则｜OM｜＝｜x0－0｜＝×＝×＝3，解得m＝15，则直线l的方程为y＝－（x＋15），即x＋y＋15＝0.
命题点3　切线及切点弦问题
例5 已知点P为直线2x＋y＝4上一动点，过点P作椭圆＋＝1的两条切线，切点分别为A，B，当点P运动时，直线AB过定点，则该定点的坐标是　（2，）　.
解析　设点P的坐标为（m，－2m＋4），则直线AB的方程为＋＝1，化简得（3x－8y）m＋16y－12＝0，令3x－8y＝0，16y－12＝0，所以x＝2，y＝，故直线AB过定点（2，）.
方法技巧
（1）曲线的切线方程可以利用判别式求解，也可以利用导数的几何意义求解.
（2）“代一半，留一半”是曲线的切线方程与切点弦所在直线方程相关结论的记忆口诀.
训练3 [2023山西运城模拟]过点P作抛物线C：x2＝4y的切线l1，l2，切点分别为M，N，若△PMN的重心坐标为（3，4），则P点坐标为 （　A　）
A.（3，－3） B.（1，2）
C.（2，1） D.（－3，3）
解析　设M（x1，），N（x2，），由x2＝4y，得y＝，所以y'＝x，所以直线l1的方程为y－＝（x－x1），即y＝x－，同理，直线l2的方程为y＝x－，由可得x＝，y＝，即点P的坐标为（，），设△PMN的重心坐标为（x0，y0），则x0＝＝3，y0＝＝4，即所以点P的坐标为（3，－3）.故选A.
命题点4　直线与圆锥曲线的综合应用
例6 [2023北京高考]已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，｜AC｜＝4.
（1）求E的方程；
（2）设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线交于点N，求证：MN∥CD.
解析　（1）因为e＝，所以e2＝1－＝，即＝.
因为A，C分别是椭圆的上、下顶点，且｜AC｜＝4，即2b＝4，
所以b＝2，b2＝4，所以a2＝9，则椭圆E的方程为＋＝1.
（2）因为B，D分别是椭圆的左、右顶点，所以B（－3，0），D（3，0），因为A，C分别是椭圆的上、下顶点，所以A（0，2），C（0，－2），则直线BC的方程为＋＝1，即2x＋3y＋6＝0.
因为点P为第一象限内椭圆E上的点，所以直线PD的斜率k一定存在，且－＜k＜0.
则直线PD的方程为y＝k（x－3），联立得解得
即M（，）.
联立得得（4＋9k2）x2－54k2x＋81k2－36＝0　①，设P（x0，y0），所以3，x0是方程①的两根，所以3x0＝，解得x0＝，
所以y0＝k（x0－3）＝，即P（，）.
所以直线PA的方程为y＝x＋2，令y＝－2，则x＝＝，
即N（，－2）.
所以kMN＝＝＝，
又kCD＝＝，所以kMN＝kCD，所以MN∥CD.
方法技巧
（1）解答直线与圆锥曲线相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和圆锥曲线的方程，消去y（或x）得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解；
（2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
训练4 [2021新高考卷Ⅰ]在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（－，0），F2（，0），点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝2.记M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且｜TA｜·｜TB｜＝｜TP｜·｜TQ｜，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解析　（1）因为｜MF1｜－｜MF2｜＝2＜｜F1F2｜＝2，所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.
设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1（x≥1）.
（2）设T（，t），由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，
设直线AB的方程为y－t＝k1（x－）（k1≠0），直线PQ的方程为y－t＝k2（x－）（k2≠0），
由得（16－）x2－2k1（t－）x－（t－）2－16＝0.
设A（xA，yA），B（xB，yB），易知16－≠0，Δ＞0，
则xAxB＝，xA＋xB＝，
所以｜TA｜＝｜xA－｜＝（xA－），
｜TB｜＝｜xB－｜＝（xB－），
则｜TA｜·｜TB｜＝（1＋）（xA－）（xB－）＝（1＋）·[xAxB－（xA＋xB）＋]＝（1＋）[－·＋]＝.
同理得｜TP｜·｜TQ｜＝.
因为｜TA｜·｜TB｜＝｜TP｜·｜TQ｜，
所以＝，
所以－16＋－16＝－16＋－16，即＝，
由题意可知，k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
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“蒙日圆”的应用
蒙日圆：在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆称为蒙日圆，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴长（实半轴长）与短半轴长（虚半轴长）平方和（差）的算术平方根.
即椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆x2＋y2＝a2＋b2.
例7 在圆（x－3）2＋（y－4）2＝r2（r＞0）上总存在点P，使得过点P能作椭圆＋y2＝1的两条互相垂直的切线，则r的取值范围是（　B　）
A.（3，7） B.[3，7] C.（1，9） D.[1，9]
解析　解法一　当题设中的两条互相垂直的切线中有一条切线的斜率不存在或者为0时，可得P（，1）或P（，－1）或P（－，1）或P（－，－1）.当题设中的两条互相垂直的切线的斜率都存在且不为0时，设P（x0，y0）（x0≠±，y0≠±1），过点P的切线方程为y－y0＝k（x－x0），代入椭圆方程＋y2＝1得，（3k2＋1）x2－6k（kx0－y0）x＋3（kx0－y0）2－3＝0，由题意可知Δ＝0，即（－3）k2－2x0y0k＋－1＝0（－3≠0）　①.设两条互相垂直的切线的切点分别为A，B，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，则kPA，kPB是关于k的方程①的两个根，所以有kPA·kPB＝＝－1，从而有＋4，所以点P在圆x2＋y2＝4上.
由题意可得圆x2＋y2＝4与圆（x－3）2＋（y－4）2＝r2（r＞0）有公共点，则－2≤r≤＋2，得3≤r≤7，故选B.
解法二　由“蒙日圆”定理可得，点P的轨迹方程为C1：x2＋y2＝4，所以要使圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝r2（r＞0）上总存在点P满足题意，则圆C1与C2有交点，所以｜2－r｜≤｜C1C2｜≤2＋r，又｜C1C2｜＝5，所以3≤r≤7，故选B.
方法技巧
以椭圆为例.如图，设P为圆O：x2＋y2＝a2＋b2上任意一点，过点P作椭圆＋＝1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，延长PA，PB交圆O于两点C，D.
性质1：PA⊥PB.
性质2：（1）C，O，D三点共线；
（2）CD∥AB；
（3）kOP·kCD＝－，kOP·kAB＝－，kOA·kPA＝－，kOB·kPB＝－；
（4）kOA·kOB＝－.
性质3：PO平分椭圆的切点弦AB.
训练5 [2024江西名校联考]法国数学家加斯帕尔·蒙日发现，过圆E：x2＋y2＝a2－b2（a＞b＞0）上任意一点作双曲线C：－＝1的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆E称作双曲线C的蒙日圆.过双曲线W：－y2＝1的蒙日圆上一点P作W的两条切线，与该蒙日圆分别交于A，B两点，若∠PAB＝30°，则△PAB的周长为　3＋　.
解析　如图，由题可知，W的蒙日圆的方程为x2＋y2＝2，半径为，且PA⊥PB，所以AB为直径，所以｜AB｜＝2.又∠PAB＝30°，所以｜PB｜＝，｜PA｜＝＝，所以△PAB的周长为3＋.

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